МАЛАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ШКОЛЬНИКОВ КРЫМА
«ИСКАТЕЛЬ»
Отделение «Математика»
Секция «Математика»
МЕТОД ПОДОБИЯ
Работу выполнил
______________________
ученик класса
_________________________
_________________________
Научный руководитель
Содержание
Введение………………………………………………………………..….3
ГЛАВА Ι. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ……………………………4
Ι.1. Основные определения……………………………………………….4
Ι. 2. Свойства преобразования подобия…………………………………..5
Ι.3. Подобие фигур………………………………………………………...6
Ι.4. Признаки подобия треугольников…………………………………....7
Ι.5. Свойства хорд и секущих окружности………………………………8
Ι.6. Свойство биссектрисы угла треугольника……………………………….10
Ι.7. Теорема Чевы……………………………………………………………....11
ГЛАВА ΙΙ. ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ ………………………………...12
ΙΙ.1. Задачи на доказательство…………………………………………...12
ΙΙ.2. Задачи на вычисления………………………………………………...17
ΙΙ.3. Задачи на построение…………………………………………………20
ΙΙ.4. Задачи на исследование………………………………………………23
ΙΙ.5. Задачи с практическим содержанием……………………………….. 25
Заключение………………………………………………………………....29
Список использованной литературы……………………………………..30
Введение
Изучение геометрии должно обеспечить формирование и развитие пространственного мышления, интуицию на образы, конструкции, методы, свойства; развитие геометрических умений и навыков; умение анализировать и синтезировать, конструктивно-геометрические, вычислительные навыки, умение проводить доказательные рассуждения и т.д.
Необходимо обратить внимание на выбор методов и приемов решения задач, так как именно в процессе решения геометрических задач развиваются геометрические умения и навыки. Одним из таких методов является метод геометрических преобразований, в частности, метод подобия.
Используя подобие можно создать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени. Подобие позволяет установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью подобия удается решать многие научные и инженерные задачи, решение которых аналитическим путем часто приводит к использованию чрезвычайно громоздкого математического аппарата.
Изучение подобия не только способствует созданию более правильных и более современных взглядов на само содержание математики, но указывает также новые методы решения содержательных геометрических задач, чрезвычайно важные не только для самой математики, но и для ее приложений.
Преобразования плоскости во многих случаях позволяют экономно и изящно решать задачи на построение, вычисление и доказательство.
Объект исследования: подобие как метод решения геометрических задач.
Цели исследования: предложить систему задач на применение подобия как метода решения задач.
Задачи исследования: изучить и систематизировать литературу по данному вопросу, привести примеры задач, решаемых при помощи подобия.
ГЛАВА Ι. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ
Ι.1. Основные определения
Преобразование фигуры F в фигуру F' называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 1). Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X', Y' фигуры F', то X'Y' = kXY, причем число k — одно и то же для всех точек X, Y. Число k называется коэффициентом подобия. При k = l преобразование подобия, очевидно, является движением. [9,173]
[pic]
Рис.1 Рис. 2
Пусть F — данная фигура и О — фиксированная точка (рис. 2). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ', равный k·OX, где k — положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X', построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F' называются гомотетичными.
Гомотетия есть преобразование подобия
Доказательство. Пусть О — центр гомотетии, k — коэффициент гомотетии, X и Y - две произвольные точки фигуры (рис.3)
[pic]
Рис.3 Рис.4
П [pic] [pic] [pic] [pic] ри гомотетии точки X и Y переходят в точки X' и Y' на лучах ОХ и OY соответственно, причем OX' = k·OX, OY' = k·OY. Отсюда следуют векторные равенства ОХ' = kOX, OY' = kOY.
[pic] [pic] [pic] [pic] Вычитая эти равенства , получим: OY'-OX' = k (OY- OX).
Т [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] ак как OY' - OX'= X'Y', OY -OX=XY, то Х' Y' = kХY. Значит, |X'Y'|=k |XY|, т.e. X'Y' = kXY. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия.
Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1:100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует
1 м на местности.
Задача. На рисунке 4 изображен план усадьбы в масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину).
Решение. Длина и ширина усадьбы на плане равны - 4 см и 2,7 см. Так как план выполнен в масштабе 1:1000, то размеры усадьбы равны соответственно 2,7 х1000 см = 27 м, 4х100 см = 40 м.
Ι. 2. Свойства преобразования подобия
При преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки А1, В1, С1, также лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между точками А и С, то точка В1 лежит между точками А1 и С1. Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.
Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.
[pic]
Рис. 5
Действительно, пусть угол ABC преобразованием подобия с коэффициентом k переводится в угол А1В1С1 (рис. 5). Подвергнем угол ABC преобразованию гомотетии относительно его вершины В с коэффициентом гомотетии k. При этом точки А и С перейдут в точки А2 и С2. Треугольники А2ВС2 и А1В1С1 равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А2ВС2 и А1В1С1. Значит, углы ABC и А1В1С1 равны, что и требовалось доказать.[9,175]
Ι.3. Подобие фигур
Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Для обозначения подобия фигур используется специальный знак: ~. Запись F~F' читается так: «Фигура F подобна фигуре F'».
Докажем, что если фигура F1 подобна фигуре F2, а фигура F2 подобна фигуре F3, то фигуры F1 и F3 подобны.
Пусть Х1 и Y1 — две произвольные точки фигуры F1. Преобразование подобия, переводящее фигуру F1 в F2, переводит эти точки в точки Х2, Y2 для которых X2Y2 = k1X1Y1.
Преобразование подобия, переводящее фигуру F2 в F3, переводит точки Х2, Y2 в точки Х3, Y3, для которых X3Y3 = k2X2Y2.
Из равенств
X2Y2 = kX1Y1, X3Y3 = k2X2Y2
следует, что X3Y3= k1k2X1Y1. А это значит, что преобразование фигуры F1 в F3, получающееся при последовательном выполнении двух преобразований подобия, есть подобие. Следовательно, фигуры F1 и F3 подобны, что и требовалось доказать.
В записи подобия треугольников: ∆ABC~ [link]
