4 сабақ
Параллелограмм. Фалес теоремасы
Сабақтың мақсаты:
Параллелограмның анықтамасын беру оның қасиеттерін дәлелдеу. Фалес теоремасын дәлелдеу. Фалестің тарихын келтіру
Оқушыларды дәлелдеулерде ұқыптылыққа үйрету.
Пәнаралық байланыс геометрия, тарих.
Сабақтың жоспары:
Ұйымдастыру
Оқушылардың үй жұмысын тексеру. Дұрыс көпбұрыш анықтамасын, оның ішкі бұрыштарының қосындысына центрлік бұрыштарының шамаларының мәндерінің формулаларын сұрастыру.
Фалестің өмірбаяны – Милет қаласынан шыққан ең бірінші грек математигі (бэд VII ғасыр).
Жаңа сабақ өту. Параллелограмм дегеніміз – қарама-қарсы қабырғалары параллель түзулер бойында жататын төртбұрыш.
Сабақта параллелограмм туралы 3 теорема дәлелденді.
Теорема 1.2. Егер төртбұрыштың диагональдары қиылысып және қиылысу нүктесіне қақ бөлінетін болса онда бұл төртбұрыш – параллелограмм.
[pic] [pic]
Бер: АВСD – төртбұрыш. АОВ=СОD (вертикаль бұрыштар және берілгені АО=СО, ВО=DО. Үшбұрыштардың теңдігінің бірінші белгісі бойынша ∆АОВ=∆СОD тең үшбұрыштардың сәйкес элементтері тең болатындықтан DСО=ВАО АВ және СD түзулерін АС қиып өткенде айқыш бұрыштар тең болғандықтан АВ||СD. Дәл осылайша ВС||АD екендігі ∆ВОС=∆DОА және ВСО=DАО –дан ВС||АD екендігі шығады. Анықтама бойынша АВСD – параллелограмм. Бұдан кейін теорема 1.2-ге кері теореманы дәлелдейміз.
Теорема 1.3. Параллелограмның диагональдары қиылысады және қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді.
Бер.: АВСD – параллелограмм АС және ВD диагональдар. АС∩ВD=O, АО=ОС, ВО=ОD және қиылысу нүктесінде қақ бөлінетінін. [pic]
АВС1D – берілген параллелограмм болсын. ВD диагоналін жүргіземіз де оның ортасы О нүктесін белгілейік. АО кесіндісінің созындысында оған тең ОА1 кесіндісін саламыз. Дәлелденген теорема 1.2 бойынша АВС1D- параллелограмм. Демек түзуден BC1||AD, DC1||AB түзуден тыс жатқан В нүктесінен АD-ға параллель бір ғана түзу жүргізуге болады. Яғни, BC1 түзуі BC түзуімен беттеседі. DС1 мен DC түзулерінің беттесетіндігі дәл осылайша дәлелденеді. Бұдан C1 мен C беттесетіндігі шығады. Олай болса және АВСD параллелограмдары беттеседі. Демек АВСD параллелограмның да диагональдары қиылысады және қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді.
Осыдан кейін параллелограмның қарама-қарсы қабырғаларының және бұрыштарының қасиеті туралы теорема дәлелденеді.
Теорема 1.4. Параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары тең, қарсы жатқан бұрыштары тең. Бер: АВСD – параллелограмм.
Д/к: АВ=DС, BC=AD, = , B=
Дәлелдеу үшін О нүктесінде қиылысатын АС және ВD диагональдарын жүргіземіз. Үшбұрыштар теңдігінің І белгісі ∆АОВ=∆СОD, бұларда вертикаль бұрыштар болғандықтан және параллелограмның қасиеті бойынша АО=ОС, ВО=ОD. Үшбұрыштар тең болғандықтан АВ=DС [pic]
Дәл осыған ұқсас АОD және СОВ үшбұрыштарының теңдігінен АD=ВС шығады. Яғни, параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары тең.
