Поурочные планы по геометрии 9 класс Атанасян 2 часа в неделю

Уроки 1–2
Повторение. Решение задач

Цели: вспомнить с учащимися сведения, необходимые при изучении геометрии в 9 классе; повторить некоторые свойства треугольников и четырехугольников; закрепить знания учащихся в ходе решения задач.

Ход уроков

I. Повторение ранее изученного материала.

1. Сформулировать определения медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

2. Равнобедренный треугольник и его свойства. Признаки равенства треугольников.

3. Определение средней линии треугольника и ее свойство.

4. Теорема Пифагора и обратная ей теорема.

5. Формула для вычисления площади треугольника.

6. Понятие параллелограмма, свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника.

7. Определение трапеции, виды трапеций.

8. Площадь параллелограмма, площадь трапеции.

II. Решение задач.

Повторение можно организовать в ходе решения следующих задач:

1. В треугольниках ABC и A1B1C1 дано AB = A1B1; AC = A1C1, точки D и D1 лежат соответственно на сторонах BC и B1C1; AD = = A1D1. Докажите, что данные треугольники равны, если AD и A1D1: а) высоты; б) медианы.

Примечание. при решении задачи 1 (б) полезно обратить внимание учащихся на прием «удвоения медианы» – откладывание на продолжении медианы AD за точку D отрезка, равного медиане.

2. Докажите, что центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на высоте, проведенной к основанию.

3. Докажите, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к его основанию, или на ее продолжении.

4. Докажите, что треугольник является равнобедренным, если две его медианы равны.

5. Докажите, что если в треугольнике две высоты равны, то центр вписанной в него окружности лежит на одной из медиан этого треугольника, а центр описанной окружности – на той же медиане или ее продолжении.

6. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

7. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равнобедренной трапеции, взаимно перпендикулярны.

8. Найдите длины отрезков, соединяющих середины сторон трапеции с равными диагоналями, если ее основания раны 7 см и 9 см, а высота равна 8 см.

9. Вычислите площадь треугольника АВС, если AB = 8,5 м, АС = 5 м, высота АN = 4 м и точка N лежит на отрезке BC.

10. Вершины четырехугольника ABCD являются серединами сторон четырехугольника, диагонали которого равны по 6 дм и пересекаются под углом 60°. Вычислите площадь четырехугольника ABCD.

III. Итоги уроков.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 15; 17; 18; 19; 20; 30; 42; 43; 44; 45; 46; 49; 50; 51; 52; 53; 54; 55. Решить задачи №№ 167; 163; 502; 513; 515; 517; 524.

ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА. РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ. (8 часов)

Урок 3. Дата:
Понятие вектора.

Цели: ввести понятие вектора, его длины, коллинеарных и равных векторов; научить учащихся изображать и обозначать векторы, откладывать от любой точки плоскости вектор, равный данному.

Ход урока

I. Изучение нового материала (лекция).

Материал пунктов 76–78 рекомендуется изложить в виде небольшой лекции с применением разнообразных иллюстративных средств (графопроектор, плакаты, таблицы, рисунки).

1. Понятие векторных величин (или коротко векторов).

2. Примеры векторных величин, известных учащимся из курса физики: сила, перемещение материальной точки, скорость и другие (рис. 240 учебника).

3. Определение вектора (рис. 241, 242).

4. Обозначение вектора – двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например, [pic] , или часто обозначают одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: [pic] (рис. 243, а, б).

5. Понятие нулевого вектора: любая точка плоскости также является вектором; в этом случае вектор называется нулевым; обозначают:

[pic] (рис. 243, а).

6. Определение длины или модуля ненулевого вектора [pic] . Обозначение: [pic] . Длина нулевого вектора [pic] = 0.

7. Найти длины векторов, изображенных на рисунках 243, а и 243, б.

8. Выполнить практические задания № 738, 739.

9. Рассмотреть пример движения тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении (из пп. 77 учебника), рис. 244.

10. Ввести понятие коллинеарных векторов (рис. 245).

11. Определение понятий сонаправленных векторов и противоположно направленных векторов, их обозначение (рис. 246).

12. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

13. Определение равных векторов: если [pic] и [pic] , то [pic] .

14. Объяснение смысла выражения: «Вектор [pic] отложен от точки А» (рис. 247).

15. Доказательство утверждения, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один (рис. 248).

16. Выполнение практического задания № 743.

17. Устно по готовому чертежу на доске решить задачу № 749.

II. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу № 740 (а) на доске и в тетрадях.

2. Устно решить задачу № 744.

3. Решить задачу № 742.

4. Решить задачу № 745 (выборочно).

5. Устно по заготовленному чертежу решить задачу № 746.

6. Доказать прямое утверждение в задаче № 750:

Доказательство

III. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 76–78; ответить на вопросы 1–6, с. 213 учебника; решить задачи №№ 740 (б), 747, 748, 749, 750 (обратное утверждение), 751.

Основные требования к учащимся:

В результате изучения § 1 учащиеся должны знать определения вектора и равных векторов; уметь изображать и обозначать векторы, откладывать от данной точки вектор, равный данному; решать задачи типа №№ 741–743; 745–752.

Урок 4 Дата:

[pic]

[pic] [pic] [pic]

Урок 5 Дата:
Сумма двух векторов.

Цели: ввести понятие суммы двух векторов; рассмотреть законы сложения векторов; научить строить сумму двух данных векторов, используя правило треугольника и параллелограмма.

Ход урока

I. Анализ результатов самостоятельной работы.

II. Изучение нового материала (лекция).

Использовать таблицы «Сложение векторов», «Законы сложения», плакаты, графопроектор и др.

1. Рассмотреть пример п. 79 о перемещении материальной точки из точки А в точку В, а затем из точки В в точку С (рис. 249).

Записать: [pic] .

2. Понятие суммы двух векторов (рис. 250); правило треугольника [pic] .

3. Устно провести доказательство по рис. 251.

4. Записатьв тетрадях:

1) для любого вектора [pic] справедливо равенство [pic] ;

2) если А, В и С – произвольные точки, то [pic] (правило треугольника).

5. Выполнить практическое задание № 753.

6. Рассмотреть законы сложения векторов.

7. Правило параллелограмма (рис. 252) и частное использование этого правила в физике, например при сложении двух сил.

III. Выполнение практических заданий и упражнений.

1. Начертите попарно неколлинеарные векторы [pic] . Постройте векторы [pic] .

Вопрос учащимся.

– Какие из построенных векторов равны друг другу?

2. Решите № 759 (а) без помощи чертежа. Докажите, что [pic] .

Доказательство

[pic] , равенство верно.

[pic] [pic]

3. Упростите выражения:

1) [pic] ; 2) [pic] .

Решение

Используем законы сложения векторов:

1) [pic] ;

[pic]

2) [pic] .

4. Найдите вектор [pic] из условий:

1) [pic] ; 2) [pic] .

Решение

Используем законы сложения векторов:

1) [pic] ;

2) [pic] ;

[pic] или же

[pic] , тогда [pic] .

5. Докажите, что четырехугольник ABCD – параллелограмм, если [pic] , где Р и х – произвольные точки плоскости.

Доказательство

[pic] ;

[pic] [pic]

[pic] , получим, что векторы [pic] и [pic] равны, а это значит, что [pic] и [pic] , тогда по признаку параллелограмма ABCD – параллелограмм.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 79 и 80; ответить на вопросы 7–10, с. 214; решить задачи №№ 754, 759 (б) (без чертежа), 763 (б, в).

Урок 6. Дата
Сумма нескольких векторов

Цели: ввести понятие суммы трех и более векторов; научить строить сумму двух и нескольких векторов, используя правило многоугольника; учить решать задачи.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Ответить на вопросы 7–10, с. 214 учебника.

2. Устно решить задачи:

1) Найдите вектор [pic] из условия:

а) [pic] ; б) [pic] .

2) Упростите выражение:

а) [pic] ; б) [pic] .

II. Работа по учебнику.

1. Используя рис. 253, разобрать сложение нескольких векторов.

2. Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

3. По рис. 254 учебника рассмотреть построение суммы шести векторов.

4. В чем заключается правило многоугольника сложения нескольких векторов?

5. Записать в тетради правило многоугольника: если A1, A2, .., An – произвольные точки плоскости, то [pic] .

6. Рассмотреть рис. 255, а, б.

При сложении нескольких векторов сумма данных векторов может быть равна нулевому вектору, если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора.

III. Закрепление изученного материала.

1. Выполнить на доске и тетрадях практическое задание № 755.

2. Решить задачу № 761 (без чертежа).

Доказательство

[pic] .

[pic] [pic]

3. Решить задачу № 762 (а, б).

а) [pic] = a.

Ответ: а.

[pic]

б) Найдите [pic] .

Решение

Найдем сумму векторов [pic] и [pic] по правилу параллелограмма: [pic] ; найдем длину вектора [pic] .

По условию AB = AC = a, то ABDC – ромб; диагонали ромба взаимно перпендикулярны: AD [pic] BC и точкой пересечения делятся пополам, тогда BO = OC = [pic] и AO = OD. Из прямоугольного треугольника AOC по теореме Пифагора найдем AO:

AO = [pic] ;

AD = 2AO = 2 [pic] = a [pic] . Значит, [pic] = a [pic] .

Ответ: a [pic] .

IV. Самостоятельная работа (обучающего характера).

Вариант I

1. Начертите четыре попарно неколлинеарных вектора [pic] . Постройте вектор [pic] .

2. Упростите выражение: [pic] .

Вариант II

1. Начертите пять попарно неколлинеарных векторов [pic] . Постройте вектор [pic] .

2. Упростите выражение: [pic] .

Урок 7 Дата:
Вычитание векторов

Цели: ввести понятие разности двух векторов; научить строить разность двух данных векторов двумя способами; учить решению задач.

Ход урока

I. Анализ результатов самостоятельной работы.

1. Проанализировать характерные ошибки, допущенные в конт-рольной работе.

2. Решить на доске задачи, вызвавшие затруднения у учащихся.

II. Объяснение нового материала.

1. Напомнить учащимся определение разности двух чисел: а – b =
= c, то a = c+ b; например, 20 – 14 = 6, то 20 = 6 + 14.

2. Предложить учащимся самим «придумать» определение разности двух векторов.

3. Определение разности двух векторов (формулирует учитель): [pic] .

4. Рассмотреть задачу о построении разности двух векторов (рис. 256).

5. Введение понятия вектора, противоположного данному (рис. 257).

Обозначение: вектор, противоположный вектору [pic] , обозначается так: – [pic] . Очевидно, [pic] .

6. Доказательство теоремы о разности векторов: для любых векторов [pic] справедливо равенство [pic] .

7. Решение задачи о построении разности векторов [pic] другим способом (рис. 258).

III. Решение задач и упражнений.

1. Выполнить практическое задание № 756.

2. Решить задачу № 762 (г) по готовому чертежу.

3. Решить задачу № 766 устно по рис. 259.

4. Решить задачу № 764 (а) на доске и в тетрадях.

Решение

а) [pic]

[pic] [pic] [pic]

[pic] .

Ответ: [pic]

5. Решить задачу № 765.

Решение

1) [pic]

2) [pic]

3) [pic]

Ответ: [pic]

6. Решить задачу № 772 на доске и в тетрадях.

Доказательство

Так как ABCD – параллелограмм, то [pic]

Но  [pic]  поэтому  [pic] откуда [pic]

IV. Проверочная самостоятельная работа.

Вариант I

Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой BC. Постройте вектор [pic] и найдите [pic] , если AB = 8 см.

Вариант II

Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой АВ. Постройте вектор [pic] и найдите [pic] , если BС = 9 см.

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

Дана трапеция ABCD с основаниями АD и BC. Постройте вектор [pic] и найдите [pic] , если АD = 12 см, BC = 5 см.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 76–82; вопросы 12, 13, с. 214; решить задачи №№ 757; 762 (д); 764 (б), 767.

Основные требования к учащимся:

В результате изучения параграфа учащиеся должны уметь объяснить, как определяется сумма двух и более векторов; знать законы сложения векторов, определение разности двух векторов; знать, какой вектор называется противоположным данному; уметь строить сумму двух и более данных векторов, пользуясь правилами треугольника, параллелограмма, многоугольника, строить разность двух данных векторов двумя способами, решать задачи типа №№ 759–771.

Урок 5
Произведение вектора на число

Цели: ввести понятие умножения вектора на число; рассмотреть основные свойства умножения вектора на число.

Ход урока

I. Изучение нового материала (лекция).

1. Целесообразно в начале лекции привести пример, подводящий к определению произведения вектора на число, в частности такой:

Автомобиль движется прямолинейно со скоростью [pic] . Его обгоняет второй автомобиль, двигающийся со скоростью, вдвое большей. Навстречу им движется третий автомобиль, у которого величина скорости такая же, как у второго автомобиля. Как выразить скорости второго и третьего автомобилей через скорость [pic] первого автомобиля и как изобразить с помощью векторов эти скорости?

[pic]

2. Определение произведения вектора на число, его обозначение: [pic] (рис. 260).

3. Записать в тетрадях:

1) произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;

2) для любого числа k и любого вектора [pic] векторы [pic] и [pic] коллинеарны.

4. Основные свойства умножения вектора на число:

Для любых чисел k, l и любых векторов [pic] справедливы равенства:

1°. [pic] (сочетательный закон) (рис. 261);

2°.  [pic] (первый распределительный закон) (рис. 262);

3°. [pic] (второй распределительный закон) (рис. 263).

Примечание. Рассмотренные нами свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях.

Например:

[pic]
[pic]

II. Закрепление изученного материала.

1. Выполнить практические задания № 776 (б; г; д), 777.

2. Решить задачи № 779, 781 (а; в) на доске и в тетрадях.

Решение

Дано: [pic]

а) [pic]

в) [pic]

3. Решить задачу № 780 (б).

III. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пункта 83; ответить на вопросы 14–17, с. 214; решить задачи №№ 775, 776 (а, в, е), 781 (б), 780 (а).

Урок 8 Дата:
Решение задач «Сложение и вычитание векторов»

Цели: закрепить изученный материал в ходе решения задач; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Устная работа.

По заранее заготовленным чертежам на доске устно решить задачи:

1. На рисунке 1 ABCD – параллелограмм, O – точка пересечения диагоналей. Выразите через векторы [pic] и [pic] векторы: а) [pic] б) [pic] где М – точка на стороне BC, такая, что МВ : MC = 3 : 2; в) [pic] где K – точка на стороне AD, такая, что АK : KD = 1 : 3; г) [pic] где N – точка на диагонали AC, такая, что ON = NC.

2. На рисунке 2 ABCD – трапеция, О – точка пересечения диагоналей, ВС || AD, AD = 2BC. Выразите через векторы [pic] и [pic] векторы: а) [pic] б) [pic]

[pic] [pic]

Рис. 1 Рис. 2

II. Решение задач.

1. решить задачу № 782 на доске и в тетрадях.

[pic]

Из треугольника ECD (рис. 3) найдем по правилу вычитания векторов:

[pic]

[pic] тогда [pic]

Из треугольника ABG по правилу сложения векторов имеем

[pic] отсюда [pic]

2. решить задачу № 802 на доске и в тетрадях.

III. Проверочная самостоятельная работа.

Вариант I

1. Начертите два неколлинеарных вектора [pic] и [pic] так, что [pic] = 3 см, [pic] = 2 см. Постройте [pic]

2. Четырехугольник KMNP – параллелограмм. Выразите через векторы [pic] и [pic] векторы [pic] и [pic] , где А – точка на стороне PN, такая, что PA : AN = 2 : 1, B – середина отрезка MN.

