Урок 59. Повторение. Векторы в пространстве. Действия над векторами. Скалярное произведение векторов
Цель урока:
- повторить и систематизировать знания учащихся по пройденным темам.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
II. Проверка домашней работы
III. Актуализация знаний учащихся
Повторение теоретического материала.
1. Ответы на вопросы:
- определение векторов;
- равные векторы. Длина вектора;
- коллинеарные векторы;
- компланарные векторы;
- единичный вектор;
- координатные вектора;
- дан вектор [pic] Разложить его по координатным векторам;
- найти длины векторов [pic]
- что называют скалярным произведением двух векторов?
- свойства скалярного произведения;
- найти: [pic]
2. Пока проходит опрос, ученик выполняет задание на закрытой доске: заполняет пропуски в записи.
[pic] коллинеарные, значит, [pic] г) если [pic] - неколлинеарные вектора, то [pic] [pic] ж) если [pic] то ...; з) [pic] то угол [pic] и) если угол [pic] - острый, то ...
3. Индивидуальная работа по карточкам (три уровня сложности).
I уровень
Вычислить угол между прямыми АВ и CD, если А(1; 1; 0), B(3; -1; 0), С(4; -1; 2), D(0; 1; 0).
II уровень
Дано: ABCD - параллелограмм. А(-6; -4; 0), В(6; -6; 2), С(10; 0; 4). Найти координаты вершины D и угол между векторами [pic]
III уровень
Дано: МАВС - тетраэдр. М(2; 5; 7), А(1; -3; 2), B(2; 3; 7), С(3; 6; 2). Найти расстояние от точки М до точки О пересечения медиан ΔABC.
Решение:
I уровень
[pic]
II уровень
1) О - середина AC (диагонали) [pic]
2) О - середина BD (диагонали) [pic] [pic]
3) [pic] [pic] следовательно, φ= 120°. (Ответ: D(-2; 2; 2), φ = 120°.)
III уровень
(Рис. 1) [pic]
1) D - середина АВ, D(3/2; 0; 9/2).
[pic]
3) [pic] (по свойству медиан) [pic]
[pic]
5) ΔMOD (прямоугольный): [pic] [pic] (Ответ: 5.)
IV. Решение задач
№ 467 а). Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед. [pic] (рис. 2)
Найти: угол между прямыми BD и CD1.
[pic]
Решение задачи желательно записать двумя способами.
I способ:
1) Введем системы координат. B(0; 0; 0), D(1; 1; 0), С(1; 0; 0), D1(1; 1; 2).
[pic]
II способ.
1) Угол между прямыми BD и СD1 равен углу между BD и ВА1.
2) В ΔBDA1 имеем [pic]
3) По теореме косинусов [pic] (Ответ: ≈ 71°34’.)
№ 472. Дано: куб MNPQM1N1P1Q1.
[pic]
Доказать, что прямая РМ перпендикулярна к плоскостям MN1Q и QNP1. Составить план решения:
1) ввести систему координат, найти координаты векторов [pic]
2) доказать с помощью скалярного произведения, что MN1 ⊥ PM1, MQ1 ⊥ PM1.
3) сделать вывод по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, что MN1Q1 ⊥PM1.
Решение:
1) введем систему координат. М(1; 0; 0), N1(1; 1; 1), Q(0; 0; 1), Р(0; 1; 0), М1(1; 0; 1).
2) [pic]
3) [pic] Значит, [pic] и [pic]
4) [pic] Значит, [pic] и [pic] Поэтому, пл. [pic]
Дополнительная задача.
Дано: векторы [pic]
Найти: [pic]
(Ответ: 2√5.)
V. Подведение итогов
- Какие вектора называются: а) коллинеарными; б) компланарными?
Домашнее задание
Повторить гл. V, № 469.
