Конспект урока по геометрии по теме Теорема Пифагора (8 класс)

Тема урока «Теорема Пифагора»

Тип урока: урок изучения нового материала

Цель урока:

Знакомство с теоремой Пифагора, формирование навыков решения задач;
Развитие познавательного интереса, логического мышления учащихся;
Воспитание нравственных качеств личности.

Задачи урока:

Познакомить учащихся с древнегреческим математиком Пифагором.
Сформулировать и доказать теорему Пифагора.
Научить применять теорему для нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника, показать практическое применение теоремы.

Оборудование: компьютер, презентация, мультимедийный проектор, экран.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент. (Слайд 1)

(Слайд 2)

“Да, путь познания не гладок.
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше, чем разгадок,
И поискам предела нет!”

И сегодня на уроке я предлагаю вам разгадать одну из таких загадок.

(Слайд 3)

Сегодня мы познакомимся с одной из важнейших теорем древности – теоремой Пифагора. Узнаем о жизни Пифагора, докажем теорему и научимся применять её для решения задач.

Наше занятие мы проведем в форме урока-семинара. К этому уроку вам были даны индивидуальные задания, которые вы оформили в виде презентаций, подготовили сообщения.

II. Устная работа. Повторение пройденного материала.

Проверка домашнего задания.

Внимание на экран

1. Какой треугольник изображен на рисунке ? (Слайд 4)

(Прямоугольный)

[pic]

2. Как называются стороны прямоугольного треугольника?

3. Назовите катеты и гипотенузу.

(МК и КР – катеты, МР – гипотенуза).

4. Что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника?

5. Выразите cosM, cosP.

[pic]

6. Какой треугольник на рисунке? Чем он интересен? (Слайд5)

(Равнобедренный, прямоугольный. Углы при основании по 45°. Его можно достроить до квадрата со стороной, равной катету).

[pic]

Рис. 2

6. Что такое пропорция? (Слайд 6)

Назовите основное свойство пропорции.

Найти неизвестный член пропорции: =

7. Устная задача (проблемная)

В прямоугольной трапеции угол А равен 90°. Меньшая боковая сторона 4 см. Основания АD и BC соответственно равны 8см и 5 см, из вершины С опущена высота СН. Найти стороны треугольника СН D (Слайд 7)

Почему вы не можете довести решение этой задачи до конца? (Мы не знаем, как связаны стороны в прямоугольном треугольнике.)(Слайд 8)

Мы столкнулись с проблемой.

III. Изучение нового материала

Учитель: Мы не можем довести решение задачи до конца, т.к. не знаем как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике по известным катетам. Для того, чтобы найти гипотенузу DС, нам нужно установить равенство, связывающее длины сторон в прямоугольном треугольнике. И если эта зависимость существует, то, как она формулируется.
Давайте попытаемся найти эту зависимость!

Задания по рядам.( Практическая работа исследовательского характера) Построить прямоугольные треугольники по катетам. (Слайд 9)

– Измерьте гипотенузу и запишите результаты измерений.
– Установите зависимость между катетами и гипотенузой (не могут).
– Найдите квадраты соответствующих сторон (Слайд 10).
– Какая зависимость между катетами и гипотенузой, попытайтесь сформулировать (Выслушиваются ответы учащихся)

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

- Выразите формулой зависимость, которую вы получили.

а²+в²=с²

Учитель: Зависимость, которую мы установили между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника называется теоремой Пифагора.

Давайте послушаем сообщение о математике именем, которого названа эта теорема.

Ученик 1. (Слайд11)

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. (Слайд 12)
Родился Пифагор в семье резчика по камню. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.
Пифагор перебрался в город Милет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам когда-то изучал науки.
Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки. Пифагор был чемпионом Олимпийских игр по кулачному бою.
Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.
Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю. Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.
После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд, поэтому установить правду о Пифагоре невозможно.

Учитель: Ребята, знаете ли вы что-нибудь, связанное с именем Пифагора?