Вариант II

1. Начертите два неколлинеарных вектора [pic] и [pic] так, что [pic] = 2 см, [pic] = 3 см. Постройте вектор [pic]

2. В параллелограмме ABCD точка M – середина стороны CD; N – точка на стороне AD, такая, что AN : ND = 1 : 2. Выразите векторы [pic] и [pic] через векторы [pic] и [pic] .

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

1. В треугольнике ABC угол C = 90°, AC = 3 см, BC = 4 см. Постройте вектор [pic]

2. В трапеции ABCD AB || CD, AB = 3CD. Выразите через векторы [pic] и [pic] векторы [pic] и [pic] , где M – середина стороны BC, а N – точка на стороне AB, такая, что AN : NВ = 2 : 3.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 76–83; ответить на вопросы 1–17, с. 213–214 учебника; решить задачи №№ 783 и 804.

Урок 11 Дата:
Применение векторов к решению задач

Цели: на конкретных примерах показать применение векторов при решении геометрических задач; развивать логическое мышление учащихся, учить решать задачи.

Ход урока

I. Анализ результатов самостоятельной работы.

1. Указать ошибки учащихся при выполнении работ.

2. Решить задачи, вызвавшие затруднения у учащихся.

II. Повторение изученного материала.

1. Ответить на вопросы на с. 213–214.

2. Вспомнить основные правила действий с векторами.

3. Решить задачи на доске и в тетрадях:

1) Упростите выражение [pic]

2) Найдите вектор [pic] из условия [pic]

4. Записать в тетрадях таблицу перевода с «геометрического» языка на «векторный»:

III. Работа по учебнику.

1. Векторы могут использоваться для решения геометрических задач. Рассмотрим вспомогательную задачу.

2. Разобрать решение задачи 1 на с. 208 учебника по рис. 264.

IV. Решение задач.

1. Решить задачу 2. Точки M и N – середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD. Докажите, что [pic]

Решение

Пусть О – произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84 имеем [pic] [pic] поэтому [pic] [pic] .

Примечание. Результат задачи 2 можно использовать при доказательстве теоремы о средней линии трапеции на следующем уроке.

2. Решить задачу 3. Точка С лежит на отрезке AB, причем АС : СВ =
= 2 : 3. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство

[pic]

Решение

По условию AC : CB = 2 : 3, поэтому [pic]

Но [pic]

Следовательно, [pic] откуда получается

[pic]

Примечание. Задача 3 является частным случаем более общей задачи 806.

3. Решить задачу № 784 на доске и в тетрадях.

4. Решить задачу № 786 на доске и в тетрадях.

Решение

Так как точка А1 – середина стороны ВС, то [pic] [pic] .

Далее [pic]

5. При наличии времени решить задачу 4.

[pic]

Решение

Пусть О – произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84

[pic] .

Аналогично, [pic] .

Из этих равенств следует, что [pic]

Отсюда следует, что PQ || AE и PQ = [pic] AE.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 76–84; разобрать решения задачи 2 из п. 84 и задачи № 788 и записать в тетрадь; решить задачу № 785.

Урок12 Дата:
Средняя линия трапеции

Цели: ввести понятия средней линии трапеции; доказать теорему о средней линии трапеции с помощью векторов; упражнять учащихся в решении задач.

Ход урока

I. Проверка усвоения учащимися материала.

1. Устно ответить на вопросы:

1) Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на рисунке сонаправленные векторы [pic] и [pic] и противоположно направленные векторы [pic] и [pic] .

2) Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?

3) Могут ли векторы [pic] и [pic] быть неколлинеарными?

4) Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.

2. Решить задачу на доске и в тетрадях по готовому чертежу:

Докажите, что середины отрезков AB, MN и CD лежат на одной прямой.

Решение

Пусть K1 – середина AB, K2 – середина MN, K3 – середина CD. Согласно задаче 2 из п. 84 имеем

[pic]

[pic] . Из условия следует, что [pic] , поэтому [pic] .

Таким образом, векторы [pic] и [pic] коллинеарны, и, значит, точки K1, K2 и K3 лежат на одной прямой.

II. Объяснение нового материала.

1. Определение трапеции. Виды трапеций.

2. Определение средней линии трапеции.

3. Доказательство теоремы о средней линии трапеции (проводит сам учитель).

При доказательстве теоремы целесообразно использовать результат задачи 2, решенной на предыдущем уроке.

Доказательство можно оформить на доске и в тетрадях в виде следующей краткой записи:

Дано: ABCD – трапеция, AD || BC, M – середина стороны AB; N – середина стороны CD (рис. 266 учебника).

Доказать: MN || AD, MN = [pic] .

Доказательство

1) Согласно рассмотренной в классе задаче 1 [pic] .

2) Так как [pic] , то [pic] и, значит, MN || AD.

3) Так как [pic] , то [pic] = AD + BC, поэтому

MN = [pic] (AD + BC).

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить на доске и в тетрадях задачу № 793.

Решение

Пусть a и b – основания трапеции, тогда а + b = 48 – (13 + 15) =
= 20 (см); средняя линия MN = [pic] = 10 (см).

Ответ: 10 см.

2. Решить задачу № 795.

3. Решить задачу № 799 на доске и в тетрадях.

Пусть BK – перпендикуляр, проведенный к основанию AD данной трапеции.

Тогда KD = AD – AK.

Но AK = [pic] , поэтому KD =
= AD – [pic] , то есть

[pic]

отрезок KD равен средней линии трапеции. Значит, средняя линия трапеции равна 7 см.

Ответ: 7 см.

IV. Проверочная самостоятельная работа.

Вариант I

Точка K делит отрезок MN в отношении MK : KN = 3 : 2. Выразите вектор [pic] через векторы [pic] и [pic] , где A – произвольная точка.

Вариант II

Точка A делит отрезок EF в отношении EA : AF = 2 : 5. Выразите вектор [pic] через векторы [pic] и [pic] , где K – произвольная точка.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пункта 85; ответить на вопросы 18–20, с. 214 учебника; решить задачи №№ 787, 794, 796.

Основные требования к учащимся:

В результате изучения параграфа учащиеся должны знать, какой вектор называется произведением вектора на число; уметь формулировать свойства умножения вектора на число; знать, какой отрезок называется средней линией трапеции; уметь формулировать и доказывать теорему о средней линии трапеции; уметь решать задачи типа №№ 782–787; 793–799.

МЕТОД КООРДИНАТ (10 часов)

Урок 1
Разложение вектора по двум данным
неколлинеарным векторам

Цели: доказать лемму о коллинеарных векторах и теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам и закрепить их знание в ходе решения задач.

Ход урока

I. Анализ результатов самостоятельной работы.

II. Устная работа.

1. Устно решить задачи по заранее заготовленному чертежу на доске:

Дан параллелограмм ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке О, а также отрезки MP и NQ, соединяющие соответственно середины сторон AB и CD, BC и AD. Требуется выразить:

1) вектор [pic] через вектор [pic] ;

2) вектор [pic] через вектор [pic] ;

3) вектор [pic] через вектор [pic] ;

4) вектор [pic] через вектор [pic] .

2. Вопрос учащимся:

можно ли для любой пары коллинеарных векторов подобрать такое число, что один из векторов будет равен произведению второго вектора на это число?

III. Изучение нового материала.

1. Формулировка леммы о коллинеарных векторах. Для понимания учащимися формулировки леммы полезно обсудить, во-первых, почему важно условие [pic] и, во-вторых, будет ли верно утверждение, если рассматривать произвольные (в том числе и неколлинеарные) ненулевые векторы.

2. Доказательство леммы.

3. Решить задачу по рисунку параллелограмма ABCD на доске (тем самым подвести учащихся к мысли о возможности выражения вектора через два данных неколлинеарных вектора):

Точки M и Q – середины сторон AB и AD параллелограмма ABCD. Выразите:

1) вектор [pic] через векторы [pic] и [pic] ;

2) вектор [pic] через векторы [pic] и [pic] ;

3) вектор [pic] через векторы [pic] и [pic] ;

4) вектор [pic] через векторы [pic] и [pic] .

4. Рассмотреть теорему о разложении вектора по двум данным неколлинеарным векторам, в ходе ее доказательства полезно обратить внимание на роль леммы в доказательстве.

IV. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачи № 911 (а, б); № 912 (б, в).

2. Решить задачи № 915 (по готовому чертежу) и № 916 (а, б).

V. Итоги урока.

Задание на дом: изучить материал пункта 86; решить задачи №№ 911 (в, г), 912 (ж, е, з), 916 (в, г).

Урок 17 Дата:
Координаты вектора

Цели: ввести понятие координат вектора и рассмотреть правила действий над векторами с заданными координатами.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Устно решить задачи:

1) назвать числа х и у, удовлетворяющие равенству: [pic] ; [pic] ;

2) задача № 913.

2. На доске двое учащихся решают задачи №№ 911 (в) и 912 (и, к).

II. Изучение нового материала.

1. Напомнить задание прямоугольной системы координат и начертить ее.

2. Ввести координатные векторы [pic] и [pic] (рис. 275).

3. Нулевой вектор можно представить в виде [pic] ; его координаты равны нулю: [pic] (0; 0).

4. Координаты равных векторов соответственно равны.

5. Рассмотреть правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число (доказательства указанных правил учащиеся могут рассмотреть самостоятельно).

6. Записать в тетрадях правила:

[pic] и [pic] – данные векторы

1) [pic] ;

2) [pic] ;

3) [pic] .

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу № 917 на доске и в тетрадях.

2. Устно по рисунку 276 решить задачу № 918.

3. Решить задачу № 919 (самостоятельно).

4. Решить задачу № 920 (а, в) на доске и в тетрадях.

5. Устно решить задачи № 922–925, используя правила, записанные в тетрадях.

6. Записать утверждение задачи № 927 без доказательства:

1) Если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого: если [pic] коллинеарен вектору [pic] , то x1 : x2 = y1 : y2.

2) Если координаты одного вектора пропорциональны координатам другого вектора, то эти векторы коллинеарны.

7. Решить задачу № 928.

Решение

Используем условие коллинеарности векторов: [pic] .

1) [pic] (3; 7) и [pic] (6; 14), так как [pic] ;

2) [pic] (–2; 1) и [pic] (2; –1), так как [pic] .

IV. Самостоятельная работа контролирующего характера.

Вариант I

Решить задачи № 912 (а, г); № 920 (г); № 988 (а, б); № 921 (а, в);
№ 914 (а).

Вариант II

Решить задачи №№ 912 (в, д); 920 (д); 988 (в, г); 921 (б, г); 914 (б).

V. Итоги урока.

Домашнее здание: подготовиться к устному опросу по карточкам, повторить материал пунктов 76–87; ответить на вопросы 1–20, с. 213–214 и на вопросы 1–8, с. 249 учебника; решить задачи №№ 798, 795; 990 (а) (для векторов [pic] и [pic] ).

Урок 16 Дата:
Связь между координатами вектора
и координатами его начала и конца.
Простейшие задачи в координатах

Цели: рассмотреть связь между координатами вектора и координатами его начала и конца; разобрать задачи о нахождении координат середины отрезка, о вычислении длины вектора по его координатам и нахождении расстояния между двумя точками.

Ход урока

I. Анализ результатов контрольной работы.

1. Указать ошибки, сделанные учащимися при выполнении работы.

2. Решить на доске задачи, вызвавшие затруднения у учащихся.

II. Изучение нового материала (лекция).

1. Рассмотреть по учебнику рис. 277 и рис. 278 и ввести понятие радиус-вектора [pic] .

Без доказательства записать в тетрадях утверждения:

а) координаты точки М равны соответствующим координатам ее радиус-вектора;

б) каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала:

[pic]

џ Устно решить задачу № 934.

2. Введение системы координат дает возможность изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств и, таким образом, использовать в геометрии методы алгебры. Такой подход к изучению свойств геометрических фигур называется методом координат.

3. Рассмотрим три вспомогательные задачи.

1) Координаты середины отрезка.

Используя формулу из п. 84 (1) [pic] и координаты векторов [pic] записать равенство в координатах: [pic] отсюда x = [pic] ; y = [pic] .

Вывод: каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

џ Устно решить задачу № 936.

2) Вычисление длины вектора по его координатам.

Используя рис. 280 учебника, вывести формулу [pic] , если [pic]

џ Устно решить задачу № 938.

3) Расстояние между двумя точками.

Пусть точка M1 (x1; y1) и точка M2 (x2; y2); тогда вектор [pic] (x2 – x1;
y2 – y1); следовательно, длина этого вектора может быть найдена по формуле [pic] но [pic] = d, таким образом, расстояние d между точками M1 (x1; y1) и M2 (x2; y2) выражается формулой

d = [pic]

џ Решить задачу № 940 (а, б) на доске и в тетрадях.

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу № 939.

Решение

Найти расстояние от точки М (3; –2): а) до оси абсцисс; точка В (x; y) лежит на оси абсцисс; тогда расстояние равно 2; б) расстояние до оси ординат равно 3; в) до начала координат равно d = [pic]

2. Решить задачу № 941 на доске и в тетрадях.

Решение

PΔ = MN + NP + MP;

MN = [pic]

NP = [pic]

MP = [pic]

PΔMNP = [pic] .

IV. Итоги урока.

Задание на дом: изучить материал пунктов 88, 89; решить задачи №№ 935, 952.

Урок 18 Дата:
Простейшие задачи в координатах.
Цели: закрепить знания учащихся в ходе решения задач; учить решать задачи в координатах.

Ход урока

I. Повторение изученного материала.

1. Двое учащихся по карточкам работают у доски:

Карточка 1

1) Вывести формулы координат середины отрезка.

2) Решить задачу № 942.

Карточка 2

1) Вывести формулу расстояния между двумя точками.

2) Решить задачу № 937.

2. С остальными учащимися проводится устная работа по решению задач:

1) Найдите координаты вектора [pic] , равного разности векторов [pic] и [pic] , если [pic] (–5; 6), [pic] (0; –4).

2) Найдите координаты вектора [pic] , равного сумме векторов [pic] и [pic] , если [pic] (3; 7), [pic] (4; –5).

3) Найдите координаты середины отрезка DK, если D (–6; 4), K (2; –8).

4) Найдите длину отрезка CP, если С (3; –2), P (–5; 4).

5) Найдите длину вектора [pic] , равного [pic] , если [pic] (5; 0) и [pic] (0; –12).

6) Найдите координаты вектора 3 [pic] , если [pic] (4; –2); вектора –2 [pic] , если [pic] (–2; 5).

II. Решение задач.

1. Решить задачу № 947 (а).

Решение

Найдем длины сторон треугольника АВС по формуле

d = [pic] :

AB = [pic]

BC = [pic]

Так как АВ = АС, то по определению равнобедренного треугольника АВС – равнобедренный. Найдем его площадь; проведем высоту АМ [pic] ВС:

SΔABC = [pic] BC ∙ AM; AM – высота и медиана в равнобедренном треугольнике.

[pic]

Пусть М (x; y), тогда

x = [pic] = 3; y = [pic] = –1.

Значит, точка М (3; –1).

Найдем длину отрезка AM = [pic]

Площадь треугольника АВС равна S = [pic] = 13.

Ответ: 13.

2. Решить задачу № 946 (б).

Решение

M1 (–1; x) и M2 (2x; 3); M1M2 = d = 7. Найти x.

d = [pic] ; (2x + 1)² + (3 – x)² = 7²;

4x² + 4x + 1 + 9 – 6x + x² = 49; 5x² – 2x – 39 = 0;

D = b² – 4ac = 4 + 780 = 784;

[pic] [pic]

Ответ: –2,6; 3.

3. Решить задачу № 948 (б) на доске и в тетрадях.

