Контрольная работа
Задача 1. В магазин привезли жакеты. Так как их плохо раскупали, то цену снизили на 35%, через некоторое время цену снизили еще на 50%. После этого цена жакета стала равна 3250 рублей. Определите первоначальную цену жакета.
Решение. Пусть x рублей – первоначальная цена жакета. После снижения цены на 35% новая цена стала равна 65% от первоначальной цены, то есть 0,65x рублей. После снижения цены еще на 50% новая цена жакета стала равна 50% от цены жакета после первого понижения, то есть [pic] рублей. Так как цена жакета после двух понижений стала равна 3250, то можем составить следующее уравнение:
[pic]
[pic] рублей первоначальная цена платья.
Ответ: 1000.
Задача 2. Мотоциклист и автомобилист движутся по круговой трассе длиной 1,2 м с постоянными скоростями. При движении в разных направлениях они встречаются через каждые 12с. При движении в одном направлении один догоняет другого через каждую минуту. Найдите скорость движения мотоциклиста и автомобилиста.
Решение. При движении мотоциклиста и автомобилиста в разных направлениях они оба за 12 с проходят длину круговой трассы, т.е. 1,2 м, так как начинают движение одновременно и встречаются через каждые 12с.
Составим таблицу:
[pic]
t (с)
S (м)
1 точка
x
12
12x
2 точка
y
12
12y
Составим первое уравнение на основании того, что мотоциклист и автомобилист за 12с прошли путь 1,2 м, т.е. 12x + 12y = 1,2.
При движении мотоциклиста и автомобилиста в одном направлении мотоциклист догоняет автомобилиста через каждую минуту. Это означает, что за 1 минуту мотоциклист должен пройти полный круг 1,2 м и ещё столько, сколько успеет пройти за 1 минуту автомобилист, (мы приняли x > y).
Составим вторую таблицу:
[pic]
t (с)
S (м)
1 точка
x
60
60x
2 точка
y
60
60y
Составим второе уравнение на основании того, что мотоциклист за указанное время прошёл на 1,2 м больше, чем автомобилист:
60x – 60y = 1,2.
Таким образом, мы получим систему уравнений
[pic] [pic] [pic]
[pic]
Ответ: 0,06; 0,04.
Задача 3. Из одного посёлка в другой, расстояние между которыми 18км, вышли одновременно два пешехода. Один из них прибыл во второй посёлок на 54 мин. позже другого. Найдите скорость каждого пешехода, если скорость одного из них меньше скорости другого на 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение. Составим таблицу:
[pic]
t (ч)
S (км)
I первый пешеход
x + 1
[pic]
18
II второй пешеход
x
[pic]
18
По условию один из пешеходов прибыл на 54 минуты позже второго пешехода. Составим уравнение [pic] . Умножив обе части последнего уравнения на x(x + 1), получим 18x + 0,9x2 + 0,9x = 18x + 18. Перенесем все слагаемые в левую часть, приведем подобные члены и запишем полученное квадратное уравнение 0,9x2 + 0,9x – 18 = 0. Затем умножим каждый член уравнения на 10, а потом разделим на 9 получим следующее квадратное уравнение: x2 + x – 20 = 0, корнями которого являются числа 4 и -5. Корень -5 не удовлетворяет условию задачи, следовательно, 4 км/ч – скорость второго пешехода, тогда 5 км/ч – скорость первого пешехода.
Ответ: 4; 5.
Задача 4. На изготовление 621 деталей первый токарь затрачивает на 4 часа меньше, чем второй на изготовление 675 таких же деталей. Известно, что первый токарь за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй токарь.
Решение. Составим таблицу:
[pic] (дет./ч)
t (ч)
A (дет.)
I первый токарь
x + 2
[pic]
621
II второй токарь
x
[pic]
675
По условию первый токарь делает в час на 2 детали больше. Составим уравнение [pic] . Умножив обе части уравнения на x(x + 2), получим [pic] Перенесем все слагаемые в левую часть, приведем подобные члены и запишем полученное квадратное уравнение 4x2 – 46x – 1350 = 0. Разделим каждый член уравнения на 4 и получим следующее квадратное уравнение: 2x2 – 23x – 675 = 0, корнями которого являются числа 25 и -13,5. Корень -13,5 не удовлетворяет условию задачи, следовательно, 25 дет./ч – делает второй токарь. А первый токарь делает 25 + 2 = 27 (дет./ч).
Ответ: 25.
Задача 5. Смешали 4%-ный раствор соли с 10%-ным и получили 180г 6% - ого раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Решение. Пусть x граммов взято 4%-ного раствора, а 10%-ного раствора взято y граммов. Тогда из условия ясно, что x + y = 180. Так как первый раствор 4%-ный, то в x граммах этого раствора содержится 0,04x граммов кислоты. Аналогично в y граммах 10% - ного раствора содержится 0,1y граммов кислоты.
В полученной смеси по условию задачи содержится [pic] г кислоты, откуда следует 0,04x + 0,1y = 10,8.
Составим систему и решим её:
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic]
Ответ: 60г; 120г.
