Геометрия – 9 класс Урок № 11
Тема: «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора».
Цель: Создать условия для формирования умения раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам, ввести понятие координат вектора и рассмотреть правила действий над векторами с заданными координатами.
Задачи:
- развитие познавательной активности
-формирование умения раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам
- формировать умения находить координаты вектора и выполнять действия над векторами, заданными координатами
-развивать умение работать с текстовой, символьной информацией
-воспитывать интерес к изучению математических дисциплин
Планируемые результаты:
Личностные: положительная мотивация к обучению, умение преодолевать трудности, успешность каждого в открытии нового, активность, внимание
Предметные: формирование умения раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам, доказывать теорему о разложении вектора, решать задачи разными способами, осуществлять выбор оптимального решения; формировать умение определять координаты вектора, выполнять операции с векторами с заданными координатами; формирование графической культуры; оперирование правилами сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число, понятиями: абсолютная величина, вектор, коллинеарные векторы, равные векторы
Метапредметные:
Познавательные: развитие логического и образного мышления, умение анализировать, делать выводы, проводить сравнение; формирование грамотного употребления математической терминологии в устной речи.
Коммуникативные: развитие умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками
Регулятивные: освоение действий по проверке, анализу и коррекции результатов своей деятельности; осознание качества и уровня усвоения; правильность выполнения учебной задачи
Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, текстовая информация, учебник.
Ход урока.
Организационный момент.
Сообщение темы и целей урока. Отчет старосты об отсутствующих.
Актуализация знаний и умений обучающихся.
Анализ контрольной работы. Разбор нерешенных заданий. Выявление типичных ошибок обучающихся.
Систематизация теоретического материала.
Устный опрос
1. Дайте определение вектора
[Вектором или направленным отрезком называется отрезок для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом.]
2 Длина или модуль ненулевого вектора АВ – это
[длина отрезка АВ]
3.Ненулевые вектора называются коллинеарными, если…
[они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых]
4.Сколько векторов равных данному можно отложить от точки
[один]
5. Два коллинеарных вектора направленные одинаково называются
[сонаправлеными]
6. Векторы называются равными, если…
[они сонаправлены и их длины равны]
-
-
Изучение нового материала.
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
При решении задач часто возникает необходимость выразить какой-либо вектор через уже заданные векторы. Такая операция называется разложением вектора по неколлинеарным векторам.
[pic]
Лемма о коллинеарных векторах.
Лемма - это вспомогательное утверждение, с помощью которого доказывается следующая теорема или несколько теорем.
Теорема: Если векторы [pic] и [pic] коллинеарны и ā≠ō, то существует такое число k, что [pic] = k [pic] .
Так как рассматриваемые векторы, по условию коллинеарны, то они могут иметь одинаковые направления. Рассмотрим два случая, когда векторы [pic] и [pic] сонаправлены и противоположно направлены.
Доказательство: [pic]
1) [pic] [pic] [pic] . Возьмем число [pic] . Так как k≥ 0, то векторы k [pic] и [pic] сонаправлены (рисунок 1). Кроме того, их длины равны: │kā│=│k│*│ā│= = [pic] *│ā│=│ [pic] │. Поэтому [pic] = k [pic]
2) [pic] [pic] [pic] . Возьмем число [pic] . Так как k<0, то векторы k [pic] и [pic] снова сонаправлены (рисунок2). Их длины также равны: |k [pic] |=|k|*| [pic] |= [pic] *| [pic] |=| [pic] |. Поэтому [pic] = k [pic] [pic]
Рис. 2
3. Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.
Теорема: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. [pic]
Пусть [pic] и [pic] - данные неколлинеарные векторы, вектор [pic] представлен в виде
[pic] = х [pic] +у [pic] , где х и у - некоторые числа. Принято говорить, что вектор [pic] разложен по векторам [pic] и [pic] . Числа х и у называются коэффициентами разложения.
Доказательство:
Возможны два случая:
1) Вектор [pic] коллинеарен одному из векторов [pic] и [pic] , например, вектору [pic] (рисунок1). В этом случае по лемме о неколлинеарных векторах вектор [pic] можно представить в виде [pic] = у [pic] , где у - некоторое число, и, следовательно, [pic] =0 [pic] +у [pic] , т.е. вектор [pic] разложении по векторам [pic]
и [pic] .