Решение

Пусть точка М (0; y) лежит на оси ординат; по условию МС = MD;

(4 – 0)² + (–3 – y)² = (8 – 0)² + (1 – y)²;

16 + 9 + 6y + y² = 64 + 1 – 2y + y²;

8y = 40;

y = 5.

Значит, точка М (0; 5).

Ответ: (0; 5).

4. Решить задачу № 950 (б) на доске и в тетрадях.

Найдем координаты точки пересечения диагоналей четырехугольника О (x; y): для диагонали NQ имеем:

x = [pic] = –3;

[pic]

y = [pic] = 3; точка О (–3; 3).

Для диагонали МР имеем:

x = [pic] = –3; y = [pic] = 3; точка О (–3; 3).

Значит, диагонали MP и NQ точкой пересечения делятся пополам; по признаку параллелограмма MNPQ – параллелограмм.

MP = [pic]

NQ = [pic]

Ответ: 4 [pic] и 2 [pic] .

5. Решить задачу № 951 (а).

Решение

AB = [pic] = 4;

CD = [pic] = 4;

BC = [pic] = 2;

AD = [pic] =2.

Так как AB = CD = 4 и BC = AD = 2, то по II признаку параллелограмма ABCD – параллелограмм. Найдем диагонали АС и BD параллелограмма ABCD: AC = [pic]

BD = [pic]

Если диагонали равны AC = BD, то ABCD – прямоугольник.

S = AD ∙ AB = 2 ∙ 4 = 8.

Ответ: 8.

III. Итоги урока.

Домашнее здание: повторить материал пунктов 88 и 89; решить задачи №№ 947 (б), 949 (а), 951 (б), 953.

Урок 19 Дата:
Уравнение линии на плоскости.
Уравнение окружности

Цели: познакомить учащихся с понятием уравнения линии на плоскости; вывести уравнение окружности и научить записывать уравнение окружности.

Ход урока

I. Математический диктант (10–15 мин).

Вариант I

1. Найдите координаты середины отрезка AB, если A (–2; 3), B (6; –3).

2. Найдите длину отрезка EH, если E (–3; 8), H (2; –4).

3. Какая фигура состоит из множества всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных точек?

4. Принадлежит ли точка A (–6; 2) графику функции y = – 0,5x?

5. Функция задана уравнением y = 2x – 3. Какая линия служит графиком этой функции?

6. На окружности радиуса 7 см даны точки А и В, расстояние между которыми равно 13 см. лежит ли центр окружности на прямой АВ?

7. Вершины треугольника ABC имеют следующие координаты: А (8; –3); В (5; 1); С (12; 0). Докажите, что [pic] B = [pic] C.

Вариант II

1. Найдите координаты середины отрезка CD, если C (3; –4), D (–3; 6).

2. Найдите длину отрезка KB, если K (–6; –3), B (2; 3).

3. Прямая l является серединным перпендикуляром к основанию AB треугольника ABC и проходит через вершину C. Определите вид треугольника ABC.

4. Принадлежит ли точка В (2; –8) графику функции y = – 4x?

5. Функция задана уравнением y = 5 – x. Какая линия служит графиком этой функции?

6. Какой фигурой является множество точек, равноудаленных от данной точки?

7. Вершины четырехугольника ABCD имеют следующие координаты: А (–3; –1); В (1; 2); С (5; –1), D (1; –4). Докажите, что этот четырехугольник – ромб.

II. Объяснение нового материала.

1. Разобрать пятое задание диктанта, обратив внимание учащихся на то, что им уже известны графики некоторых функций. В частности, графиком линейной функции y = kx + b является прямая линия, а уравнение y = kx + b называется уравнением этой прямой.

2. Вспомнить уравнения параболы и гиперболы и их графики.

3. Понятие уравнения произвольной линии дается в ознакомитель-ном плане. При этом важно добиться понимания учащимися следующего: чтобы установить, что данное уравнение является уравнением данной линии, нужно доказать, что: 1) координаты любой точки линии удовлетворяют данному уравнению и 2) координаты любой точки, не лежащей на данной линии, не удовлетворяют этому уравнению.

4. Введение уравнения окружности радиуса r с центром С в заданной прямоугольной системе координат (рис. 286):

(x – x0)² + (y – y0)² = r²,

где C (x0; y0). Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат О (0; 0) имеет вид: x² + y² = r².

5. Не любое уравнение второй степени с двумя переменными задает окружность. Например, уравнение 4х² + у² = 4 в прямоугольной системе координат не окружность, а эллипс (с этой фигурой учащиеся знакомились в курсе черчения), уравнение х² + у² = 0 задает единственную точку – начало координат, а уравнению х² + у² = –4 не удовлетворяют координаты ни одной точки, поэтому это уравнение не задает никакой фигуры.

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. решить задачу № 959 (а, б, д).

2. Устно решить задачу № 960.

3. решить задачу № 961 на доске и в тетрадях.

4. решить задачу № 964 на доске и в тетрадях.

Решение

а) x = 3, тогда (3 – 3)² + (y – 5)² = 25; y² – 10y + 25 = 25;

y² – 10y = 0; y ∙ (y – 10) = 0; y = 0 или y = 10. Точки А (3; 0) и В (3; 10).

б) y = 5, тогда (x – 3)² + (5 – 5)² = 25; x² – 6x + 9 = 25;

x² – 6x – 16 = 0; x1 = 8; x2 = –2; точки С (–2; 5) и D (8; 5).

5. Решить задачу № 966 (в, г).

6. Разобрать решение задачи по учебнику на с. 243.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 90, 91; вопросы 15–17; решить задачи №№ 962, 963, 965, 966 (а, б), 1000.

Вариант I

1. Найдите координаты середины отрезка AB, если A (–2; 3), B (6; –3).

2. Найдите длину отрезка EH, если E (–3; 8), H (2; –4).

3. Какая фигура состоит из множества всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных точек?

4. Принадлежит ли точка A (–6; 2) графику функции y = – 0,5x?

5. Функция задана уравнением y = 2x – 3. Какая линия служит графиком этой функции?

6. На окружности радиуса 7 см даны точки А и В, расстояние между которыми равно 13 см. лежит ли центр окружности на прямой АВ?

7. Вершины треугольника ABC имеют следующие координаты: А (8; –3); В (5; 1); С (12; 0). Докажите, что [pic] B = [pic] C.

Вариант II

1. Найдите координаты середины отрезка CD, если C (3; –4), D (–3; 6).

2. Найдите длину отрезка KB, если K (–6; –3), B (2; 3).

3. Прямая l является серединным перпендикуляром к основанию AB треугольника ABC и проходит через вершину C. Определите вид треугольника ABC.

4. Принадлежит ли точка В (2; –8) графику функции y = – 4x?

5. Функция задана уравнением y = 5 – x. Какая линия служит графиком этой функции?

6. Какой фигурой является множество точек, равноудаленных от данной точки?

7. Вершины четырехугольника ABCD имеют следующие координаты: А (–3; –1); В (1; 2); С (5; –1), D (1; –4). Докажите, что этот четырехугольник – ромб.

Вариант I

1. Найдите координаты середины отрезка AB, если A (–2; 3), B (6; –3).

2. Найдите длину отрезка EH, если E (–3; 8), H (2; –4).

3. Какая фигура состоит из множества всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных точек?

4. Принадлежит ли точка A (–6; 2) графику функции y = – 0,5x?

5. Функция задана уравнением y = 2x – 3. Какая линия служит графиком этой функции?

6. На окружности радиуса 7 см даны точки А и В, расстояние между которыми равно 13 см. лежит ли центр окружности на прямой АВ?

7. Вершины треугольника ABC имеют следующие координаты: А (8; –3); В (5; 1); С (12; 0). Докажите, что [pic] B = [pic] C.

Вариант II

1. Найдите координаты середины отрезка CD, если C (3; –4), D (–3; 6).

2. Найдите длину отрезка KB, если K (–6; –3), B (2; 3).

3. Прямая l является серединным перпендикуляром к основанию AB треугольника ABC и проходит через вершину C. Определите вид треугольника ABC.

4. Принадлежит ли точка В (2; –8) графику функции y = – 4x?

5. Функция задана уравнением y = 5 – x. Какая линия служит графиком этой функции?

6. Какой фигурой является множество точек, равноудаленных от данной точки?

7. Вершины четырехугольника ABCD имеют следующие координаты: А (–3; –1); В (1; 2); С (5; –1), D (1; –4). Докажите, что этот четырехугольник – ромб.

Урок 20 Дата:
Уравнение окружности. Решение задач

Цели: закрепить знания учащихся в ходе решения задач; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Результаты математического диктанта. Указать ошибки, сделанные учащимися.

2. На доске один ученик выводит уравнение окружности.

3. С остальными учащимися проверяется решение домашних задач.

II. Выполнение упражнений.

1. Решить задачу:

Напишите уравнение окружности с центром в точке А (0; 4), проходящей через точку D (–6; –4).

Решение

Центр окружности имеет координаты А (0; 4). Найдем радиус окружности r = AD по формуле: d = [pic] .

r = AD = [pic] = 10; r = 10.

Значит, искомое уравнение окружности имеет вид:

(x – 0)² + (y – 4)² = 10²; x² + (y – 4)² = 100.

Ответ: x² + (y – 4)² = 100.

2. Решить задачу № 969 (а) на доске и в тетрадях.

Решение

Диаметр  окружности  MN = [pic] =
= 2 [pic] ; найдем радиус окружности r = [pic] . Координаты центра окружности найдем, используя формулы для нахождения координат середины отрезка MN: x = [pic] = 2; y = [pic] = 1. Центр В (2; 1). Напишем уравнение окружности: (x – 2)² + (y – 1)² = 41.

3. Решить задачу № 970.

Решение

Центр окружности лежит на оси абсцисс, то координаты центра D (x; 0); радиус равен r = 5. Окружность проходит через точку А (1; 3), тогда AD = r, поэтому (x – 1)² + (3 – 0)² = r² = 5², (x – 1)² + 9 = 25;

x² – 2x – 15 = 0; x1 = –3; x2 = 5.

Следовательно, координаты центров окружностей D1 (–3; 0) и D2 (5; 0). Существует две таких окружности: (x + 3)² + y² = 25 и (x – 5)² + y² = 25.

4. Решить задачу № 971 на доске и в тетрадях.

Решение

Центр окружности лежит на оси ординат, значит, координаты центра С (0; y). По условию, окружность проходит через точки А (–3; 0) и В (0; 9), значит, расстояния АС = ВС = r радиусу:

(0 + 3)² + (y – 0)² = (0 – 0)² + (y – 9)²;

9 + y² = y² – 18y + 81; 18y = 72; y = 4.

Следовательно, центр окружности имеет координаты С (0; 4).

Найдем радиус окружности: r² = AC² = (0 + 3)² + (4 – 0)² = 9 + 16 = 25; r = 5. Напишем уравнение окружности:

(x – 0)² + (y – 4)² = 5²; то есть x² + (y – 4)² = 25.

5. Решить задачу № 1002(а) на доске и в тетрадях (решение задачи объясняет учитель).

Решение

Координаты точек А, В и С должны удовлетворять уравнению окружности (x – a)² + (y – b)² = r².

Подставив в это уравнение координаты данных точек, получим систему трех уравнений относительно неизвестных a, b и r :

[pic]

Вычтем из уравнения (1) сначала уравнение (2), а затем уравнение (3). Получим систему двух линейных уравнений с неизвестными a и b, которую учащиеся могут решить самостоятельно [pic] . Подставив эти значения в любое из уравнений, например, в уравнение (1), находим значение r² и записываем искомое уравнение: [pic]

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 86–91; решить задачи №№ 969 (б), 981 (есть решение в учебнике), 1002 (б).

Урок 21 Дата:
Уравнение прямой. Решение задач

Цели: вывести уравнение прямой и показать, как можно использовать это уравнение при решении геометрических задач; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Самостоятельная работа (контролирующая, 10–15 мин).

Вариант I

Решить задачи № 959 (г), 968, 960 (б).

Вариант II

Решить задачи № 959(в), 967, 960 (в).

II. Изучение нового материала.

1. Уравнением любой прямой в прямоугольной системе координат является уравнение первой степени с двумя переменными (уравнение прямых, параллельных осям координат, также можно считать уравнением с двумя переменными, например, уравнение x = x0 можно записать в виде x + 0y = x0) и, наоборот, любое уравнение первой степени с двумя переменными задает прямую.

2. Вывести уравнение данной прямой l в заданной прямоугольной системе координат (рис. 287): ax + by + c = 0.

3. Вывести уравнение прямой l, проходящей через точку M0 (x0; y0) и параллельной оси ОX (рис. 288) y = y0.

4. Ось OX имеет уравнение y = 0, а ось OY – уравнение x = 0.

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Учитель объясняет решение задачи:

напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки Р (2; 1) и Q (–3; –1).

Решение

Уравнение прямой PQ имеет вид ax + by + c = 0. Так как точки P и Q лежат на прямой PQ, то их координаты удовлетворяют этому уравнению:

[pic]

2cx – 5cy + c = 0 |: c [pic] 0, тогда прямая PQ задана уравнением 2x – 5y +
+ 1 = 0.

Ответ: 2x – 5y + 1 = 0.

2. Самостоятельно по учебнику учащиеся разбирают решение задачи № 972 (а), с. 245.

3. Решить задачу № 973 на доске и в тетрадях.

4. Решить задачу № 975.

Решение

Пересечение прямой с осью OX:

y = 0, тогда 3x – 4 ∙ 0 + 12 = 0; 3x = –12; x = –4; точка А (–4; 0);

пересечение прямой с осью OY:

x = 0, тогда 3 ∙ 0 – 4y + 12 = 0; –4y = –12; y = 3; точка В (0; 3).

5. Решить задачу № 976 (повторить при решении способ сложения систем уравнений):

[pic]

[pic]

Точка пересечения прямых D (3; –2).

Ответ: (3; –2).

6. Решить задачу № 977.

Решение

Прямая, проходящая через точку М (2; 5) и параллельная оси OX, имеет вид: y = 5; прямая, параллельная оси OY, записывается уравнением: х = 2.

7. Самостоятельное решение учащимися задачи № 978.

8. Решить устно задачи:

1) Окружность задана уравнением (x – 1)² + y² = 9. Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси ординат.

Решение

Центр О (1; 0) и параллельная оси OY прямая x = 1.

2) Окружность задана уравнением (x + 1)² + (y – 2)² = 16. Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси абсцисс.

Решение

Центр А (–1; 2); прямая y = 2 параллельна оси OX.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 86–91; изучить материал пункта 92; вопросы 1–21, с. 249; решить задачи №№ 972 (б), 979; записать в тетрадях и разобрать решение задачи № 984 (с. 248 учебника); подготовиться к устному опросу по карточкам.

Уроки 22-23 Дата:
решение задач методом координат

Цели: закрепление знаний и умений учащихся по материалу главы; повторение и обобщение изученного материала; развитие логического мышления учащихся при решении задач.

Ход уроков

I. математический диктант (15 мин).

Вариант I

1. Лежит ли точка А (2; –1) на окружности, заданной уравнением
(х – 2)² + (у – 3)² = 25?

2. Напишите уравнение окружности, если ее центр – точка (4; 5), а радиус равен 3.

3. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М (3; –2) и параллельной оси ординат.

4. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, если она проходит через точку С (–2; 3).

5. Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки М (–2; –1) и N (3; 1).

6. Найдите длину вектора [pic] (–12; 5).

7. Найдите координаты середины отрезка PQ, если P (5; –3); Q (3; –7).

8. Найдите координаты вектора [pic] , если А (2; –5), В (–3; 4).

Вариант II

1. Лежит ли точка А (2; –1) на прямой, заданной уравнением
2х – 3у – 7 = 0?

