Конспект урока Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий

Автор публикации:

Дата публикации:

Краткое описание: ...

Урок 4. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий

Цель урока:

- сформировать навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач.

Ход урока

  1. Организационный момент

  2. Проверка домашнего задания

Двое учащихся у доски, один готовит решение задачи из домашней работы, другой доказательство одного из следствий из аксиом на выбор.

[pic]

Остальные отвечают на вопросы математического диктанта.

Вариант I

  1. Как называется раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве? (Стереометрия.)

  2. Назовите основные фигуры в пространстве.

  3. Сформулируйте аксиому А2 .

  4. Сформулируйте аксиому A3.

  5. Могут ли прямая и плоскость иметь только две общие точки? (Нет.)

  6. Сколько плоскостей можно провести через три точки, не лежащие на одной прямой? (Одну.)

Вариант II

  1. Как называется раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости? (Планиметрия.)

  2. Назовите основные фигуры на плоскости.

  3. Сформулируйте аксиому А1.

  4. Сколько плоскостей можно провести через прямую и не лежащую на ней точку? (Одну.)

  5. Сколько может быть общих точек у прямой и плоскости? (Одна; бесконечно много; ни одной.)

  6. Могут ли прямая и плоскость иметь только одну общую точку? (Да.)

Собрать листочки с ответами. Заслушать решение задачи и доказательство теоремы у доски.

  1. Решение задач (фронтальная работа)

Задача №1. Дан тетраэдр МАВС, каждое ребро которого равно 6 см. Д ∊ MB, Е ∊МС, F ∊ АВ, AF=FB, P ∊ MА.

  1. Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости: а) МАВ и MFС, б) MCF и АВС.

  2. Найдите длину CF и SABС.

  3. Как построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью АВС?

[pic]




Решение:

М ∊ МАВ, М ∊ MFC,

  1. а) => аксиома А3 МАВ ∩ MFC = MF.

F ∊ МАВ и F ∊ MFC


C∊MCF, C∊ABC,

б) => аксиома А3 MCF ∩ АВС = FC.

F ∊ MFC и F ∊ АВС

  1. ΔАВС - равносторонний => FC - медиана, высота, биссектриса. ΔCFB - прямоугольный: СВ = 6 (см), FB = 3 (см). По теореме Пифагора FC = [pic] [pic] (см). Sabc = [pic] АВ • CF; Sabc= [pic] (см2).

  • Как еще можно найти длину FC?

  • Как по-другому найти SABC?

  1. DЕ и ВС лежат в плоскости ВМС. Пусть они пересекаются в точке К, так как К принадлежит ВС, значит К принадлежит плоскости АВС (аксиома А2):

1 )DЕ ∊ ВМС, ВС ∊ ВМС;

2)DЕ ∩ ВС = К (К ∊ ВС => К ∊ АВС).


Задача № 2

Дан куб АВСDА1В1С1D1, РЄВВ1, В1Р = РВ.

  1. Как построить точку пересечения плоскости АВС с прямой D1Р?

  2. Как построить линию пересечения плоскости АD1Р и АВВ1 ?

  3. Вычислите длину отрезков АР и АD1, если АВ = а.


[pic]


Решение:

  1. D1Р и DВ лежат в одной плоскости Д1ДВ. Пусть они пересекаются в точке К. Тогда точка К принадлежит прямой DВ, а значит, К Є АВС.

  2. Точка Р принадлежит ВВ1, а значит, и плоскости АВВ1. Точка Р принадлежит АВ, а значит, и плоскости АВВ1. Следовательно, по аксиоме А2: АР с АВВ1. Аналогично АР с АD1Р. Значит, АD1Р∩ АВВ1 =АР.

а) Из ΔАВР, по теореме Пифагора АР = [pic]

б) Из ΔАDD1 по теореме Пифагора АD1 = а [pic] [pic] .

