Интерес к математике и математические способности учащихся проявляются в довольно раннем возрасте. Значительную роль в их развитии играет систематическое решение задач, которые могли бы заинтересовать юных математиков и способствовали бы стремлению к самостоятельным исследованиям.
Именно такие задачи содержит данный сборник. Он предназначен для внеклассных занятий с учащимися 7–9 классов.
В сборнике приведены подробные решения 20 нестандартных задач. Многие из них предлагались на математических олимпиадах.
Данный сборник может служить пособием для подготовки учащихся к олимпиадам по математике.
Задача № 1
Доказать равенство [pic]
Решение:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Задача № 2
Доказать, что выражение [pic] не равно нулю, если a, b, c – попарно не равные между собой числа.
Решение:
[pic]
[pic] =
[pic]
[pic] т.к. a [pic] .
Задача № 3
Доказать, что [pic] делится на 6 при любом натуральном n.
Решение:
[pic]
[pic] [pic] это произведение трех последовательных чисел, поэтому делится на 1 [pic] .
12n делится на 6 очевидно. Следовательно, [pic] делится на 6, поэтому [pic] делится на 6.
Задача № 4
Доказать, что число [pic] делится на 3 при любом натуральном n.
Решение:
[pic]
[pic] – три последовательных числа, значит делится на 3.
[pic] также делится на3. Следовательно, [pic] делится на 3, поэтому [pic] делится на 3.
Задача № 5
Доказать, что если n – натуральное число и n [pic] , то [pic] составное число.
Решение:
[pic]
Так как n – натуральное, то [pic] – целые числа, не равные 1. Значит, [pic] – составное число.
Задача № 6
Доказать равенство: [pic]
Решение:
[pic]
[pic]
Задача № 7
Доказать равенство: [pic]
Решение:
[pic] = [pic]
Задача № 8
Доказать равенство: [pic]
Решение:
[pic]
Задача № 9
Доказать равенство: [pic]
Решение:
[pic]
[pic]
Задача № 10
Доказать равенство: [pic]
Решение:
[pic]
[pic]
Задача № 11
Доказать, что число [pic] является квадратом некоторого натурального числа x, и найти x.
Решение:
Пусть 1980 [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Значит, x = [pic]
Задача № 12
Упростить выражение: [pic]
Решение:
[pic]
[pic]
Задача № 13
Упростить выражение: [pic]
Решение:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Задача № 14
Упростить выражение: [pic] ,если [pic]
Решение:
[pic]
[pic]
Если [pic] , то B= [pic]
Задача № 15
Упростить выражение: [pic] , если [pic] , где [pic]
Решение:
[pic]
Если [pic] , то [pic] при [pic]
Задача № 16
Найти все значения r, при которых уравнение [pic] имеет:
1) равные корни;
2) корни, модули которых равны, а знаки противоположны.
Решение:
[pic]
1) Уравнение будет иметь равные корни при D=0.
[pic]
[pic]
[pic]
2) Уравнение будет иметь корни, модули которых равны, а знаки противоположны, если второй коэффициент будет равен 0 и это уравнение станет неполным. Значит, при r=0 уравнение примет вид [pic] .
Задача № 17
Доказать что если [pic] , то квадратное уравнение [pic] . Имеет действительные корни. При каких значениях [pic] оба корня этого уравнения отрицательные?
Решение:
1) Докажем ,что данное уравнение имеет действительные корни при [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Уравнение будет иметь действительные корни, если [pic] . Но данный дискриминант будет равен нулю при [pic] , а по условию [pic] , значит, этот дискриминант должен быть строго больше нуля. Он больше нуля, т.к. [pic] . Значит, уравнение [pic] имеет действительные корни.
2) Чтобы уравнение имело два отрицательных корня, свободный коэффициент должен быть с положительным знаком, т.к. [pic] , а их сумма равна отрицательному числу.
Решим систему неравенств:
[pic] [pic] [pic]
Ответ: [pic]
Задача № 18
Каким условиям удовлетворяют числа a и b ,если биквадратное уравнение [pic] имеет четыре различных действительных корня?
Решение:
[pic]
[pic]
Так как уравнение [pic] имеет 4 различных корня, то k и [pic] –положительны, т.к. [pic] , [pic] . Уравнение [pic] будет иметь положительные корни [pic] при [pic] и при положительном дискриминанте.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Сумма двух чисел будет положительна, только если эти оба числа будут положительны, значит [pic]
Ответ: [pic]
Задача № 19
Какой цифрой оканчивается число [pic]
Решение:
[pic] оканчивается цифрой 2.
[pic] оканчивается цифрой 4.
[pic] оканчивается цифрой 8.
[pic] оканчивается цифрой 6.
[pic] оканчивается цифрой 2.
[pic] оканчивается цифрой 4.
………………………………………..
Т.е. через каждые четыре показателя числа будут оканчиваться теми же цифрами. Так как при делении 1982 на 4 получаем в остатке 2, то число [pic] оканчивается той же цифрой, что [pic] , т.е. цифрой 4.
Задача № 20
Пусть [pic] . Доказать что [pic] .
Решение:
[pic]
[pic]