2. Напишите уравнение окружности, если ее центр – точка (4; 5), а радиус равен 2.

3. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку N (–2; 3) и параллельной оси абсцисс.

4. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку D (3; –2).

5. Напишите уравнение окружности с центром в точке Р (–2; –1), если она проходит через точку Q (1; 3).

6. Найдите расстояние между точками А (–1; 3) и В (2; –1).

7. Найдите координаты вектора [pic] , равного сумме векторов [pic] и [pic] , если [pic] (–12; 5), [pic] (7; –3).

8. Найдите координаты вектора [pic] , если С (–1; 6), D (3; –2).

II. решение задач.

1. Устно решить задачу № 933.

2. решить устно задачу № 943 по готовому чертежу на доске.

Решение

Из прямоугольного треугольника АОС по теореме Пифагора находим AC = [pic] ; из прямоугольного треугольника ВОС находим по теореме Пифагора BC = [pic] .

3. Разобрать по учебнику и записать решение задачи № 953 в тетради (подчеркнуть, что теорема: «Сумма квадратов всех сторон параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата равна сумме квадратов его диагоналей» – используется часто при решении задач по стереометрии в 10 и 11 классах) (рис. 283 учебника).

4. решить задачи №№ 991, 996, 997, 999 на доске и в тетрадях.

III. Опрос учащихся по теоретическому материалу.

Примерные варианты карточек для устного опроса учащихся.

Вариант I

1. Сформулируйте теорему о разложении вектора по двум данным неколлинеарным векторам.

2. Выведите формулы координат середины отрезка по координатам его концов.

3. Напишите уравнение окружности с центром в точке В (4; 0), если она проходит через точку А (7; 4).

вариант II

1. Сформулируйте правило нахождения координат разности двух векторов.

2. Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.

3. Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки А (–3; –3) и В (3; 5).

Вариант III

1. Сформулируйте правило нахождения координат произведения вектора на число по заданным координатам вектора.

2. Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке, заданной координатами.

3. Найдите координаты середины отрезка АВ, если даны координаты его концов А (–3; 4) и В (3; –6).

Вариант IV

1. Сформулируйте утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам.

2. Выведите уравнение прямой l в прямоугольной системе координат, если l является серединным перпендикуляром к отрезку с концами А (х1; у1) и В (х2; у2).

3. Найдите расстояние между точками М (2; –1) и N (5; –3).

IV. решение задач.

1. Решить задачу № 1004.

Решение

Достаточно доказать, что данные прямые не имеют ни одной общей точки. Для этого запишем уравнения данных прямых так: y = 2x + [pic] и y = 2x – 3. Ясно, что эта система несовместна, то есть нет чисел х, у, удовлетворяющих этим двум уравнениям. Геометрически это означает, что данные прямые не имеют ни одной общей точки и, значит, они параллельны.

2. Решить задачу № 1007.

Решение

Пусть ОАВС – данная трапеция с основаниями ОА = а и ВС = b (пусть а > b) и высотой h. Введем прямоугольную систему координат ОХY так, чтобы точка А лежала на положительной полуоси ОХ, а прямая ВС пересекала положительную полуось ОY. В этой системе координат вершины трапеции будут иметь координаты О (0; 0), А (а; 0), С (с; h) и В (с + b; h), где с – некоторое число. Находим координаты середин М и N диагоналей трапеции и вычисляем расстояние между ними: MN = [pic] . Таким образом, MN = [pic] (OA – BC).

3. Решить задачу № 1010 (а).

Решение

Введем систему координат так, чтобы точки А и В имели координаты А (0; 0), В (а; 0), где а = АВ. Пусть М (х; у) – произвольная точка. Условие 2АМ² – ВМ² = 2АВ², записанное в координатах, дает уравнение искомого множества. Оно приводится к виду:

(х + а)² + у² = (2а)².

Этим уравнением задается окружность радиуса 2а с центром в точке (–а; 0), то есть в точке, симметричной точке В относительно точки А.

V. Итоги уроков.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 86–92; пунктов 66–67 (материал 8 класса); решить задачи №№ 1010 (б), 990, 958, 944, 945, 998.

Урок 15 Дата:
Контрольная работа № 1

Цели: проверить знания, умения и навыки учащихся по усвоению и применению изученного материала.

Ход урока

I. Организация учащихся на выполнение работы.

II. Выполнение работы по вариантам.

Вариант I

1. Точки E и F лежат соответственно на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD; AE = ED, BF : FC = 4 : 3. Выразите вектор [pic] через векторы [pic] и [pic] .

2. Найдите координаты вектора [pic] , если [pic] , [pic] (3; –2),
[pic] ( –6; 2).

3. Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 15 см и 17 см, средняя линия равна 6 см. Найдите основания трапеции.

Вариант II

1. Точки K и M лежат соответственно на сторонах AB и CD параллелограмма ABCD; AK = KB, CM : MD = 2 : 5. Выразите вектор [pic] через векторы [pic] и [pic] .

2. Найдите координаты вектора [pic] , если [pic] , [pic] (–3; 6),
[pic] (2; –2).

3. Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°, бóльшая боковая сторона равна 20 см, средняя линия равна 7 см. Найдите основания трапеции.

Вариант III

1. Точки P и O лежат соответственно на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD; BP = PC, AO : OD = 3 : 2. Выразите вектор [pic] через векторы [pic] и [pic] .

2. Найдите координаты вектора [pic] , если [pic] , [pic] (6; –2),
[pic] (1; –2).

3. Основание и средняя линия прямоугольной трапеции равны соответственно 15 см и 12 см, а меньшая боковая сторона равна 8 см. Найдите вторую боковую сторону трапеции.

Вариант IV

1. Точки H и T лежат соответственно на сторонах AВ и CD параллелограмма ABCD; CT = TD, AH : HB = 5 : 3. Выразите вектор [pic] через векторы [pic] и [pic] .

2. Найдите координаты вектора [pic] , если [pic] , [pic] (2; 3), [pic] (9; –9).

3. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9 см, а бóльшая боковая сторона равна 24 см. Один из углов, прилежащих к боковой стороне, в два раза больше другого. Найдите основания трапеции.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 76–87; ответить на вопросы 1–8, с. 249.

Урок 24 Дата:
синус, косинус, тангенс. основное
тригонометрическое тождество

Цели: повторить определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника; ввести понятия синуса, косинуса и тангенса для углов от 0° до 180° и закрепить их знание в ходе решения задач.

Ход урока

I. Повторение ранее изученного материала.

1. Что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

2. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?

3. Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°?

II. Изучение нового материала.

1. Ввести понятие единичной полуокружности (рис. 290).

2. Ввести понятие синуса и косинуса для углов 0° ≤  ≤ 180°:

sin  = y; соs  = х.

Таким образом, для любого угла б из промежутка 0° ≤  ≤ 180° синусом угла б называется ордината у точки М, а косинусом угла б – абсцисса х точки М, лежащей на единичной полуокружности.

0 ≤ sin  ≤ 1; –1 ≤ cos  ≤ 1.

3. Нахождение значений синуса и косинуса для углов 0°, 90° и 180°.

4. Определение тангенса угла  ( [pic] 90°):

tg  = [pic] при  [pic] 90°; tg 0° = 0; tg 180° = 0.

5. Вывести основное тригонометрическое тождество sin² + cos² =
= 1, используя рисунок 290.

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачи № 1012 (для точек А, В, М1, М2).

2. Решить задачи № 1013 (б) на доске и в тетрадях.

Дано: cos  = [pic] .

Найти: sin .

Решение

sin² + cos² = 1; sin² = 1 – cos²; sin  = [pic] .

sin  = [pic] .

Ответ: [pic] .

3. Решить задачи № 1014 (а) и № 1015 (г).

решение

г) sin  = [pic] и 90° <  < 180°. Угол  расположен во II четверти, значит, cos  < 0. Найдем cos , используя основное тригонометрическое тождество:

cos² = 1 – sin²

cos  = [pic] ;

найдем tg .

tg  = [pic] .

Ответ: [pic] .

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 93 и 94; ответить на вопросы 1–4, с. 271; решить задачи № 1012 (для точек М2 и М3), №№ 1013 (б, в), 1014 (б, в), 1015 (б).

Урок 25 Дата:
основное тригономертическое тождество. формулы приведения.

Цели: вывести формулы для вычисления координат точки; развивать логическое мышление учащихся при решении задач.

Ход урока

I. Математический диктант (10–12 мин).

Вариант I

1. Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Найти синус, косинус и тангенс меньшего острого угла этого треугольника.

2. Катет прямоугольного треугольника равен 6 дм, а противолежащий угол равен 30°. Найдите гипотенузу этого треугольника.

3. Вычисляя синус острого угла, ученик получил число 1,05. Верны ли его вычисления?

4. Найти косинус острого угла, если его синус равен [pic] .

5. Найти тангенс острого угла, если его синус равен [pic] .

6. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен [pic] . чему равен косинус второго острого угла этого треугольника?

Вариант II

1. Стороны прямоугольного треугольника равны 10 дм, 8 дм и 6 дм. Найти синус, косинус и тангенс большего острого угла этого треугольника.

2. Катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а противолежащий угол равен 45°. Найти гипотенузу этого треугольника.

3. Вычисляя косинус острого угла прямоугольного треугольника, ученик получил число 1,05. Верны ли его вычисления?

4. Найти синус острого угла, если его косинус равен [pic] .

5. Найти тангенс острого угла, если его косинус равен [pic] .

6. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен [pic] . чему равен синус второго острого угла этого треугольника?

II. Изучение нового материала.

1. Обсудить с учащимися задачу № 1011.

2. Решить задачу:

Используя единичную полуокружность, постройте угол: а) косинус которого равен [pic] ; [pic] ; 0; –1; б) синус которого равен [pic] ; [pic] ; 1.

Для решения этой задачи полезно заготовить на доске несколько полуокружностей.

3. Предложить учащимся доказать, что синусы смежных углов равны, а косинусы смежных углов выражаются взаимно противоположными числами.

4. Записать формулы приведения:

sin (180° – ) = sin ; cos (180° – ) = – cos  при 0° ≤  ≤ 180°;

sin (90° – ) = cos ; cos (90° – ) = sin  при 0° ≤  ≤ 90°.

5. Объяснить учащимся содержание пункта 95 «Формулы для вычисления координат точки».

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу № 1016 на доске и в тетрадях.

Решение

sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60° = [pic] ;

cos 120° = cos (180° – 60°) = –cos 60° = [pic] ;

tg 120° = [pic] ;

sin 135° = sin (180° – 45°) = sin 45° = [pic] ;

cos 135° = cos (180° – 45°) = –cos 45° = [pic] ;

tg 135° = [pic] = –1.

2. Решить задачу № 1018 (в).

Решение

ОА = 5,  = 150°; точка А (х; у) имеет координаты

x = OA cos  = 5 ∙ cos 150° = 5 ∙ cos (180° – 30°) = –5 ∙ cos 30° = [pic] ;

y = OA sin  = 5 ∙ sin 150° = 5 ∙ sin (180° – 30°) = 5 ∙ sin 30° = [pic] = 2,5.

A [pic] .

Ответ: x = [pic] ; y = 2,5.

3. Решить задачу № 1019 (в).

Решение

A ( [pic] ; 1); x = [pic] , y = 1.

Решим сначала задачу в общем виде. Если известны координаты х и у точки А и х [pic] 0, то из равенств у = ОА ∙ sin , х = ОА ∙ cos , разделив первое из них почленно на второе, получаем [pic] , то есть [pic] = tg , а из этого равенства можно с помощью таблиц или микрокалькулятора найти значение .

x = ОА cos , y = OA sin 

[pic] = ОА cos , 1 = ОА cos ,

тогда tg  = [pic] ; tg 30° = [pic] , а так как – [pic] < 0, то угол  расположен во II четверти, значит,  – тупой угол.

Находим его:  = 180° – 30° = 150°.

Ответ: 150°.

IV. Итоги урока.

Задание на дом: изучить материал пунктов 93–95; повторить материал пунктов 52, 66 и 67; решить задачи №№ 1017 (в), 1018 (б), 1019 (г).

Урок 26 Дата:
формулы
для вычисления координат точки

Цели: закрепить знания учащихся в ходе решения задач; развивать умения и навыки при решении задач.

Ход урока

I. Фронтальное повторение теоретического материала.

Использовать настенную таблицу «Тригонометрические функции».

1. Объясните, что такое синус и косинус угла  из промежутка 0° ≤
≤  ≤ 180°.

2. Что называется тангенсом угла ? для какого значения  тангенс не определен и почему?

3. Записать основное тригонометрическое тождество.

4. Написать формулы приведения.

5. Написать формулы, выражающие координаты точки А с неотрицательной ординатой через длину отрезка ОА и угол между лучом ОА и положительной полуосью ОХ.

II. Решение задач.

1. Решить задачу 1. Найти tg , если:

а) cos  = [pic] ;

б) sin  = 1.

2. Решить задачу 2. Постройте [pic] β, если:

а) cos β = [pic] ;

б) sin β = [pic] .

3. Решить задачу № 1018 (г).

решение

ОА = 1;  = 180°; х = ОА cos ; х = 1 · cos 180° = –1; х = –1

y = ОА sin  = 1 · sin 180° = 1 · 0 = 0; у = 0.

Ответ: х = –1; у = 0.

III. Самостоятельная работа контролирующего характера.

Вариант I

Решить задачи №№ 1015 (а), 1017 (б), 1018 (а), 1019 (а).

Вариант II

Решить задачи №№ 1015 (в), 1017 (а), 1018 (д), 1019 (б).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 93–95; повторить материал п. 52 «Площадь треугольника»; решить задачи №№ 468, 471, 469.

Урок 27 Дата:
Теорема о площади треугольника.
Теорема синусов

Цели: доказать теорему о площади треугольника и теорему синусов; показать применение этих теорем при решении задач.

Ход урока

I. Проверка опорных знаний учащихся.

Провести математический диктант (10 мин).

Вариант I

1. Найдите площадь треугольника, если его основание равно 7 см, а высота равна 4 см.

2. Найдите синус угла, если его косинус равен [pic] .

3. Найдите синус угла, если синус смежного с ним угла равен 0,3.

4. Начертите треугольник АВС с тупым углом С. Проведите высоту треугольника из вершины В.

5. Луч ОС образует с положительной полуосью абсцисс угол 60°. Найдите координаты точки С, если ОС = 6 дм.

6. Определите, каким – остроугольным, прямоугольным или тупоугольным – является треугольник, два угла которого равны 43° и 48°.

7. Точка С единичной полуокружности имеет координаты [pic] . Найдите угол, который образует луч ОС с положительной полуосью ОХ.

Вариант II

1. Найдите площадь треугольника, если его основание равно 10 дм, а высота равна 5 дм.

2. Найдите косинус угла, если его синус равен [pic] .

3. Найдите синус угла, если синус смежного с ним угла равен 0,7.

4. Начертите треугольник СDЕ с тупым углом Е. Проведите высоту треугольника из вершины С.

5. Луч ОВ образует с положительной полуосью абсцисс угол 30°. Найдите координаты точки В, если ОВ = 8 дм.

6. Определите, каким – остроугольным, прямоугольным или тупоугольным – является треугольник, два угла которого равны 35° и 56°.

7. Точка А единичной полуокружности имеет координаты [pic] . найдите угол, который образует луч ОА с положительной полуосью ОХ.

II. Объяснение нового материала.

1. Доказательство теоремы о площади треугольника можно организовать в форме беседы по вопросам:

1) чему равна площадь любого треугольника?

2) какие формулы применяются для вычисления координат точки?

