Занятие кружка
«Лента Мебиуса» 5 класс
Тип занятия: лабораторно – практическая работа
Цели занятия:
Создать условия для исследовательско – поисковой работы
Познакомить учащихся с понятием односторонней поверхности
Развивать творческую инициативу
Воспитывать стремление к познанию.
Используемые технологии: технология проблемного обучения.
Методы организации учебного процесса: проблемно поисковые исследования
Оборудование:
- модели односторонних поверхностей
- маленькие машинки (на каждого ученика)
- бумажные ленты, перекрученные 1,2,3,4 раза 10 штук, (на каждого ученика)
- портрет А. Мебиуса
- энциклопедия юного математика
- ножницы, клей, карандаши
Ход занятия:
Постановка проблемы:
Учитель: Чтобы вы сказали, если бы вам сшили рубашку без изнанки?
Ученик: Значит, её можно одевать с двух сторон. Это здорово!
Учитель: Нет, тут дело посложнее : рубашка только с одной стороны.
Ученики: Таких рубашек не бывает!
Учитель: Конечно, пошутила. Но вообще одностороннюю поверхность можно сконструировать.
Вот, например цилиндр. Он представляет собой двустороннюю поверхность.(водит концом карандаша по внешней стороне цилиндра). Как вы думаете, можно ли, не пересекая границы, очутиться на другой его стороне, т.е. внутри цилиндра? Итак, мы рассмотрим двустороннюю поверхность. Вспомните начало урока. Попробуйте сформулировать цель занятия, с какими поверхностями мы должны познакомиться.
Ученики: С такими, которые имеют одну сторону.
Учитель: Правильно, с односторонними поверхностями.
Задание 1
Учитель: В одну руку возьмите бумажное кольцо, склеенное из длинной бумажной ленты, перекрученной 1 раз. Проткните её вдоль – точно посредине. Как вы думаете, что в результате у вас должно получиться?
Ожидаемый ответ: получиться два отдельных кольца.
Учитель: Делаем последний «вжик». Но что это: Вместо двух колец получиться одно! Но оно больше и тоньше первоначального. Вот это чудеса! И они могут получиться, если у вас в руках не просто бумажная полоска, а лист Мебиуса, который также называют лентой Мебиуса.
Немецкий астроном и математик Август Фердинанд Мебиус взял однажды бумажную ленту, повернул её конец на пол-оборота ( то есть на 180 градусов), а потом склеил его с другим концом. То ли от скуки он это сделал, то ли научного интереса ради – теперь уже неизвестно. Зато дополнительно известно, что так и появилась лента Мебиуса.
Задание 2
Возьмите ленту, полученную поворотом в 1 раз и фломастер. Начните закрашивать ленту в любом направлении. Как вы думаете, какой результат вы получите?
1-ый вариант: начните закрашивать ленту из нутрии,
2-ой вариант закрашивать ленту снаружи.
Ожидаемые ответы:
У меня закрасилась лента внутри, а снаружи будет не закрашенная;
У меня закрасится лента снаружи, а изнутри будет не закрашенная.
Учитель: Посмотрите на свои ленты. Как? Они закрашены целиком? Но вы, же закрашивали внутреннюю поверхность? А вы внешнюю! Опять фокус! И вы ведь не поворачивали ленту, чтобы закрасить с другой стороны, да и не смогли бы перевернуть, потому что поверхность ленты Мебиуса односторонняя. Давайте проверим.
Задание 3
Возьмите в руку машинку и ленту Мебиуса, перекрученную в 1 оборот. Поставьте машинку на старт, и отправляйтесь в путешествие по ленте. Где же будет финиш?
Ожидаемый ответ: финиш совпал со стартом.
Итак, мы ещё раз убедились, что лист Мебиуса – односторонняя поверхность.
Задание 4
Возьмите в руку ленту Мебиуса, перекрученную в 1 оборот. Разрезать посредине, мы уже пробовали. Давайте разрежем ленту вдоль на расстоянии 1/3 её ширины от края. Как вы думаете, что мы получим? Что это? Получилось ни одно длинное кольцо, а два, но – одно большое и сцепленное с ним маленькое.
Задание 5
Учитель: Если вы разрежете маленькое кольцо вдоль посредине, что у вас получится?
Ожидаемый ответ: переплетение двух колец, одинаковых по размеру, но разных по ширине. Опять чудеса? Да ещё и какие!
Задание 6
Склейте ленту, перекрутив её два раза, т.е. на 360 градусов. Такая поверхность будет двусторонней
Разрежьте её посредине
Сколько колец и как вы получили? (два одинаковых кольца)
А теперь разрежьте каждое из низ ещё вдоль посередине. Какие и сколько колец получилось?
(4 кольца, соединённых друг с другом)
Рвите эти кольца по очереди – что происходит с остальными кольцами? (Учащиеся поочереди рвут кольца и видят, что оставшиеся остаются скрепленными)
Нетрудно догадаться, о чем вы сейчас задумались: а что получится, если ленту на три оборота и склеить.
Что ж, любопытство ваше оправдано. И у вас есть отличная возможность удовлетворить его самостоятельно! Но при этом неплохо было бы воспользоваться такими советами:
Возьмите не бумажную ленту, а полоску какой-нибудь ткани.
Проденьте её сквозь металлическое кольцо.
Поверните один из кольцов полоски на 3 оборота, т.е. на 540 градусов.
Сшейте оба конца.
Теперь можно взять ножницы и аккуратно разрезать матерчатое кольцо вдоль посередине. Ножницы лучше брать небольшие и непременно с тупыми концами, дабы в порыве научного любопытства не повредить своему здоровью.
Интересно, кстати, было бы узнать, что у вас получиться в результате этого эксперимента?
Можно, конечно, провести ещё немало опытов с перекручиванием ленты на 4 оборота, на 5, на 6 и последующим разрезанием кольца вдоль посередине, и на расстоянии в 1/3 ширины от края и в ¼ …Но усложнение эксперимента часто приводит к более эффектным результатам. Недаром говорят: «просто, как все гениальное». Видимо, верно, и обратное утверждение: «гениальное, как всё простое».
И действительно: простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мебиуса и приобретает удивительные свойства. Такие свойства поверхностей и пространств изучает специальный раздел математики – ТОПОЛОГИЯ.
Наука эта настолько сложная, что её в школе не проходят. Только в институтах ( и то не во всех!). Но кто знает, вдруг вы станете со временем знаменитыми топологами и совершите не одно замечательное открытие. И быть может, какую-нибудь замысловатую поверхность назовут вашим именем.
Итог занятия:
Учитель:
Ребята, скажите, какую цель мы поставили перед собой в начале урока?
(Познакомится с односторонней поверхностью)
Как вы считаете, вам удалось достичь цели? (да)
У кого из вас возникло желание продолжить исследовательскую работу?
Как вы считаете, вы можете удивить ваших близких, показав им опыт с лентой Мебиуса?
Ну, что ж, удачи вам!
