Тема урока: Задачи на проценты (2 часа)
Цель урока: обобщение, систематизация, углублений знаний, умений, навыков учащихся.
Ход урока.
I. Повторение понятия процента и основных видов задач на проценты.
1. Процентом от любой величины называется ее одна сотая часть. Р% от S равно [pic] – эту формулу называют формулой процентов.
2. Рассмотрим три тира задач на проценты.
Рассмотрим Ι тип задач.
Задача №1.
Банк обещает своим клиентам годовой рост вклада 130%. Какую сумму может получить через год человек, вложивший в этот банк 320.000 рублей?
Решение:
Через год банк должен начислить на счет вкладчика 130% от суммы 320.000 рублей, то есть 1,3∙320.000 416.000 рублей, так что на счете будет находиться 320.000 416.000 736.000 рублей.
Ответ: 736.000 рублей.
А теперь решим задачу в общем виде.
Если в банк, дающий p% в год, вложена сумма S рублей, то рассуждая точно так же, как в рассмотренном примере, мы получим, что проценты составляют ( [pic] )S рублей, а всего на счете вкладчика будет S [pic] , или (1 [pic] )S рублей.
Поэтому, обозначив сумму, которая должна быть на счете вкладчика по истечении одного года, через S1, мы получим, что S1 (1 [pic] )S.
Рассмотрим 2-ой тип задач на проценты.
Если в основной формуле процентов обозначить p% от S через S1, то формула примет вид S1 = [pic] , или [pic] = [pic] .
Из последнего равенства можно видеть, что величина S1, S, p и 100 составляют пропорцию.
Задача №2.
Сколько соли содержится в 145 г 80% раствора?
Решение:
Составим пропорцию:
100 г раствора – 80 г соли,
145 г раствора – Х г соли,
Х [pic] 116 г соли.
Ответ: 116 г.
Еще более удобным становиться применение пропорций при решении так называемых обратных задач на проценты.
Например, известна не исходная величина, а заданное число процентов от нее, и требуется найти саму исходную величину.
Задача №3.
Какое количество 10% раствора может получиться из 25 г соли?
Решение:
Составим пропорцию:
10 г соли – 100 г раствора,
25 г соли – Х г раствора,
Х [pic] 250 г раствора.
Ответ: 250 г.
Рассмотрим 3-ий тип задач на процентное отношение.
Задача №4.
В городе А с населением 100.000 жителей граждан в возрасте до 18 лет составляет 40.000, а в городе Б с населением 120.000 – 60.000. В каком городе население «моложе»?
Решение:
Составим пропорцию:
Город А: Город Б:
100.000 человек – 100% 120.000 – 100%
40.000 – Х% 60.000 – Х%
Х [pic] 40% Х 50%
Таким образом, население города Б относительно моложе.
Ответ: в городе Б.
Задача №5.
В 200 г воды растворили 50 г соли. Какова концентрация полученного раствора?
Решение:
1) 200 50 250(г) – масса полученного раствора.
2) Составим пропорцию:
250 г – 100%,
50 г – Х %,
Х [pic] 20%.
Ответ: 20%.
Итак, процентное отношение двух величин – это частное от деления первой величины на вторую, выраженное в процентах. Для его вычисления надо разделить первую величину на вторую и полученный результат умножить на 100.
А теперь полученный знания можно свести в следующий плакат.
Три типа задач на проценты
p% от числа а
есть 0.01 ра
p% от числа а есть число b такое, что
а = b/0.01p
[pic] [pic] [pic]
a от b составляет
[pic] 100%
II. Рассмотрим процентные изменения.
1. Простой процентный рост.
Если некоторая величина увеличивается на постоянное число % за каждый фиксированный период времени, то можно использовать формулу простого процентного роста:
Sn (1 [pic] )S.
Она показывает значение, которое принимает величина через n промежутков времени, если в каждый из промежутков она увеличивается на одно и то же число процентов p, считая от ее начального значения S.
Задача №6.
При покупке товара в рассрочку выплачивается сразу половина стоимости, а вторая половина выплачивается по 5% от нее ежемесячно. Какая часть стоимости товара будет выплачена через 8 месяцев?
Решение.
По формуле простого процентного роста имеем:
(1 [pic] )∙0,5 0,7 (полной стоимости товара)
Ответ: 0,7.
2. Сложный процентный рост.
Пусть банк начисляет p% годовых, внесенная сумма равно S рублей, а сумма, которая будет на счете через n лет, равна Sn рублей.
P% от S составляет [pic] рублей, и через год на счете окажется сумма
S1 S [pic] (1 [pic] )S, то есть начальная сумма увеличилась в
(1 [pic] ) раз. За следующий год сумма S1 увеличивается во столько раз, поэтому через два года на счете будет сумма:
S2 (1 [pic] ) ∙ S1 (1 + [pic] ) (1 [pic] )S (1 [pic] )2∙S.
Аналогично, S3 (1 [pic] )3∙S и т.д.
Sn (1 [pic] )n∙S – формула сложного процента.
Задача №7.
Каким должен быть начальный вклад, чтобы через два года вклад в банке, начисляющем 30% годовых, возрос до 845.000 рублей?
Решение:
Пусть x – начальная величина вклада. Тогда, используя формула сложного процента, имеем:
(1 + [pic] )2 ∙ x = 845.000;
( [pic] ) 2 ∙ x = 845.000;
x = [pic] ;
x = 500.000.
Ответ: 500.000 рублей.
3. Итог урока.
Домашнее задание:
1) В магазине цены сначала были повышении на 10%, а потом снижены на 10%. Как изменились цены?
2) Банк начисляет 20% годовых и внесена сумма 500.000 рублей. Какая сумма будет на счете клиента через 5 лет:
а) при начислении банком простых процентов; б) при начислении сложных процентов.
