Исследовательская работа Уникурсальные звезды в математике и магии

Государственное бюджетное образовательное учреждение

Гимназия № 405

__________________________________________________________________

Исследовательская работа
Уникурсальные звезды в математике и магии

Математика

Автор работы: Лохматова Вероника Александровна обучающаяся 10класса

Руководитель: Рябиженко Тамила Анатольевна учитель математики Государственное бюджетное образовательное учреждении гимназия №405

Санкт-Петербург 2016

Содержание

Введение……………………………………………………………...стр.2

Понятие уникурсальных фигур……………………………………..стр.3

Топология……………………………………….………………….....стр.5

Пути Эйлера….……………………………………………………....стр.6

Функция Эйлера для подсчёта количества форм звёзд…………...стр.8

Звёзды тайных знаний и мировой гармонии……………………...стр.10

Заключение……………………………………….………………....стр.15

Список литературы………………………………………………....стр.19

Введение:

Актуальность темы: в том, что математика(геометрия) тесно связана разными науками в том числе даже с магией.

Цель исследования:

изучить элементы теории графов рассмотреть и найти возможные формы и способы построения уникурсальных звезд, выявить связь математики и тайных знаний о звездах.

Гипотеза:

Уникурсальные звезды, являются идеальным решением задач в математике, возможность построения разными способами звезд с любым количеством вершин и связь с магическими символами.

В работе рассмотрены уникурсальные звезды, приведено применение функции Эйлера при построении определенным способом таких звезд с любым количеством вершин.

Задачи исследования:

• Изучить историю возникновения теории графов. Рассмотреть элементы теории графов.

• Рассмотреть возможные формы и способы построения уникурсальных звезд с применением функции Эйлера.

• Разработать алгоритм построения уникурсальных звезд.

• Изучение множества геометрических символов и уникурсальных звезд в магии.

Объект исследования:

Уникурсальные звёзды, функция Эйлера, магические символы.

Методики исследования:

Проанализировать и изучить литературу по исследуемой теме, использование поисковых систем Интернет по проблеме исследования. многообразие уникурсальных звёзд. Показать использование магических звёзд.

Понятие уникурсальных фигур

Известна притча: некто давал миллион рублей каждому, кто начертит следующую фигуру. Но при вычерчивании ставилось одно условие. Требовалось, чтобы фигура эта была вычерчена одним непрерывным росчерком, т. е. не отнимая пера или карандаша от бумаги и не удваивая ни одной линии, другими словами, по раз проведенной линии нельзя уже было пройти второй раз.

[pic]

рисунок.1 (фигура вычерчена одним непрерывным росчерком)

Надежда стать «миллионером», решив «такую легкую» задачу, может заставить испортить много бумаги и потратить много времени на попытки вычертить эту фигуру, как требовалось, одним росчерком. Задача, однако, не решается, и это тем досаднее, что она не решается только «чуть-чуть»... Никак не удается провести только одной «последней» какой-либо линии. Многое в магии связано с математикой. Эта точная наука - математика является одним эзотерическим ключом из семи. В этом смысле она использовалась в Греции, Египте и Древней Индии. Кроме того, в наши дни это технологический фундамент и основа научных представлений о мире.

Управление городских железных дорог намерено по-новому перегруппировать маршруты, которыми оно обслуживает свою трамвайную сеть. Оно предполагает распределить эти маршруты таким образом, чтобы каждая линия обслуживалась впредь лишь одним-единственным маршрутом; при этом пассажир получает право с одним и тем же билетом менять маршруты и делать столько пересадок, сколько ему нужно, чтобы достигнуть места своего назначения. Задача   заключается   в   том, чтобы определит наименьшее число маршрутов, необходимое для полного проведения в жизнь этого принципа. 

Леонид Эйлер придумал геометрическую модель к задаче о путешествии по мостам г. Кенигсберга. На модели земельные участки, (рис.2) разъединенные рукавами реки, как бы сжаты в точки А,В,С,D-назовём их узлами ,а мосты как бы вытянуты в линии a,b,c,d,e,f,g-назовём их ветвям, соединяющими 2 последовательных узла. Узел назовём чётным, если в нём сходится чётное число концов ветвей, и нечётным, если в нём сходится нечётное число концов ветвей. Образовавшаяся фигура называется сетью. [pic]

рисунок.2(геометрическая модель к задаче.)