2) Вектор [pic] не коллинеарен ни вектору [pic] , ни вектору [pic] . Отметим какую-нибудь точку О и отложим от нее векторы [pic] = [pic] , [pic] = [pic] , [pic] = [pic] (рис. 2). [pic]
Через точку Р проведем прямую, параллельную прямой ОВ, и обозначим через А1 точку пересечения этой прямой с прямой ОА. По правилу треугольника [pic] = [pic] + [pic] . Но векторы [pic] и [pic] коллинеарны соответственно векторам [pic] и [pic] , поэтому существует числа х и у, такие, что [pic] = х [pic] , [pic] = у [pic] . Следовательно, [pic] = х [pic] +у [pic] , т.е. вектор [pic] разложен по векторам [pic] и [pic] .
Докажем теперь, что коэффициенты х и у разложения определяются единственным образом. Допустим, что наряду с разложением [pic] = х [pic] +у [pic] имеет место другое разложение [pic] = х1 [pic] +у1 [pic] . Вычитая второе равенство из первого и используя правила действий над векторами, получаем [pic] =(х-х1) [pic] + (у-у1) [pic] . Это равенство может выполняться только в том случае, когда коэффициенты х-х1 и у-у1 равны нулю. В самом деле, если предположить, например, что х-х1 ≠0, то из полученного равенства найдем [pic] = - [pic] , а значит векторы [pic] и [pic] коллинеарны. Но это противоречит условию теоремы. Следовательно, х-х1=0 и у-у1=0, откуда х=х1 и у=у1. Это и означает, что коэффициенты вектора [pic] определяются единственным образом. Теорема доказана.
Координаты вектора.
Рассмотрим прямоугольную систему координат. Отложим от начала координат О единичные векторы (т.е. векторы, длины которых равны единице) i и j так, чтобы направление вектора i совпало с направлением оси Ох, а направление вектора j – с направлением оси Oy. Векторы i и j назовем координатными векторами.
Координатные векторы неколлинеарны, поэтому любой вектор р можно разложить по координатным векторам , т.е. представить в виде p = xi + yj, причём коэффициенты разложения (числа x и y) определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора р по координатным векторам называются координатами вектора р в данной системе координат. Координатные векторы будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора. На рисунке вектор , и вектор .
Рассмотрим правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число.
[pic] и [pic] – данные векторы
1) [pic] ;
2) [pic] ;
3) [pic] .
-
-
-
Формирование знаний и умений обучающихся.
1. Решить задачи № 911 (а).
2. Решить задачи № 915 (по готовому чертежу) и № 916 (а).
3. Решить задачу № 917 на доске и в тетрадях.
4. Устно решить задачи № 922–925, используя правила, записанные в тетрадях.
5. Записать утверждение задачи № 927 без доказательства:
1) Если два вектора коллинеарные, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого: если [pic] коллинеарен вектору [pic] , то x1 : x2 = y1 : y2.
2) Если координаты одного вектора пропорциональны координатам другого вектора, то эти векторы коллинеарные.
6. Решить задачу № 928.
Решение
Используем условие коллинеарности векторов: [pic] .
1) [pic] (3; 7) и [pic] (6; 14), так как [pic] ;
2) [pic] (–2; 1) и [pic] (2; –1), так как [pic] .
Подведение итогов урока.
Выводы по теме:
1.Лемма - это вспомогательное утверждение, употребляемое при доказательстве одной или нескольких теорем.
2. Лемма (о коллинеарных векторах). Если векторы [pic] и [pic] коллинеарны и вектор [pic] ¹0, то существует такое число k, при котором [pic] = k [pic]
3. Пусть [pic] и [pic] - данные неколлинеарные векторы, вектор [pic] представлен в виде
[pic] = х [pic] +у [pic] , где х и у - некоторые числа. Принято говорить, что вектор [pic] разложен по векторам [pic] и [pic] . Числа х и у называются коэффициентами разложения.
4. Теорема: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
5. Правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число.
[pic] и [pic] – данные векторы
1) [pic] ;
2) [pic] ;
3) [pic] .
Домашнее задание: прочитать п. 86 – 87, выполнить № 912 (д - и), № 915
9