(Некоторые ученики могут сформулировать саму теорему или известную шутливую фразу: “Пифагоровы штаны во все стороны равны” или рассказать о головоломке – игре “Пифагор”.)

- Об этом мы и поговорим.

Запишем тему урока: “Теорема Пифагора”.

В современных учебниках теорема сформулирована так: “В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”.

Давайте нарисуем прямоугольный треугольник и запишем коротко условие этой теоремы.

Что дано?

Что необходимо доказать?

Дано: АСВ ,С = 90⁰.

Док-ть: АВ² = АС² + ВС².

[pic]

Давайте узнаем, как звучала формулировка этой теоремы во времена Пифагора, узнаем историю этой теоремы и одно из доказательств т. Пифагора.

Ученик 2. Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так: (Слайд 13)

“Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах”

или

“Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах”.

Теорема Пифагора имеет богатую историю. Оказывается, она задолго до Пифагора была известна египтянам, вавилонянам, китайцам и индийцам. За восемь веков до нашей эры теорема была хорошо известна индийцам под названием “правило веревки” и использовалась ими для построения алтарей, которые по священному предписанию должны иметь строгую геометрическую форму, ориентированную относительно четырех сторон горизонта.

Доказательство самого Пифагора до нас не дошло. В настоящее время имеется свыше ста различных доказательств теоремы Пифагора. Возможно, что одно из них принадлежит Пифагору или его ученику.

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников (Слайд 14)

[pic]

Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника, а на каждом катете построен квадрат, содержащий, два треугольника. Из рисунка 6 видно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

(Слайд 15)
[pic]

- Смотрите, а вот и Пифагоровы штаны во все стороны равны”. Такие стишки придумывали учащиеся; рисовали шаржи к теореме Пифагора. Вот, например, такие, как на рисунке .

(Слайд 16)
[pic]

Учитель.

Мы увидели простейшее доказательство т. Пифагора. В настоящее время имеется свыше 100 доказательств этой теоремы. Давайте попробуем и мы доказать т. Пифагора.

Я буду задавать наводящие вопросы.

Опустим высоту из вершины прямого угла.

СD ┴ AB

Какие треугольники получились?

Чему равен cos A из ACD? cos A= [pic]

Чему равен cos A из ABC? cos A= [pic]

Что можно сказать про эти два отношения?

[pic] = [pic]

Используя основное свойство пропорции : AC² = AD·AB.
Чему равен cos B из ВCD? cosB = [pic]
Чему равен cos B из ABC? cosB = [pic]

[pic] = [pic]

BC² = BD·AB.
Сложите почленно полученные равенства и выполните тождественные преобразования.
AC² = AD · AB.
BC² = BD · AB.
AC² + BC² = AD·AB + BD · AB = AB · (AD + BD) = AB · AB = AB².

Теорема доказана.

Вывод. Как же формулируется зависимость, связывающая длины сторон в прямоугольном треугольнике?

Следствия теоремы.

- Сравните длины гипотенузы и катетов

Вывод: « Любой катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы».
– Какие значения может принимать cos острого угла прямоугольного треугольника?

Вывод: «Для любого острого угла ? cos ? < 1»

Докажем это следствие.
cos A = [pic] , AC < AB, значит, дробь правильная, а она меньше 1,

что требовалось доказать.

Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки. О ней ходит много легенд, сложено немало стихов. Давайте послушаем некоторые из них, как называли эту теорему и почему.

Ученик 3 . В одной из легенд говорится о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву сто быков. Эта легендаизложена в следующем стихотворении.

Пребудет вечной истина, как скоро
Все познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна как и в его далекий век.

Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За свет луча, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать,
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.

(А. Шамиссо)

Поэтому т. Пифагора называли теоремой «ста быков»

(Слайд 17)

Еще т. Пифагора называют теоремой нимфы, невесты или бабочки. Теорема Пифагора называлась теоремой Нимфы, «теорема-бабочка», по-видимому, из-за сходства чертежа с бабочкой, поскольку словом «нимфа» греки называли бабочек. Нимфами греки называли еще и невест, а также некоторых богинь.