Топология

Исследование Эйлера положило начало новой отрасли математической науки –топологии, одним из разделов которой является теория графов. Леонард Эйлер и его вклад в развитие топологии. Топология- одна из математических наук, возникшая во второй половине XIX в.. Она изучает те свойства геометрических фигур, которые могут быть описаны с помощью поня​тия непрерывности.

Сама топология, можно сказать, началась с листа Мёбиуса. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета, который почти в тоже время, что и его Лейпцигский коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам, единожды перекрученную, ленту. Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не изменяются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы – «взрыва» фигуры. Поэтому иногда топологию называют «геометрией непрерывности».

Пути Эйлера

Занимаясь сетями, Эйлер не только разработал условия уникурсального обхода, но и открыл красивое их свойство, доказав такую изящную теорему:

Пусть на плоскости задано замкнутая сеть, состоящая из m узлов и n ветвей, каждая из которых соединяет какие-либо 2 узла, и пусть эти ветви делят плоскость на l областей , включая область , находящуюся вне сети , тогда

m–n+l=2. [pic]

рисунок.3 ( замкнутая сеть)

Задача состоит в том, что бы выяснить условия, при которых можно обвести карандашом контур заданной сети, не отрывая карандаш от бумаги и проходя по каждой ветви один и только один раз . Если возможен обход всей сети одним маршрутом, то она называется уникурсальной сетью, а маршрут –уникурсальным обходом. Примером такого обхода мы можем рассмотреть в задаче о мостах Санкт-Петербурга (считая узлами и точки пересечения линии на рисунке.4)

[pic]

рисунок.4(задача о мостах)

Граф – это набор точек, некоторые из которых соединены линиями.

Леонард Эйлер (1707–1783)  показал, что граф можно обойти, пройдя по каждому ребру только один раз, в том случае, если у него нечетных вершин 0 или 2.

Если фигуру можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну и ту же линию дважды, такая фигура называется уникурсальной. Уникурсальные пути в графе (не обязательно весь граф, может быть только его часть) называются Эйлеровыми путями.

[pic]

рисунок.5(Эйлеровыми пути)

Замечательно, что формула остаётся верной, если от двухмерных фигур перейти к трёхмерным. Так, для любого выпуклого многогранника

В-Р+Г=2.

где В-число вершин, Р-число рёбер, Г-число граней

Я проверил формулу Эйлера на кубе, пирамиде, октаэдре

8-12+6=2

4-4+2=2

6-12+8=2

[pic] [pic] [pic]

рисунок.6 (куб, пирамида, октаэдр)

Функция Эйлера для подсчета количества форм звезд

Мы займемся звездами – фигурами, полученными последовательным соединением точек, количеством более двух, расположенных в определенном порядке, например, на окружности.

Простой пример – пятиконечная звезда.

[pic]

рисунок.7(пятиконечная звезда)

Сколько существует различных звезд? Шаг построения h определяет одну звезду, значит, число различных звезд зависит от количества различных шагов. Наша задача определить такие шаги, тем самым найдя количество форм звезд. Для этих целей можно применить функцию Эйлера, так как шаг должен быть взаимно простым с числом вершин.

Рассмотрим множество целых чисел, взаимно простых с n и не превосходящих n. Количество этих чисел обозначается φ(n) и называется функцией Эйлера.

Если p – простое число, φ(p)=p-1так как все числа меньшие p взаимно просты с p.

Пусть n=p^k, то каждое p-ое число не взаимно просто с p^k. Поэтому φ(p^k)=p^k - p^k/p=p^k - p^k-1.

Воспользуемся свойством φ(mn) =φ(m)φ(n), где m и n – взаимно простые числа, и получим функцию Эйлера в общем виде. [pic] [pic]

Функция Эйлера определяет количество натуральных чисел, меньших   и  [link] С. Раздел математики, изучающий простейшие свойства чисел, способы их записи и действия над ними.