Далее работа строится следующим образом:

I уровень (задачи № 3, 4- фронтальная работа)

II уровень (самостоятельная работа)

Задача N 3

Точки А, В, С не лежат на одной прямой. МЄАВ,КЄАС,РЄМК.Докажите, что точка Р лежит в плоскости АВС.

Решение:

АВ ∩ АС=А. По второму следствию прямые АВ и АС определяют плоскость ά. Точка М Є АВ, а значит, принадлежит плоскости ά, и точка К Є АС, а значит, и плоскости ά . По аксиоме А2: MKc ά. Точка Р Є МК, а значит, и плоскости ά .


[pic]

Задача № 4

Плоскость ά и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости ά и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые a ис? Почему?

Решение:

По условию, прямая а пересекает плоскость β. Пусть a ∩ β = В(ВЄ а). По условию прямая а принадлежит плоскости ά, значит,

В Є ά. По аксиоме А3 существует прямая с, такая, что ВЄс.


[pic]

II уровень (самостоятельное решение задач)

  1. Дан прямоугольник АВСД, О - точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки А, В, О лежат в плоскости ά. Докажите, что точки С и Д также лежат в плоскости ά. Вычислите площадь прямоугольника, если АС =8 (см), <AOB = 60°.

Решение:

1) Так как В принадлежит ά и точка О принадлежит ά, то ВО принадлежит ά. Так как точка Д принадлежит ВО, то Д принадлежит ά (по аксиоме А2). Аналогично точка С принадлежит ά:

  1. В Є ά, О Є ά => ВО с ά;

  2. Д Є ВО =>ДЄ ά (акс. А2);

  3. А Є ά, О Є ά => АО c ά ;

  4. СЄАО => С Є ά (акс. А2).


[pic]

2) Возможны различные способы решения задачи:

  1. Найти стороны прямоугольника.

  2. Использовать тот известный факт, что диагонали параллелограмма (прямоугольника) разбивают его на четыре равновеликих треугольника, и найти сначала площадь одного из треугольников.

  3. Использовать формулу S = [pic] [pic] d1 d1 sinά.

(Ответ: 16 [pic] [pic] см2.)

  1. Подведение итогов

Оценки за урок.

Домашнее задание пп. 1-3 учить





















Домашнее задание

1. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. МЄАВ,КЄАС,РЄМК.Докажите, что точка Р лежит в плоскости АВС.

2. Плоскость ά и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости ά и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые a ис? Почему?


Домашнее задание

1. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. МЄАВ,КЄАС,РЄМК.Докажите, что точка Р лежит в плоскости АВС.

2. Плоскость ά и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости ά и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые a ис? Почему?


Домашнее задание

1. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. МЄАВ,КЄАС,РЄМК.Докажите, что точка Р лежит в плоскости АВС.

2. Плоскость ά и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости ά и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые a ис? Почему?


Домашнее задание

1. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. МЄАВ,КЄАС,РЄМК.Докажите, что точка Р лежит в плоскости АВС.

2. Плоскость ά и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости ά и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые a ис? Почему?


Домашнее задание

1. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. МЄАВ,КЄАС,РЄМК.Докажите, что точка Р лежит в плоскости АВС.

2. Плоскость ά и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости ά и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые a ис? Почему?


Домашнее задание

1. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. МЄАВ,КЄАС,РЄМК.Докажите, что точка Р лежит в плоскости АВС.

2. Плоскость ά и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости ά и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые a ис? Почему?


Домашнее задание

1. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. МЄАВ,КЄАС,РЄМК.Докажите, что точка Р лежит в плоскости АВС.

2. Плоскость ά и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости ά и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые a ис? Почему?


Домашнее задание

1. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. МЄАВ,КЄАС,РЄМК.Докажите, что точка Р лежит в плоскости АВС.

2. Плоскость ά и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости ά и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые a ис? Почему?


Домашнее задание

1. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. МЄАВ,КЄАС,РЄМК.Докажите, что точка Р лежит в плоскости АВС.

2. Плоскость ά и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости ά и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые a ис? Почему?
Читать полностью »