3) По рисунку 292 учебника провести доказательство теоремы
о площади треугольника.

2. Устно решить задачу: найти площадь треугольника АВС, если АВ = 12 см, АС = 8 см, [pic] А = 30°.

3. Доказать теорему синусов, используя теорему о площади треугольника.

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу № 1020 (б) на доске и в тетрадях.

Решение

S = [pic] АВ · ВС sin [pic] B = [pic] ∙ 18 [pic] ∙ 3 sin 45° = 9 [pic] ∙ 3 ∙ [pic] = 27 (cм²).

Ответ: 27 cм².

2. Решить задачу № 1022.

Решение

S = 60 см²; S = [pic] АВ · AС sin A; 60 = [pic] AB · 15 sin 30°;

60 = [pic] АВ · [pic] ; АВ = 60 : [pic] = 16 (см).

Ответ: 16 см.

3. Решить задачу № 1026.

Решение

Используем теорему синусов:

[pic] ; [pic] B = 180° – (60° + 75°) = 45°;

[pic] ; AB = [pic] ≈ 15 (см).

SΔABC = [pic] АC · AB sin A = [pic] · 12 · 15 sin 75° ≈ 87 (см²).

Ответ: АВ ≈ 15 см; SАВС = 87 см².

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 96 и 97; повторить материал п. 89; решить задачи №№ 1020 (а, в), 1023.

Урок 28 Дата:
Теорема косинусов

Цели: доказать теорему косинусов и научить учащихся применять ее при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Сформулировать и доказать теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними).

2. Сформулировать и доказать теорему синусов.

3. Проверить решение задачи № 1023.

II. Изучение нового материала.

1. Записать формулу расстояния между двумя точками: точки
М1 (х1; у1), М2 (х2; у2),

d = М1М2 = [pic] .

2. Доказать теорему косинусов, используя рисунок 293 учебника.

3. Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора.

В самом деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то cos А =
= cos 90° = 0 и по формуле а² = b² + с² – 2bс ∙ cos А получаем а² = b² + с², то есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

4. Обсудить с учащимися, какие три элемента треугольника нужно знать, чтобы вычислить четвертый элемент (сторону или угол), используя: 1) теорему синусов; 2) теорему косинусов.

III. Решение задач.

1. Решить задачу 1.

Найдите сторону АВ треугольника АВС, если ВС = 3 см, АС = 5 см, [pic] С = 60°.

Решение

АВ² = ВС² + АС² – 2 ∙ ВС ∙ АС ∙ cos С = 3² + 5² – 2 ∙ 3 ∙ 5 cos 60°= 9 +
+ 25 – 15 = 19; АВ = [pic] см.

Ответ: [pic] см.

2. Решить задачу 2.

Найдите сторону b треугольника АВС, если а = 4, с = [pic] и [pic] В =
= 135°.

Решение

По теореме косинусов находим b:

b = [pic] =

= [pic] ≈ 5,7.

Ответ: ≈ 5,7.

3. Решить задачу 3. Найдите угол А треугольника АВС, если АВ =
= АС = 1 м, ВС = [pic] м.

Решение

Пользуясь теоремой косинусов, получаем: а² = b² + с² – 2bс ∙ cos А;

cos А = [pic] ; АС = b = 1 м; АВ = с = 1 м; ВС = а = [pic] м.

cos А = [pic] ; cos А = [pic] , тогда [pic] А = 120°.

Ответ: 120°.

4. Решить задачу № 1031.

Решение

а) а = 5; b = 4; с = 4. Найдем cos А = [pic] . Так как [pic] > 0, но меньше 1, то самый большой угол А в треугольнике будет острым. Следовательно, треугольник является остроугольным.

Ответ: остроугольный.

б) а = 17; b = 8; с = 15.

cos А = [pic] = 0;

сos А = 0, значит, [pic] А = 90°.

Ответ: прямоугольный.

в) а = 9; b = 5; с = 6.

cos А = [pic] .

Так как –1 < [pic] < 0, то [pic] А – тупой.

Ответ: тупоугольный треугольник.

IV. итоги урока.

Задание на дом: выучить материал пунктов 96–98; решить задачи №№ 1027, 1032.

Урок 29 Дата:
Решение треугольников

Цели: познакомить учащихся с методами решения треугольников; закрепить знание учащимися теорем синусов и косинусов, научить применять эти теоремы в ходе решения задач.

Ход урока

I. Проверка изученного материала.

Учащиеся на отдельных листочках доказывают изученные теоремы и сдают учителю.

Вариант I

Сформулируйте и докажите теорему косинусов.

Вариант II

Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника.

Вариант III

Сформулируйте и докажите теорему синусов.

II. Изучение нового материала.

1. Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (то есть трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.

2. При решении треугольников используют теоремы синусов и косинусов, причем при вычислении углов треугольника предпочтительнее использовать теорему косинусов, а не теорему синусов. Например, зная три стороны треугольника, для вычисления первого угла применяем теорему косинусов, а для вычисления второго угла можно использовать как ту, так и другую теоремы. Но поскольку синус угла равен синусу смежного с ним угла, то нахождение синуса угла еще не позволяет определить сам угол – он может быть острым или тупым. Если же вычислить косинус угла, то по его знаку и величине угол определяется однозначно.

3. Рассмотрим три задачи на решение треугольника:

1) решение треугольника по двум сторонам и углу между ними;

2) решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам;

3) решение треугольника по трем сторонам.

При этом будем пользоваться следующими обозначениями для сторон треугольника АВС: АВ = с; ВС = а; СА = b.

4. В тетрадях учащиеся оформляют таблицу-памятку:

III. Решение задач.

1. По рисунку 294 учащиеся самостоятельно разбирают решение примера на странице 259 учебника.

2. Решить задачу № 1025 (б, в, г, ж, и) на доске и в тетрадях, используя таблицы Брадиса и микрокалькуляторы.

3. Решить задачу № 1021 на доске и в тетрадях.

4. Совместно с учащимися разобрать и зафиксировать в тетрадях решение задачи № 1033 по рисунку 297.

5. Решить задачи № 1060 (в), 1061 (в) и 1062.

IV. Итог урока.

Задание на дом: изучить материалы пунктов 96–99; решить задачи №№ 1025 (а, д, е, з), 1060 (г), 1028.

Урок 30 Дата:
Измерительные работы

Цель: познакомить учащихся с измерительными работами на местности, основанными на использовании теорем синусов и косинусов.

Ход урока

I. Проверка опорных знаний учащихся.

Учащиеся отвечают на вопросы 2–10 на странице 271 учебника.

II. работа по учебнику.

1. Тригонометрические формулы используются при проведении различных измерительных работ на местности.

В 8 классе учащиеся определяли высоту предмета и расстояние до недоступной точки на основе теоремы подобия треугольников. В 9 классе эти же задачи решают с применением тригонометрических функций.

2. Учащиеся самостоятельно читают материал пункта 100 учебника.

3. Обсуждение прочитанного материала, используются рисунки 295 и 296 учебника.

III. Решение задач.

1. Решить задачу № 1036 по рисунку 298.

2. Решить задачу № 1037 (использовать рисунок 296 учебника).

3. Решить задачу № 1038 по рисунку 299.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 93–100; решить задачи № 1034, 1064.

Урок 8
Решение задач

Цели: систематизировать, повторить и обобщить изученный материал; научить применять полученные знания к решению задач.

Ход урока

I. Повторение и обобщение изученного материала.

1. Сформулировать теорему о площади треугольника.

2. Сформулировать теорему синусов.

3. Сформулировать теорему косинусов.

4. Объяснить применение теоремы косинусов при решении треугольников.

5. В какой задаче на решение треугольников можно применять только теорему синусов?

6. Рассказать решение задачи по нахождению высоты предмета и расстояния до недоступной точки с помощью тригонометрических функций.

7. Формулы приведения (записать на доске).

II. Решение задач.

1. Решить задачу № 1059 на доске и в тетрадях.

Пусть АВСD – выпуклый четырехугольник, О – точка пересечения его диагоналей, [pic] AOB = .

Тогда SАВСD = SАОВ + SВОС + SСОD + SАОD.

Найдем площадь каждого из четырех треугольников, пользуясь теоремой о площади треугольника. Учитывая, что sin (180° – ) = sin  и АС =
= АО + ОС, ВD = ВО + ОD, получаем:

SАВСD = [pic] AC ∙ BD ∙ sin .

2. Решить задачу № 1063.

Решение

SАВС = SАВD + SАСD или воспользуемся формулой площади треугольника:

[pic] bc ∙ sin  = [pic] xc ∙ sin [pic] + [pic] xb ∙ sin [pic] , где x = AD.

Отсюда, учитывая, что sin  = 2sin [pic] ∙ cos [pic] , находим х:

х = [pic] .

III. Самостоятельная работа контролирующего характера.

Вариант I

Решить задачи №№ 1060 (а); 1058 (б); 1061 (а).

Вариант II

Решить задачи №№ 1060 (б); 1058 (а); 1061 (б).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить тему «Векторы», материал пунктов 76–85 и 86–89; решить задачи №№ 1024, 1035.

Урок 31 Дата:
Угол между векторами.
Скалярное произведение векторов. скалярное произведение в координатах.

Цели: познакомить учащихся с понятием угла между векторами; ввести скалярное произведение векторов; рассказать о применении скалярного произведения векторов в физике, механике; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Математический диктант (15 мин).

Вариант I

1. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. какие векторы коллинеарны вектору [pic] ?

2. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. Какие векторы сонаправлены с вектором [pic] ?

3. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. Какие векторы равны вектору [pic] ?

4. При каком условии [pic] ?

5. Известно, что [pic] = 3, [pic] = 4. Найдите [pic] , если АОВD – прямоугольник.

6. В треугольнике СDЕ DЕ = 5, СЕ = 4, угол С = 45°. Найдите сторону DЕ.

7. В треугольнике КLM КL = LМ = 5, КМ = 6. Найдите косинус угла L.

8. В треугольнике ОРQ угол О = 60°, угол Р = 75°, ОР = 8. Найдите сторону РQ.

Вариант II

1. Диагонали ромба КLМР пересекаются в точке Т. Какие векторы коллинеарны вектору [pic] ?

2. Диагонали ромба КLМР пересекаются в точке Т. какие векторы сонаправлены с вектором [pic] ?

3. Диагонали ромба КLМР пересекаются в точке Т. Какие векторы равны вектору [pic] ?

4. При каком условии [pic] ?

5. Известно, что точки С и D лежат соответственно на осях ОХ и ОY прямоугольной системы координат. Найдите [pic] , если [pic] = 5, [pic] = 12.

6. В треугольнике АВС АВ = ВС = 8, АС = 4. Найдите косинус угла А.

7. В треугольнике ВСD ВС = 6, угол В = 75°, угол С = 45°. Найдите сторону ВD.

8. В треугольнике DЕF DЕ = 6, ЕF = 7, угол Е = 30°. Найдите сторону DF.

II. Объяснение нового материала.

1. Ввести понятие угла между векторами [pic] и [pic] (рис. 300 и таблица).

2. Угол  между векторами [pic] и [pic] не зависит от выбора точки О, от которой откладываются векторы [pic] и [pic] .

3. Угол между сонаправленными векторами считается равным нулю.

4. Обозначение угла между векторами: [pic] .

5. Определение углов между векторами на рисунке 301.

6. Определение перпендикулярных векторов.

7. Повторить по настенным таблицам сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число.

8. Введение еще одного действия над векторами – скалярного умножения векторов. В отличие от суммы и разности векторов скалярное произведение есть число (скаляр) – именно это и обусловило название операции.

9. В тетрадях учащиеся оформляют таблицу:

скалярное произведение векторов

[pic]

Если [pic] и [pic] , то

а) (0 ≤ [pic] < 90°) <=> ( [pic] > 0); б) (90° < [pic] ≤ 180°) <=> ( [pic] < 0);

в) [pic] <=> ( [pic] = 0); г) ( [pic] = 0°) <=> [pic] .

[pic]

10. Скалярное произведение векторов широко используется в физике. Например, из курса механики известно, что работа А постоянной силы [pic] при перемещении тела из точки М в точку N (рис. 303) равна произведению длин векторов силы [pic] и перемещения [pic] на косинус угла между ними: [pic] .

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачи №№ 1039 (а, б, ж, з) и 1040 (а, д, е) по готовым чертежам квадрата и ромба, заранее выполненным на доске.

2. Решить задачу № 1041 (в).

Примечание. Сos 135° = cos (180° – 45°) = – cos 45° = [pic] .

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучение материалов пунктов 101 и 102; повторить материал п. 87; решить задачи №№ 1039 (в, г), 1040 (г), 1042 (а, б).

Урок 32 Дата:
Свойства скалярного произведения векторов

Цели: ввести понятие скалярного произведения в координатах; изучить свойства скалярного произведения векторов и закрепить их знание при решении задач.

Ход урока

I. Проверочная работа (10 мин).

Вариант I

1. Известно, что [pic] , где [pic] и [pic] – координатные векторы. Выпишите координаты вектора [pic] .

2. Дан вектор [pic] (0; 5). Запишите разложение вектора [pic] по координатным векторам [pic] и [pic] .

3. Даны векторы [pic] (–1; 2) и [pic] (2; 1). Найдите координаты суммы векторов [pic] и [pic] .

4. Найдите координаты вектора [pic] , если [pic] (–3; 0).

5. Даны векторы [pic] (5; 6) и [pic] (–2; 3). Найдите координаты вектора [pic] .

6. Две стороны треугольника равны 7 и 3 см, а угол между ними равен 120°. Найдите третью сторону треугольника.

7. в треугольнике АВС угол А = 45°, АВ = 2, АС = 3. Вычислите [pic] .

8. Скалярное произведение ненулевых векторов [pic] и [pic] равно нулю. Чему равен угол между векторами [pic] и [pic] ?

Вариант II

1. Дан вектор [pic] (3; 0). Запишите разложение вектора по координатным векторам [pic] и [pic] .

2. Известно, что [pic] , где [pic] и [pic] – координатные векторы. Выпишите координаты вектора [pic] .

3. Найдите координаты вектора – [pic] , если [pic] (0; –2).

4. Даны векторы [pic] (2; –1) и [pic] (3; –1). Найдите координаты разности векторов [pic] и [pic] .

5. Даны векторы [pic] (–1; 9) и [pic] (3; –2). Найдите координаты вектора [pic] .

6. В треугольнике МРQ угол M = 135°; МР = 5, МQ = 2 [pic] . Вычислите [pic] .

7. Две стороны треугольника равны 3 и 9 м, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону треугольника.

8. Чему равно скалярное произведение координатных векторов [pic] и [pic] ?

II. Изучение нового материала.

1. Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов.

2. Изучение теоремы о скалярном произведении векторов в координатах и свойств скалярного произведения полезно построить так, чтобы учащиеся сами проводили алгебраические преобразования.

Полученные результаты можно записать в тетради и вынести в настенную таблицу:

Скалярное произведение в координатах

Свойства скалярного произведения векторов:

1) [pic] ≥ 0 ( [pic] > 0 при [pic] [pic] 0); 2) [pic] ;

3) [pic] ; 4) [pic] .

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1043 (объясняет учитель):

[pic] , тогда по правилу треугольника [pic] (или по правилу параллелограмма вектор [pic] есть равнодействующая сила [pic] ).

[pic] C = 180° – 120° = 60° (сумма односторонних углов равна 180°). По теореме косинусов из треугольника ВСD найдем ВD:

BD² = BC² + CD² – 2BC ∙ CD ∙ cos C =

= 8² + 15² – 2 ∙ 8 ∙ 15 ∙ [pic] = 64 + 225 – 120 = 169;

[pic] = 169; [pic] = 13.