При переводе с греческого арабский переводчик, вероятно, не обратил внимания на чертеж и перевел слово «нимфа» не как «бабочка», а как «невеста». Так и появилось ласковое название знаменитой теоремы – «Теорема Невесты».

[pic]

(Слайд 18)

Эту же теорему называют «бегство убогих» или «ослиный мост» . Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда «ослиный мост» или – «бегство убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии.

Слабые ученики, заучивавшие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

IV. Закрепление данного материала .

Выполним следующие задания.

Запишите т. Пифагора для треугольника МТК.

Вычислите, чему равна длина гипотенузы?

(Ответ: 5).

- Обратите внимание на эти три числа 3, 4, 5. треугольник с такими сторонами иногда называют египетским.

О нем вы прочитаете дома в п. 64 по учебнику Погорелова , а на следующем уроке расскажете о “Правиле веревки”.

3. Найдите неизвестную сторону треугольника.

[pic]

Рис. 11

(Ответ: в данном случае использовать теорему Пифагора нельзя, так как неизвестно, о каком треугольнике идет речь, а, значит, утверждать, что треугольник прямоугольный, нельзя.)

- Итак, ребята, сделаем вывод, ответив на вопрос: на что надо обращать особое внимание при применении теоремы Пифагора?

(Ответ: чтобы использовать теорему Пифагора, надо убедиться, что треугольник прямоугольный.)

4. Вернемся к задаче, которую мы решали в начале урока..

IV. Решим три старинные задачи, в которых будет работать теорема Пифагора.

Ученик 4.

Задача первая.

Эта задача из первого учебника математики на Руси. Называется этот учебник “Арифметика”.

Автором этого учебника был Леонтий Филлиповияч Магницкий.

- Однако настоящая его фамилия Телянин, а Магницким он стал по приказу Петра I, который был восхищен его занятиями, притягивавшими к себе всех любознательных подобно магниту.

Читаю задачу так, как она была записана в те времена:

“Случится некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лествицу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать” (рисунок 13).

[pic]

Рис. 13

Решение на доске.

[pic]

Рис. 14

Дано: [pic]

[pic]

Найти: СВ.

Решение.

По т. Пифагора имеем:

[pic]

тогда

[pic]

Ответ: 44 стопы.

Ученик 5.

Задача вторая. Часто математики записывали свои задачи в стихотворной форме. Вот одна из задач индийского математика ХII в. Бхаскары:

“На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река
В четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи
У тополя как велика высота?”

(Задача иллюстрируется рисунком

[pic]

Рис.15

[pic]

Рис. 16

Дано: [pic] (рисунок. 16).

[pic]

Найти: АВ.

Решение.

1) [pic]

2) По теореме Пифагора

[pic]

3) [pic]

Ответ: 8 футов

Задача третья. А вот еще одна задача древних индусов, тоже написанная в форме стихотворения:

“Над озером тихим,
С полфута размером, высился лотоса цвет.
Он рос одиноко. И ветер порывом
Отнес его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашел же рыбак его ранней весной
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
Как озера вода
Здесь глубока?”

Решение задачи:

CD – глубина озера, обозначим ее х

[pic]

Тогда по теореме Пифагора имеем:

[pic] , т.е.

[pic]

Ответ: [pic] фута.

V. Домашнее задание.

По учебнику Погорелова п. 63, 64. № 2 (3), 4, 18.

V. Подведение итогов

– Мы с вами познакомились с доказательством теоремы Пифагора.
– Что вы знаете о прямоугольных треугольниках на сегодняшний день?

1. Определение прямоугольного треугольника.
2. Названия сторон, соотношения между ними.
3. Свойство острых углов прямоугольного треугольника.
4. Свойство прямоугольного треугольника с углом в 45°.
5. Площадь прямоугольного треугольника
6. Теорема Пифагора

– Чем необычным был для вас сегодняшний урок?

Я хочу предложить вам стихотворение, которое можно использовать, чтобы лучше запомнить т. Пифагора.

Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдём:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим
И таким простым путём
К результату мы придём.

VI . Домашнее задание:

П. 63, 64, выучить формулировку т. Пифагора, уметь её доказывать.

№ 2(1), № 3(1)

Отметки за урок я объявлю на следующем уроке, когда проверю ваши презентации и творческие работы по этой теме.

VI I. Заключение (слайд 26)

Живи с людьми так,
Чтобы твои друзья
Не стали недругами,
А недруги стали друзьями.

(Пифагор)

Пифагор был не только математиком, но и философом. В течении всей жизни он проповедовал нравственные идеи и принципы. Система морально-этических правил, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев – «Золотые стихи». Они переписывались и дополнялись на протяжении всей тысячелетней истории античности, а затем и в эпоху средневековья и Возрождения. В 18-19 веках «Золотые стихи» были особенно популярны в России. В 1808 году в Санкт-Петербурге вышла карманного формата книжечка «Пифагоровы законы и нравственные правила», начинавшаяся словами: «Пифагор есть законодатель всего человеческого рода».

Вот некоторые из 325 Пифагоровых заповедей:

Мысль превыше всего между людьми..

Берегите слёзы ваших детей, дабы они могли проливать их на вашей могиле.
Во время гнева не должно ни говорить, ни действовать.
Молчание прекрасно. Молчи, если не можешь изречь то, что было бы прекрасней молчания.
Сыщи себе верного друга; имея его, ты можешь обойтись без богов.
Юноша! Если ты желаешь себе жизни долгоденственной, то воздержи себя от пресыщения и всякого излишества.
Юные девицы! Помятуйте, что лицо лишь тогда бывает прекрасным, когда оно изображает изящную душу.
Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом.
Не пекись о скитании великого знания: из всех знаний нравственная наука, может быть, есть самая нужнейшая, но ей не обучаются.
Делай лишь то, что впоследствии не омрачит тебя и не заставит раскаиваться.
Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что нужно знать.
Не пренебрегай здоровьем своего тела.
Научись жить просто и без роскоши.
Через весы не шагай – избегай алчности.
Не садись на хлебную меру – не живи праздно.
Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания.
Ласточек в доме не держи – не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык.
Не закрывай глаза, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков за день.
По торной дороге не ходи – следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих.

Следуйте и вы этим заповедям, ведь они выражают вечные общечеловеческие ценности, которые остаются важными всегда..

(Каждый учащийся сам вытаскивает себе высказывание Пифагора, которые выписаны на специальных карточках)

Всем большое спасибо за урок!

Задача третья. А вот еще одна задача древних индусов, тоже написанная в форме стихотворения:

Решение задачи:

CD – глубина озера, обозначим ее х

[pic]

Тогда по теореме Пифагора имеем:

[pic] , т.е.

[pic]

Ответ: [pic] фута.

Ученик 1. (Слайд11)

Ученик 2. Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так: (Слайд 13)

или

Ученик 3 . В одной из легенд говорится о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву сто быков. Эта легендаизложена в следующем стихотворении. [pic]

Поэтому всегда с тех самых пор
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать,
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.

(А. Шамиссо)

Поэтому т. Пифагора называли теоремой «ста быков»

(Слайд 17)

[pic]

(Слайд 18)

Ученик 4.

Задача первая.

Эта задача из первого учебника математики на Руси. Называется этот учебник “Арифметика”.

Автором этого учебника был Леонтий Филлиповияч Магницкий.

Читаю задачу так, как она была записана в те времена:

[pic]

Рис. 13

Решение на доске.

[pic]

Рис. 14

Дано: [pic]

[pic]

Найти: СВ.

Решение.

По т. Пифагора имеем:

[pic]

тогда

[pic]

Ответ: 44 стопы.

Ученик 5.

(Задача иллюстрируется рисунком

[pic]

Рис.15

[pic]

Рис. 16

Дано: [pic] (рисунок. 16).

[pic]

Найти: АВ.

Решение.

1) [pic]

2) По теореме Пифагора

[pic]

3) [pic]

Ответ: 8 футов