Қарама-қарсы бұрыштардың теңдігі үшбұрыштардың теңдігінің үшінші белгісі арқылы дәлелденеді.
АВС=∆СDА, бұларда АВ=DС, ВС=АD ал АС – ортақ қабырға, яғни В=D. ∆АВD=∆СDВ, бұларда АВ=DС, ВС=АD ал ВD – ортақ қабырға, яғни A=D.
№8. Төбелері бір түзудің бойында жатпайтын берілген үш нүкте болатын неше параллелограмм салуға болады.
Нүктелер үшеу болғандықтан үш кесінді салуға болады. Бұлардың екеуі қабырға болса, онда біреуі диагональ болады. АВEC параллелограмында АВ||CE , АС||ВE және ВС – диагональ. осылайша АFСВ, АDBC тағы да екі параллелограмм құрастыруға болады. [pic]
Ж: 3
№13 есеп. АВСD параллелограмында А бұрышының биссектрисасы жүргізіліп, ол ВС-қабырғасын Е нүктесінде қиып өткен. Егер АВ=8 см, АD=14см болса, онда ВЕ және ЕС кесінділерінің әрқайсысы неге тең? [pic]
Берілгені: АВСD параллелограмм АЕ – А бұрышының биссектрисасы(E]
АВ=8, АD=14. Т/к: ВЕ, ЕС.
АЕ–биссектриса болғандықтан ВАЕ=ЕАD АD||ВС және АЕ қиюшы болғандықтан АЕВ=DАЕ сол кезде ВАЕ=ЕАD ЕАD=АЕВ теңдіктерінен ВАЕ=АЕВ. Табандағы бұрыштар тең болғандықтан ∆АВЕ – тең бүйірлі. Яғни АВ=ВЕ=8 см. Бұл кезде ЕС=ВС-ВЕ=14-8=6
Жауабы: 8см және 6 см.
Сабақта Фалес теоремасы дәлелденеді. [pic]
Теорема 1.7. Егер бұрыштың қабырғалары қиып өтетін параллель түзулер оның бір қабырғасынан тең кесінділер қиып түсеетін болса, онда ол түзулер бұрыштың екінші қабырғасынан да тең кесінділер қиып өтеді.
Бер: аО в – берілген бұрыш.
Дәлелдеу үшін В2 нүктесі арқылы а сәулесіне параллель EF түзу жүргіземіз. олсын. Сол кезде параллелограмдар, оның қарама-қарсы қабырғалары тең болғандықтан FB2=B2E.
Айқыш бұрыштар болғандықтан вертикаль бұрыштар болғандықтан . Үшбұрыштардың теңдігінің екінші белгісі бойынша∆ олай болса =B2B3. Теорема дәлелденді.
Сабақта 8 есеп талданады. Айталық, берілген кесіндіні m:n қатынаста бөлу керек болсынн АВ берілген кесінді болсын. А нүктесіне а сәулесін жүргіземіз. А төбесінен бастап Аа сәулесіне циркульмен өзара тең кесінділер саламыз. нүктесін В нүктесімен қосамыз. нүктелері арқылы түзуіне параллеь түзулер жүргіземіз. Айталық ол түзулер АВ кесіндісін нүктелерінде қиып өтетін болсын. Фалес теоремасы бойынша бұл кесінділері тең болады.
[pic]
Үйге тапсырма 15, 20, 21 есептер
15. Параллелограмның диагоналі оны екі тең үшбұрышқа бөлетінін дәлелдеңдер.
20. Параллелограмның бір қабырғасы екінші қабырғасынан 4см-ге артық. Периметрі 92см болса, онда үлкен қабырғаны табыңдар.
58. Тең бүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғасы 5м-ге тең. Осы үшбұрыш табанындағы бір нүктеден бүйір қабырғаларға параллель түзулер жүргізілген. Сонда пайда болған параллелограмның периметрін табыңдар.