Ответ: 13.

2. Решить задачи № 1044 (а, б).

3. Устно № 1045.

4. Решить задачи № 1046, 1047 (б, в) на доске и в тетрадях.

5. Решить задачу № 1051.

Решение

[pic]

= 1 ∙ 2 cos 60° + 2 ∙ 2 cos 60° = 2 ∙ [pic] + 4 ∙ [pic] = 1 + 2 = 3.

Ответ: 3.

6. Решить задачу № 1049 на доске и в тетрадях (для угла А объясняет учитель):

Решение

[pic]

[pic]

[pic]

cos A = [pic] ; cos A = [pic] , то [pic] A = 60°.

2) cos B = [pic] ; [pic]

[pic]

[pic] = 1 + 12 = 13;

[pic]

BC = [pic] = 3,5;

cos B = [pic] ≈ 0,9286; [pic] B находим по таблицам Брадиса:

[pic] B ≈ 21°47′.

3) [pic] C = 180° – 60° – 21°47′ ≈ 98°13′.

Ответ: [pic] A = 60°; [pic] B ≈ 21°47′; [pic] C ≈ 98°13′.

7. Решить задачу № 1052.

Решение

[pic]

[pic] = 5² – 2 ∙ 5 ∙ 2 cos 90° + 2² – 4² =

= 25 + 4 – 16 = 13; [pic] = 13.

Ответ: 13.

8. Решить задачу № 1066.

Решение

По условию [pic] .

[pic]

[pic] = 9 ∙ 1 – 24 ∙ 1∙ 1 ∙ 0 + 16 ∙ 1 = 25.

[pic] = 25, тогда [pic] = 5.

Ответ: 5.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 101–104; ответить на вопросы 17–20 на странице 271 учебника; решить №№ 1044 (в), 1047 (а), 1054 (разобрать решение задачи и записать в тетрадь).

урок 33 Дата:
Применение скалярного произведения векторов к решению задач.

Цели: закрепление и проверка знаний и умений учащихся, сформированных при изучении главы XI, формирование навыков решения задач, развитие навыков логического мышления.

Ход урока

I. Математический диктант (10 мин).

Вариант I

1. Вычислите скалярное произведение векторов [pic] и [pic] , если [pic] , а угол между ними равен 120°.

2. Скалярное произведение ненулевых векторов [pic] и [pic] равно 0. Определите угол между векторами [pic] и [pic] .

3. Вычислите скалярное произведение векторов [pic] и [pic] , если [pic] (3; –2), [pic] (–2; 3).

4. Найдите угол между ненулевыми векторами [pic] (х; у) и [pic] (–у; х).

5. Вычислите косинус угла между векторами [pic] и [pic] , если [pic] (3; –4), [pic] (15; 8).

6. Даны векторы [pic] (2; –3) и [pic] (х; –4). При каком значении х эти векторы перпендикулярны?

Вариант II

1. Вычислите скалярное произведение векторов [pic] и [pic] , если [pic] , а угол между ними равен 135°.

2. Скалярное произведение ненулевых векторов [pic] и [pic] равно нулю. Определите угол между этими векторами.

3. Вычислите скалярное произведение векторов [pic] и [pic] , если [pic] (–4; 5), [pic] (–5; 4).

4. Найдите угол между ненулевыми векторами [pic] (х; –у) и [pic] (у; х).

5. Вычислите косинус угла между векторами [pic] и [pic] , если [pic] (–12; 5), [pic] (3; 4).

6. Даны векторы [pic] (3; у) и [pic] (2; –6). При каком значении у эти векторы перпендикулярны?

II. Решение задач.

1. Решить задачу № 1025 (б, е, з) на доске и в тетрадях, используя микрокалькулятор.

2. Решить задачу № 1056 на доске и в тетрадях.

Решение

Пусть АВСD – данный ромб. Выразим векторы [pic] и [pic] через векторы [pic] и [pic] :

[pic]

используя эти выражения, получаем:

[pic] так как АD = АВ. Следовательно, АС [pic] ВD, то есть доказали, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

3. Решить задачу № 1042 на доске и в тетрадях.

б) [pic]

cos 120° = cos (180° – 60°) = –cos 60° = – [pic] .

в) [pic] ∙ cos 90° = 0, так как cos 90° = 0;

г) [pic] ∙ cos 0° = a ∙ a ∙ 1 = a².

ответ: а) [pic] a²; б) – [pic] a²; в) 0; г) а².

4. Решить задачу № 1050.

Решение

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, тогда

[pic] .

[pic]

= 5² – 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ [pic] + 8² = 25 – 40 + 64 = 49, [pic] ; значит,
[pic] = 7.

Самостоятельно учащиеся находят [pic] .

III. Устный опрос учащихся по карточкам.

Вариант I

1. Что называется тангенсом угла ? Для какого значения  тангенс не существует и почему?

2. Сформулируйте и докажите теорему синусов.

3. Даны векторы [pic] (х; –4) и [pic] (2; 3). Найдите значение х, если [pic] [pic] [pic] .

Вариант II

1. Напишите формулы приведения.

2. Сформулируйте и докажите теорему косинусов.

3. Найдите скалярное произведение векторов [pic] (–5; 7) и [pic] (2; 1).

Вариант III

1. Что такое скалярное произведение векторов?

2. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.

3. Найдите косинус угла А треугольника АВС, если АВ = 8 см, АС = 6 см, ВС = 12 см.

Вариант IV

1. Какие два вектора называются перпендикулярными?

2. Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их координаты.

3. Найдите синус угла В треугольника АВС, если АВ = 5 см, АС = 8 см, [pic] С = 30°.

IV. Итоги уроков.

Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе, повторить материал пунктов 93–104; решить задачи №№ 1065, 1068, 1060 (а, б), 1061 (а, б).

Урок 34 Дата:
Контрольная работа № 2

Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов».

Ход урока

I. Организация учащихся на выполнение работы.

II. Выполнение работы по вариантам.

Вариант I

1. Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью ОХ, если А (–1; 3).

2. Решите треугольник АВС, если угол В = 30°, угол С = 105°, ВС =
= 3 [pic] см.

3. Найдите косинус угла М треугольника KLМ, если К (1; 7), L (–2; 4), М (2; 0). Найдите косинусы углов K и L.

Вариант II

1. Найдите угол между лучом ОВ и положительной полуосью ОХ, если В (3; 3).

2. Решите треугольник ВСD, если угол В = 45°; угол D = 60°, ВС =
= [pic] см.

3. Найдите косинусы углов А, В и С треугольника АВС, если А (3; 9), В (0; 6), С (4; 2).

Вариант III

1. Найдите угол между лучом ОС и положительной полуосью ОХ, если С ( [pic] ; 1).

2. Решите треугольник СDЕ, если угол С = 60°, СD = 8 дм, СЕ = 5 дм.

3. Найдите косинус угла между векторами [pic] и [pic] , если [pic] = 60°.

Вариант IV

1. Найдите угол между лучом ОD и положительной полуосью ОХ, если D (–2; 2).

2. Решите треугольник DЕF, если DЕ = 5 м, DF = 8 м и ЕF = 4 м.

3. Найдите косинус угла между векторами [pic] и [pic] , если [pic] = 60°.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 39–41 и пунктов 21, 74–75 «Вписанная и описанная окружности».

Урок 35 Дата:
Правильный многоугольник. Окружность,
описанная около правильного многоугольника

Цели: повторить ранее изученный материал о сумме углов выпуклого многоугольника, о свойстве биссектрисы угла, теорему об окружности, описанной около треугольника, признак равнобедренного треугольника; сформировать у учащихся понятия «правильный многоугольник», «многоугольник, вписанный в окружность»; выработать умение формулировать и доказывать теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.

Ход урока

I. Анализ контрольной работы.

II. Актуализация опорных знаний учащихся.

1. Повторить формулу суммы углов выпуклого многоугольника и записать ее.

2. Сформулировать свойство биссектрисы угла и признак равнобедренного треугольника.

3. Повторить теорему об окружности, описанной около треугольника.

4. Устно решить задачи:

1) Сколько сторон имеет п-угольник, если сумма его внутренних углов равна: а) 1260°; б) 1980°?

2) Назовите выпуклый четырехугольник, у которого все внешние углы прямые.

3) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна сумме внешних?

4) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если все его внешние углы тупые?

5. Решить задачи на доске и в тетрадях:

1) Все углы выпуклого пятиугольника равны друг другу. Найдите величину каждого угла.

2) Докажите, что треугольник, две высоты которого равны, является равнобедренным.

3) Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Докажите, что [pic] А +
+ [pic] С = [pic] В + [pic] D.

III. Изучение нового материала.

1. Ввести понятие правильного многоугольника.

2. Задать учащимся вопросы:

1) Какие правильные многоугольники уже рассматривались в курсе геометрии?

2) Приведите примеры такого выпуклого многоугольника, у которого:

а) все стороны равны, но он не является правильным (ромб с острым углом);

б) все углы равны, но он не является правильным (прямоугольник с неравными сторонами).

3. Предложить учащимся вывести формулу для вычисления угла правильного многоугольника.

[pic]

4. Решить задачи № 1081 (в) и 1083 (в) на доске и в тетрадях.

5. Формулировка и доказательство теоремы об окружности, описанной около правильного многоугольника (рис. 307).

IV. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачи №№ 1086 и 1084 (б, д).

решение

№ 1086.

Примечание. Воспользоваться тем, что биссектриса любого угла правильного многоугольника проходит через центр вписанной окружности.

№ 1084: б) Градусная мера дуги всей окружности равна 360°; количество сторон правильного многоугольника равно 360° : 30° = 12 (сторон); д) 360° : 18° = 20 (сторон).

Ответ: б) 12, д) 20.

2. Обсудить решения задач № 1080 и 1082 (устно).

V. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материалы пунктов 105–106; ответить на вопросы 1–3, с. 290; решить задачи №№ 1081 (а, д), 1083 (г), 1084 (а, в), 1129.

Урок 37 Дата:
решение задач на вычисление площадей, сторон правильного многоугольника и радиусов вписанной и описанной окружности.

Цели: повторить теорему об окружности, вписанной в треугольник; повторить свойства касательной к окружности; сформулировать и доказать теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник; вырабатывать навыки решения задач.

Ход урока

I. Повторение изученного материала.

1. Сформулировать теорему об окружности, вписанной в треугольник.

2. Сформулировать свойство касательной к окружности.

3. Решить задачи №№ 1078 (устно) и 1079 (устно).

4. Решить задачи на доске и в тетрадях:

1) Окружность радиуса 5 см касается сторон угла А в точках В и С. найдите длины отрезков АВ и АС, если центр окружности удален от вершины угла на 13 см.

2) Две окружности пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая, проходящая через их центры, перпендикулярна к отрезку АВ.

3) Докажите, что радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, вдвое меньше радиуса описанной около него окружности.

II. Работа с учебником.

1. Определение окружности, вписанной в многоугольник.

2. Разобрать по рисунку 308 учебника доказательство теоремы об окружности, вписанной в правильный многоугольник.

Дома учащиеся запишут доказательство этой теоремы.

3. Записать в тетради следствие 1 и следствие 2.

4. Записать в тетради правила нахождения для заданного правильного многоугольника центров описанной и вписанной окружностей, а также их радиусов:

1) Центром окружности, описанной около правильного многоугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника (достаточно найти точку пересечения серединных перпендикуляров к двум соседним сторонам), а радиусом является отрезок биссектрисы угла многоугольника, соединяющий его вершину с центром.

2) Для нахождения центра и радиуса окружности, вписанной в многоугольник, достаточно построить биссектрисы двух соседних углов, найти точку О их пересечения и опустить из нее перпендикуляр на соответствующую сторону многоугольника (точка О будет центром вписанной окружности, а перпендикуляр – ее радиусом).

III. Закрепление изученного материала.

Решить задачи на доске и в тетрадях:

1. Докажите, что все диагонали правильного многоугольника равны.

2. На каждой из сторон квадрата отмечены две точки, делящие каждую сторону в отношении 1 : [pic] : 1. Докажите, что эти точки служат вершинами правильного восьмиугольника.

3. Постройте с помощью транспортира и циркуля правильный пятиугольник.

IV. Самостоятельная работа.

Вариант I

1. Задачи №№ 1081 (б), 1083 (б), 1084 (г).

2. Докажите, что три вершины правильного шестиугольника, взятые через одну, служат вершинами правильного треугольника.

Вариант II

1. Задачи №№ 1081 (г), 1083 (а), 1084 (е).

2. Докажите, что четыре вершины правильного восьмиугольника, взятые через одну, служат вершинами квадрата.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 105–107; ответить на вопросы 1–4, с. 290; решить задачи №№ 1085, 1131, 1130.

Урок 36 Дата:
Формулы для вычисления площади
правильного многоугольника, его стороны
и радиуса вписанной окружности

Цели: выработать у учащихся умение выводить формулы, связывающие радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности со стороной а правильного п-угольника, на их основе научить учащихся получать формулы для вычисления ап через R и r и конкретизировать их для случая п = 3, п = 4, п = 6, выработать навыки применения полученных знаний при решении задач.

Ход урока

I. Анализ самостоятельной работы.

II. Изучение нового материала.

1. Вывод формул (1–6) из пункта 108 учебника учащиеся проводят самостоятельно под руководством учителя по заранее заготовленному на доске рисунку 308.

2. После вывода формул для правильного п-угольника рассмотреть их частные случаи для п = 3, п = 4, п = 6.

3. Выведенные формулы оформить в виде таблицы, которую учащиеся записывают в тетради:

Эту таблицу учитель оформляет как настенную на картоне.

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решение учащимися задач на непосредственное применение выведенных формул:

1) В окружность радиуса R = 12 вписан правильный п-угольник. Определите его сторону и периметр, если: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6.

2) Около окружности радиуса r = 6 описан правильный п-угольник. Определите его сторону и периметр, если: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6.

3) Для правильного п-угольника со стороной а = 6 см найдите радиус описанной около него окружности, если: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6.

2. Решить задачу № 1089.

Решение

Р = 18 см; а = 18 : 3 = 6 (см);

а3 = R [pic] ; [pic] R = [pic] = 2 [pic] (см);

а4 = R [pic] = 2 [pic] ∙ [pic] = 2 [pic] (см).

Ответ: 2 [pic] см.

3. Решить задачу № 1090.

Решение

а3 = 3 см; R = [pic] [pic] (см); d = 2R = 2 [pic] (см).

ответ: 2 [pic] см.

4. Решить задачу № 1092.

Решение

Р = 48 см; а6 = 48 : 6 = 8 (см); а6 = [pic] = 8 (см);

r = [pic] = 4 [pic] (см); а4 = 2r = 8 [pic] (см) ; р = 4 ∙ а4 = 8 [pic] ∙ 4 = 32 [pic] (см).

Ответ: 32 [pic] см.

5. Решить задачу:

Правильный треугольник АВС вписан в окружность с центром О и радиусом 8 см. На стороне этого треугольника построен квадрат. Определите радиус окружности, описанной около квадрата.

IV. Итоги урока.

Задание на дом: изучить материал пункта 108; решить задачи №№ 1087, 1088, 1094 (а, б).

Урок 38 Дата:
Построение правильных многоугольников

Цель: выработать у учащихся умение строить некоторые правильные многоугольники.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Проверить решение учащимися задач № 1087 и № 1088 по тетрадям.

2. Решить на доске часть заданий, вызвавших затруднения у учащихся.

II. Построение правильных многоугольников.

1. Рассмотреть решение задачи 1 пункта 109.

2. Построение правильного треугольника, вписанного в окружность.

3. Рассмотреть решение задачи 2 пункта 109.

4. Построение правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность (рис. 310).

5. Построение правильных четырехугольника, восьмиугольника, шестнадцатиугольника, вписанных в окружность.

6. Построение правильных шестиугольника, треугольника, описанных около окружности.

7. Построение правильных четырехугольника, восьмиугольника, описанных около окружности.

III. Итоги урока.

Рассмотренные примеры показывают, что многие правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Оказывается, что не все правильные многоугольники допускают такое построение. Доказано, например, что правильный семиугольник не может быть построен при помощи циркуля и линейки.

Однако с помощью этих инструментов можно построить правильный семнадцатиугольник.

Домашнее задание: выполнить аналогичное задание на чертежных листах (построение правильных многоугольников, вписанных в окружность, и построение правильных многоугольников, описанных около окружности).

Учитель может указать количество сторон правильного многоугольника. Лучшие работы пойдут в методическую копилку.

Решить задачи №№ 1095, 1096, 1097.

Урок 39 Дата:
Длина окружности

Цели: вывести формулу, выражающую длину окружности через ее радиус; вывести формулу для вычисления длины l дуги окружности с градусной мерой ; закрепить знание формул при решении задач.

Ход урока

I. Математический диктант (15 мин).

Вариант I

1. Найдите угол правильного десятиугольника.

2. Найдите сторону правильного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 2 м.

3. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, если радиус описанной около него окружности равен 2 м.

4. Найдите площадь правильного треугольника, если расстояние от его центра до вершины равно 2 м.

5. Закончите предложение: «Угол с вершиной в центре окружности называется …»

6. Угол с вершиной в центре правильного многоугольника и сторонами, проходящими через две его соседние вершины, равен 36°. Сколько сторон имеет этот многоугольник?

7. Чему равен cos 0°?

8. С помощью циркуля и линейки постройте правильный шестиугольник.

Вариант II

1. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его сторона стягивает дугу описанной окружности, равную 18°?

2. Найдите площадь квадрата, если радиус описанной около него окружности равен 2 дм.

3. Закончите предложение: «Кругом называется часть плоскости …»

4. Найдите сторону квадрата, если расстояние от его центра до вершины равно 2 дм.

5. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат, если радиус описанной около него окружности равен 2 дм.

6. Чему равен cos 0°?

7. Найдите угол правильного девятиугольника.

8. С помощью циркуля и линейки постройте правильный треугольник.

II. Изучение нового материала (лекция).

Поскольку материал пункта «Длина окружности» нетрадиционен и опирается на понятие предела, его изложение целесообразно дать в форме лекции.

1. Дать представление о длине окружности с помощью нитки, обмотанной около дна стакана.

2. Работа по рисункам 312 и 313 учебника.

3. Вывод формулы, выражающей длину окружности через ее радиус.

4. Записать в тетради вывод: отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Число π (пи).

5. Формула для вычисления длины окружности: C = 2πR; d = 2R, тогда C = πd, где d – диаметр окружности.

Найдем радиус и диаметр окружности: R = [pic] ; d = [pic] , где π ≈ 3,14.

6. Вывод формулы для вычисления длины l дуги окружности с градусной мерой :

длина дуги в 1° равна [pic] ;

длина дуги в ° равна l = [pic] ∙ .

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу № 1101 (таблицу начертить заранее на доске).

2. Устно решить задачи № 1102 и № 1103.

3. Решить задачу № 1109 (а, б).

4. Решить задачу № 1111 (использовать рис. 316).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пункта 110; решить задачи №№ 1109 (в, г), 1106, 1104 (а), 1105 (а).

Урок 41 Дата:
Площадь круга. площадь Кругового сектора

Цели: вывести формулу площади круга и научить учащихся применять ее при решении задач.

Ход урока

I. Изучение нового материала (лекция).

Провести в форме лекции доказательство площади круга.

1. Дать определение понятия «круг».

2. Вывести формулу площади круга (рис. 314).

3. Записать в тетрадях: для вычисления площади S круга радиуса R применяется формула [pic] .

4. В течение веков усилия многих математиков были направлены на решение задачи, получившей название задача о квадратуре круга: построить при помощи циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного круга. Только в конце XIX века было доказано, что такое построение невозможно.

II. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу. На здании МГУ установлены часы с круговым циферблатом, имеющим диаметр примерно 8,8 м. Найдите площадь циферблата этих часов и сравните с площадью вашей классной комнаты.

Ответ: 60,8 м².

2. Решить задачу № 1118 (самостоятельно).

3. Решить задачу № 1119 на доске и в тетрадях.

Решение

С = 41 м; C = 2πR; D = 2R (диаметр D);

2R = D = [pic] ; D = [pic] ≈ 13,06 (м) ≈ 13,1 м.

Sкруга = πR²; так как R = [pic] , то Sкруга = π ∙ [pic] = π ∙ [pic] ;

[pic]

S = [pic] ≈ 133,84 (м²).

Ответ: ≈ 13,06 м; 133,84 м².

4. Решить задачу № 1125 на доске и в тетрадях.

На сторонах произвольного прямоугольного треугольника АВС, как на диаметрах, построены полукруги. Докажите, что сумма площадей полукругов, построенных на катетах, равна площади полукруга, построенного на гипотенузе.

Решение

Пусть АС = 2а, АВ = 2b, ВС = 2с, тогда радиусы соответствующих кругов равны а, b, с.

[pic]

По теореме Пифагора а² + b² = с², поэтому [pic] .

5. Решить задачу № 1116 (а) на доске и в тетрадях.

Решение

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

По теореме Пифагора находим: с² = а² + b²; тогда

R = [pic] .

Значит, Sкруга = πR² = [pic] .

Ответ: [pic] .

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 105–110; изучить материал пункта 111; решить задачи №№ 1114, 1115, 1117 (а).

Урок 42 Дата:
Площадь круга. Площадь кругового сектора

Цели: ввести понятие кругового сектора, вывести формулу для вычисления площади кругового сектора; научить применять знания при решении задач.

Ход урока

I. Проверка изученного материала.

1. Формула длины окружности. Выражение радиуса окружности через длину окружности.

2. Формулы площади круга, радиуса круга через площадь круга, формула площади круга, выраженная через диаметр круга.

3. Формула длины дуги окружности.

4. Устно решить задачу № 1115.

II. Объяснение нового материала.

1. Ввести понятие кругового сектора и понятие дуги сектора
(рис. 315).

2. Вывести формулу для вычисления площади S кругового сектора радиуса R, ограниченного дугой с градусной мерой .

Так как площадь всего круга равна πR², то площадь кругового сектора, ограниченного дугой в 1°, равна [pic] .

Поэтому площадь S выражается формулой

S = [pic] ∙ 

3. Ввести понятие кругового сегмента и познакомить учащихся с нахождением площади кругового сегмента, используя таблицу «Круговой сегмент».

III. закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу.

АВСD – квадрат со стороной 1 дм. Найдите площадь «чечевицы», заштрихованной на рисунке.

Решение

Так как сторона квадрата равна 1 дм, то площадь квадрата АВСD равна 1 дм².

Площадь сектора DАKС равна [pic] ∙  =
= [pic] ∙ 90° = [pic] (дм²).

Площадь треугольника АСD равна [pic] дм².

Площадь сегмента АKС равна [pic] (дм²).

Площадь «чечевицы»: 2 ∙ [pic] ≈ 0,7 (дм²).

Ответ: [pic] ≈ 0,7 дм².

2. Решить задачу № 1126 (самостоятельно).

Решение

R = 10 см; Sкруга = πR² = 100π (см²).

l =  = 60°; Sсектора = [pic] (см²).

S = Sкруга – Sсектора = 100π – [pic] ≈ 262 (cм²).

Ответ: ≈ 262 см².

3. Решить задачу № 1127.

Решение

 = 72°, Sсектора = S. Найти: R.

S = [pic] ; 5S = πR²; R² = [pic] ; R = [pic] .

Ответ: [pic] .

4. Вывести формулу площади кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами R1 и R2, где R1 < R2.

Решение

[pic] ; Sкольца = S2 – S1 = [pic] .

[pic]

5. Решить задачу № 1120.

Решение

R1 = 1,5 cм, R2 = 2,5 см.

Sкольца = π (2,5² – 1,5²) = π (2,5 – 1,5) (2,5 + 1,5) = π ∙ 1 ∙ 4 = 4π (см²).

Ответ: 4π см².

6. Решить задачу № 1122 на доске и в тетрадях.

Решение

R1 = 3 м, R2 = 3 + 1 = 4 (м);

Sдорожки = π [pic] = π (4² – 3²) = π (4 – 3) (4 + 3) = 7π (м²).

На 1 м² дорожки требуется 0,8 дм³ песка; тогда 0,8 ∙ 7π = 5,6π (дм³) ≈
≈ 17,6 дм³.

Ответ: ≈ 17,6 дм³.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: выучить материал пунктов 110–112; повторить материал пунктов 105–109; ответить на вопросы 1–12 на с. 290; решить задачи № 1121, 1128, 1124.

Урок 43 Дата:
Решение задач. Длина окружности и площадь круга.

Цели: закрепить знания учащихся по изученной теме «Длина окружности и площадь круга»; научить учащихся применять изученные формулы при решении задач; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний учащихся.

1. Повторить определения окружности, круга, кругового сектора и кругового сегмента.

2. Записать на доске и в тетрадях формулы для вычисления длины окружности, длины дуги окружности; для вычисления площади круга, площади кольца, площади кругового сектора.

II. Решение задач.

1. Решить задачу № 1112.

Решение

l = [pic] ∙ ; l = 24 см;  = 38°. Найдем: R.

R = [pic] ≈ 36,3 (см).

ответ: ≈ 36,3 см.

2. Решить задачу № 1113 (самостоятельно).

3. Решить задачу № 1123 на доске и в тетрадях.

Решение

Sкруга = πr²; Sквадрата = а²,

ВD = 2r; из ДВСD по теореме Пифагора найдем сторону квадрата АВСD:

а² + а² = (2r)²; 2а² = 4r²; а² = 2r²;
тогда Sквадрата = 2r².

Найдем площадь оставшейся части круга:

S = Sкруга – Sквадрата = πr² – 2r² = r² (π – 2).

Ответ: r² (π – 2).

4. Решить задачу № 1116 (б).

Решение

АСD – прямоугольный;

[pic] А = , СD = а.

АD = 2R (диаметр), [pic] АСD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой).

Найдем АD.

Sin  = [pic] ; AD = [pic] , тогда радиус R описанной около прямоугольного треугольника окружности равен R = [pic] AD = [pic] . Площадь круга равна S = πR² = [pic] .

Ответ: [pic] .

5. Решить задачи:

1) Площадь кругового кольца, заключенного между двумя окружностями с одним и тем же центром, равна 12 дм². Найдите радиусы окружностей, если один их них в два раза больше другого.

Ответ: [pic] дм; [pic] дм.

2) Площадь кругового кольца, заключенного между двумя окружностями с одним и тем же центром, равна 8 см². Найдите площади этих кругов, ограниченных этими окружностями, если радиус одной из них в три раза больше, чем радиус другой.

Ответ: 1 см² и 9 см².

6. Решить задачу № 1108 (самостоятельно).

III. Самостоятельная работа (10–15 мин).

Вариант I

Решить задачи №№ 1102 (в), 1115 (б), 1109 (в), 1104 (б).

Вариант II

Решить задачи №№ 1102 (г), 1115 (а), 1109 (г), 1116 (а).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 105–112; решить задачи №№ 1107, 1132, 1137.

Уроки 44-45 Дата:
Решение задач. длина окружности и площадь круга

Цели: закрепить знания и умения учащихся по изученному материалу главы; подготовить учащихся к контрольной работе.

Ход уроков

I. Математический диктант (15 мин).

Вариант I

1. Площадь круга равна S. Найдите длину ограничивающей его окружности.

2. Найдите длину дуги окружности радиуса 9 м, если градусная мера дуги равна 120°.

3. Длина дуги окружности равна 3π, а ее радиус равен 8. Найдите градусную меру этой дуги.

4. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 13 и 12 см.

5. Найдите площадь кругового сектора радиуса 4 см, если его центральный угол равен 45°.

6. Площадь кругового сектора равна 18π м², а его центральный угол равен 40°. Найдите радиус сектора.

Вариант II

1. Длина окружности равна С. Найдите площадь ограниченного ею круга.

2. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 25 и 24 см.

3. Найдите площадь кругового сектора радиуса 3 см, если его центральный угол равен 20°.

4. Площадь кругового сектора равна 10π м², а его радиус равен 6 м. Найдите центральный угол сектора.

5. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 дм, если ее градусная мера равна 120°.

6. Найдите радиус окружности, если длина дуги окружности равна 6π, а ее градусная мера равна 60°.

II. Решение задач.

1. Решить задачу 1. Докажите, что площадь S треугольника АВС вычисляется по формуле:

[pic] ,

где Р – периметр треугольника, r – радиус вписанной окружности.

Доказательство

Пусть О – центр окружности, которая вписана в треугольник АВС и, следовательно, касается сторон треугольника в точках М, N и K.

Очевидно, что S = SАОС + SВОС + SАОВ. *

Так как ОМ, ОN и ОK – высоты треугольников АОС, ВОС и АОВ, то

SАОС = [pic] АС · ОK,

SВОС = [pic] ВС · ОМ и SАОВ = [pic] АВ · ОN.

Подставив эти значения в формулу *, получим: S = [pic] (AB + BC + CA) · r = [pic] P · r.

2. Решить задачу 2. даны стороны треугольника АВС – а, b, с и площадь S. Выразить радиусы окружностей, описанной около треугольника и вписанной в него, через а, b, с и S.

Решение

1) Используем результат задачи 1:

S = [pic] Pr, где Р – периметр треугольника, r – радиус вписанной окружности. Р = а + b + с; 2S = r (а + b + c), отсюда:

[pic]

2) Радиус R описанной окружности вычисляется по формуле:

R = [pic] , где  – угол, противолежащий стороне а.

Из формулы: S = [pic] bc · sin  получим sin  = [pic] , тогда 2sin  = [pic] . Следовательно, R = [pic] . [pic]

3. Решить задачу № 1099 на доске и в тетрадях.

Решение

Диагонали А3А7 и А4А8 четырехугольника А3А4А7А8 являются диаметрами окружности, в которую вписан данный восьмиугольник, поэтому они равны и точкой пересечения О делятся пополам. Следовательно, четырехугольник А3А4А7А8 – прямоугольник. Так как угол А3ОА4 = 45°, то согласно задаче 1059 площадь прямоугольника равна [pic] R².

4. Решить задачу № 1105 (в) (объясняет учитель).

Решение

Пусть АВС – данный треугольник, угол С = 90°, угол В = , АВ = с, ВС = а, СА = b; Р = а + b + с, r – радиус вписанной окружности. Тогда а = с · cos , b = c · sin .

Воспользуемся двумя формулами для вычисления площади S треугольника АВС (метод площадей):

[pic]

[pic] . Отсюда, получаем,

r = [pic] , поэтому C = 2πr = [pic] .

Умножив числитель и знаменатель дроби на cos  + sin  – 1, после несложных преобразований получаем: c = πc (sin  + cos  – 1).

5. Решить задачу № 1117 (в).

решение

Применим метод площадей, то есть воспользуемся двумя формулами для вычисления площади треугольника:

S = [pic] ab sin  и S = [pic] Pr, где а и b – длины сторон треугольника,  – угол между ними, Р – периметр, r – радиус вписанной окружности. Получим:

S = [pic] a² sin  и S = r · а [pic] .

Отсюда находим r, а затем площадь круга:

Sкруга = [pic] .

6. Решить задачи № 1110, 1138, 1116 (в).

Примечание. решения некоторых из них полезно предварительно обсудить, а затем записать в тетрадях, остальные задачи учащиеся могут решить самостоятельно с последующей проверкой ответов или решений.

III. Проверочная самостоятельная работа.

Вариант I

Решить задачи №№ 1125, 1129 (в), 1132 (а), 1134 (а).

Вариант II

Решить задачи №№ 1128, 1129 (г), 1132 (б), 1134 (б).

IV. Итоги уроков.

Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе, повторив материал пунктов 105–112 и ответив на вопросы 1–12, с. 290 учебника; решить задачи №№ 1104 (г, д), 1105 (б), 1116 (в).

Урок 46 Дата:
Контрольная работа № 3

Цели: проверить умение учащихся решать задачи по изученной теме; выявить пробелы в знаниях учащихся для последующего их устранения.

Ход урока

I. Организация учащихся для выполнения контрольной работы.

II. Выполнение работы по вариантам.

Вариант I

1. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность.

2. Найдите площадь круга, если площадь вписанного в ограничивающую его окружность квадрата равна 72 дм².

3. Найдите длину дуги окружности радиуса 3 см, если ее градусная мера равна 150°.

Вариант II

1. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 48 м. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

2. Найдите длину окружности, если площадь вписанного в нее правильного шестиугольника равна 72 [pic] см².

3. Найдите площадь кругового сектора, если градусная мера его дуги равна 120°, а радиус круга равен 12 см.

вариант III

1. Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен 48 см. найдите сторону правильного пятиугольника, вписанного в ту же окружность.

2. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 3 см и 7 см.

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей ее хордой, если длина хорды равна 4 м, а градусная мера дуги равна 60°.

Вариант IV

1. Периметр правильного пятиугольника, вписанного в окружность, равен 6 дм. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в ту же окружность.

2. Площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром, равна 45π м², а радиус меньшей окружности равен 3 м. Найдите радиус большей окружности.

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей ее хордой, если длина хорды равна 2 см, а диаметр окружности равен 4 см.

Домашнее задание: повторить пункт 47 «Осевая и центральная симметрии».

Урок 47 Дата:
Отображение плоскости на себя.

Цели: ввести понятие отображения плоскости на себя и понятие движения; напомнить построение фигур относительно центра и относительно оси; рассмотреть свойства осевой и центральной симметрии и закрепить их знание при решении задач.

Ход уроков

I. Анализ контрольной работы.

1. Указать ошибки, сделанные учащимися при решении задач.

2. Решить на доске задачи, вызвавшие затруднения у учащихся.

II. Повторение ранее изученного материала.

1. Повторение понятий точек, симметричных относительно данной прямой (оси симметрии), и точек, симметричных относительно данной точки (центра симметрии).

2. В ходе повторения нужно подвести учащихся к понятию сохранения расстояния между точками. Этой цели служат следующие задачи:

1) Для каждого из случаев, представленных на рисунке 1, а, б, в, постройте точки А1 и В1, симметричные точкам А и В относительно прямой l.

[pic] [pic] [pic]

а б в

Рис. 1

2) Существует ли на плоскости такая точка, для которой нет симметричной точки относительно данной прямой?

3) Докажите, что в каждом из рассмотренных в задаче 1 случаев
А1В1 = АВ.

4) Постройте точки А1 и В1, симметричные А и В относительно точки О, если:

а) точка О лежит на отрезке АВ;

б) точка О не лежит на прямой АВ.

5) Существует ли такая точка плоскости, для которой нет точки, симметричной относительно данной точки?

6) Докажите, что в каждом из рассмотренных в задаче 4 случаев
А1В1 = АВ.

III. Изучение нового материала.

1. Ввести понятие отображения плоскости на себя и проиллюстрировать его примерами осевой и центральной симметрий.

Важно подчеркнуть, что при отображении плоскости на себя выполняются два условия:

1) каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то одна точка плоскости и 2) каждая точка плоскости оказывается поставленной в соответствие какой-то точке плоскости.

Нужно показать, что в случаях осевой и центральной симметрий выполняются оба условия.

В качестве контрпримера можно привести соответствие между точками плоскости, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие ее ортогональная проекция на данную прямую. В этом случае нарушено второе условие отображения плоскости на себя: не каждая точка плоскости оказывается сопоставленной какой-то точке, а именно любая точка, не лежащая на данной прямой, не будет сопоставлена никакой точке плоскости (плоскость отображается не на себя, а на данную прямую).

2. Решить задачи № 1148 (а) и №1149 (а).

3. Ввести понятие движения, опираясь на задачи 3 и 6, рассмотренные в начале урока.

В качестве примера отображения плоскости на себя, не являющегося движением, то есть не сохраняющего расстояния между точками, можно рассмотреть центральное подобие (гомотетию) с коэффициентом 2; учащиеся сами могут доказать, что при таком отображении расстояния между точками увеличиваются в два раза.

4. Решить задачу № 1153 для усвоения понятия, а затем по заранее подготовленному рисунку 2 решить следующую задачу: «При движении плоскости точка А переходит в точку М. В какую из обозначенных на рисунке 2 точек может отобразиться при этом движении точка В?».

[pic]

Рис. 2

5. Доказать, что осевая и центральная симметрии являются движениями. После этого рассматривается теорема о том, что при движении отрезок отображается на отрезок, и следствие из нее. В ходе доказательства теоремы полезно акцентировать внимание учащихся на том, что доказательство состоит из двух частей: во-первых, доказывается, что каждая точка Р данного отрезка МN отображается в некоторую точку Р1 отрезка М1N1 и, во-вторых, что в каждую точку Р1 отрезка М1N1 переходит какая-то точка Р данного отрезка МN.

IV. Закрепление изученного материала.

1. Разобрать решение задачи № 1150.

2. Решить задачи №№ 1151, 1152 (а, б), 1158.

3. Хотя пункт 115* не является обязательным, учащиеся должны знать, что понятия наложения и движения эквивалентны, а значит, при движении любая фигура переходит в равную ей фигуру. Для лучшего усвоения материала этого пункта полезно обсудить решение задачи № 1156 и решить задачи №№ 1154, 1157, 1155.

V. Итоги уроков.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 113; ответить на вопросы 1–8, с. 303 учебника; решить задачи №№ 1149 (б), 1148 (б).

Урок 48 Дата:
Понятие движения.

Цели: ввести понятие отображения плоскости на себя и понятие движения; напомнить построение фигур относительно центра и относительно оси; рассмотреть свойства осевой и центральной симметрии и закрепить их знание при решении задач.

Ход уроков

I. Анализ контрольной работы.

1. Указать ошибки, сделанные учащимися при решении задач.

2. Решить на доске задачи, вызвавшие затруднения у учащихся.

II. Повторение ранее изученного материала.

1. Повторение понятий точек, симметричных относительно данной прямой (оси симметрии), и точек, симметричных относительно данной точки (центра симметрии).

2. В ходе повторения нужно подвести учащихся к понятию сохранения расстояния между точками. Этой цели служат следующие задачи:

1) Для каждого из случаев, представленных на рисунке 1, а, б, в, постройте точки А1 и В1, симметричные точкам А и В относительно прямой l.

[pic] [pic] [pic]

а б в

Рис. 1

2) Существует ли на плоскости такая точка, для которой нет симметричной точки относительно данной прямой?

3) Докажите, что в каждом из рассмотренных в задаче 1 случаев
А1В1 = АВ.

4) Постройте точки А1 и В1, симметричные А и В относительно точки О, если:

а) точка О лежит на отрезке АВ;

б) точка О не лежит на прямой АВ.

5) Существует ли такая точка плоскости, для которой нет точки, симметричной относительно данной точки?

6) Докажите, что в каждом из рассмотренных в задаче 4 случаев
А1В1 = АВ.

III. Изучение нового материала.

1. Ввести понятие отображения плоскости на себя и проиллюстрировать его примерами осевой и центральной симметрий.

Важно подчеркнуть, что при отображении плоскости на себя выполняются два условия:

1) каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то одна точка плоскости и 2) каждая точка плоскости оказывается поставленной в соответствие какой-то точке плоскости.

Нужно показать, что в случаях осевой и центральной симметрий выполняются оба условия.

В качестве контрпримера можно привести соответствие между точками плоскости, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие ее ортогональная проекция на данную прямую. В этом случае нарушено второе условие отображения плоскости на себя: не каждая точка плоскости оказывается сопоставленной какой-то точке, а именно любая точка, не лежащая на данной прямой, не будет сопоставлена никакой точке плоскости (плоскость отображается не на себя, а на данную прямую).

2. Решить задачи № 1148 (а) и №1149 (а).

3. Ввести понятие движения, опираясь на задачи 3 и 6, рассмотренные в начале урока.

В качестве примера отображения плоскости на себя, не являющегося движением, то есть не сохраняющего расстояния между точками, можно рассмотреть центральное подобие (гомотетию) с коэффициентом 2; учащиеся сами могут доказать, что при таком отображении расстояния между точками увеличиваются в два раза.

4. Решить задачу № 1153 для усвоения понятия, а затем по заранее подготовленному рисунку 2 решить следующую задачу: «При движении плоскости точка А переходит в точку М. В какую из обозначенных на рисунке 2 точек может отобразиться при этом движении точка В?».

[pic]

Рис. 2

5. Доказать, что осевая и центральная симметрии являются движениями. После этого рассматривается теорема о том, что при движении отрезок отображается на отрезок, и следствие из нее. В ходе доказательства теоремы полезно акцентировать внимание учащихся на том, что доказательство состоит из двух частей: во-первых, доказывается, что каждая точка Р данного отрезка МN отображается в некоторую точку Р1 отрезка М1N1 и, во-вторых, что в каждую точку Р1 отрезка М1N1 переходит какая-то точка Р данного отрезка МN.

IV. Закрепление изученного материала.

1. Разобрать решение задачи № 1150.

2. Решить задачи №№ 1151, 1152 (а, б), 1158.

V. Итоги уроков.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 114; ответить на вопросы 9–13, с. 303 учебника; решить задачи №№ 1159, 1160

Урок 49 Дата:
решение задач по теме «понятия движения»

Цели: ввести понятие отображения плоскости на себя и понятие движения; напомнить построение фигур относительно центра и относительно оси; рассмотреть свойства осевой и центральной симметрии и закрепить их знание при решении задач.

Ход уроков

I. Анализ контрольной работы.

1. Указать ошибки, сделанные учащимися при решении задач.

2. Решить на доске задачи, вызвавшие затруднения у учащихся.

II. Повторение ранее изученного материала.

1. Повторение понятий точек, симметричных относительно данной прямой (оси симметрии), и точек, симметричных относительно данной точки (центра симметрии).

2. В ходе повторения нужно подвести учащихся к понятию сохранения расстояния между точками. Этой цели служат следующие задачи:

1) Для каждого из случаев, представленных на рисунке 1, а, б, в, постройте точки А1 и В1, симметричные точкам А и В относительно прямой l.

[pic] [pic] [pic]

а б в

Рис. 1

2) Существует ли на плоскости такая точка, для которой нет симметричной точки относительно данной прямой?

3) Докажите, что в каждом из рассмотренных в задаче 1 случаев
А1В1 = АВ.

4) Постройте точки А1 и В1, симметричные А и В относительно точки О, если:

а) точка О лежит на отрезке АВ;

б) точка О не лежит на прямой АВ.

5) Существует ли такая точка плоскости, для которой нет точки, симметричной относительно данной точки?

6) Докажите, что в каждом из рассмотренных в задаче 4 случаев
А1В1 = АВ.

III. Изучение нового материала.

1. Ввести понятие отображения плоскости на себя и проиллюстрировать его примерами осевой и центральной симметрий.

Важно подчеркнуть, что при отображении плоскости на себя выполняются два условия:

1) каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то одна точка плоскости и 2) каждая точка плоскости оказывается поставленной в соответствие какой-то точке плоскости.

Нужно показать, что в случаях осевой и центральной симметрий выполняются оба условия.

В качестве контрпримера можно привести соответствие между точками плоскости, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие ее ортогональная проекция на данную прямую. В этом случае нарушено второе условие отображения плоскости на себя: не каждая точка плоскости оказывается сопоставленной какой-то точке, а именно любая точка, не лежащая на данной прямой, не будет сопоставлена никакой точке плоскости (плоскость отображается не на себя, а на данную прямую).

2. Решить задачи № 1148 (а) и №1149 (а).

3. Ввести понятие движения, опираясь на задачи 3 и 6, рассмотренные в начале урока.

В качестве примера отображения плоскости на себя, не являющегося движением, то есть не сохраняющего расстояния между точками, можно рассмотреть центральное подобие (гомотетию) с коэффициентом 2; учащиеся сами могут доказать, что при таком отображении расстояния между точками увеличиваются в два раза.

4. Решить задачу № 1153 для усвоения понятия, а затем по заранее подготовленному рисунку 2 решить следующую задачу: «При движении плоскости точка А переходит в точку М. В какую из обозначенных на рисунке 2 точек может отобразиться при этом движении точка В?».

[pic]

Рис. 2

5. Доказать, что осевая и центральная симметрии являются движениями. После этого рассматривается теорема о том, что при движении отрезок отображается на отрезок, и следствие из нее. В ходе доказательства теоремы полезно акцентировать внимание учащихся на том, что доказательство состоит из двух частей: во-первых, доказывается, что каждая точка Р данного отрезка МN отображается в некоторую точку Р1 отрезка М1N1 и, во-вторых, что в каждую точку Р1 отрезка М1N1 переходит какая-то точка Р данного отрезка МN.

IV. Закрепление изученного материала.

1. Разобрать решение задачи № 1150.

2. Решить задачи №№ 1151, 1152 (а, б), 1158.

3. Для лучшего усвоения материала этого пункта полезно обсудить решение задачи № 1156 и решить задачи №№ 1154, 1157, 1155.

V. Итоги уроков.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 113–114; ответить на вопросы 1–13, с. 303 учебника; решить задачи №№ 1161, 1174.

Урок 50 Дата:
Параллельный перенос

Цели: ввести понятие параллельного переноса, доказать, что параллельный перенос является движением; научить решать задачи с использованием параллельного переноса.

Ход урока

I. Проверка изученного материала.

1. По таблицам «Центральная симметрия» и «Осевая симметрия» повторить построение геометрических фигур и свойства движения.

2. Ответить на вопросы 1–13 на с. 303.

II. Изучение нового материала.

Теоретический материал пункта 116 можно изложить в виде лекции, используя таблицу «Параллельный перенос».

1. Определение параллельного переноса.

2. Доказательство утверждения, что параллельный перенос является движением (рис. 329).

3. При параллельном переносе прямая отображается на параллельную ей прямую или сама на себя. Отсюда следует простой способ построения образов прямых и отрезков при параллельном переносе.

4. Построение образов прямых и отрезков при параллельном переносе учителем на доске, а учащимися в тетрадях.

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачи № 1162 и №1163 (б) на доске и в тетрадях.

2. Решить задачу № 1164.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пункта 116; решить задачи №№ 1163 (а), 1165. Принести циркули и транспортиры.

Уроки 51 Дата:

Поворот

Цели: ввести понятие поворота; доказать, что поворот является движением; научить учащихся построению геометрических фигур при повороте фигуры на данный угол.

Ход уроков

I. Проверочная работа (15 мин).

На отдельных листочках учащиеся выполняют построения, а затем сдают учителю работы на проверку.

Задачи:

1) Даны треугольник МNK и точка О. Постройте фигуру F, на которую отображается треугольник MNK при центральной симметрии с центром О.

2) Даны прямая l и четырехугольник РМЕС. Постройте фигуру F, на которую отображается данный четырехугольник при осевой симметрии с осью l.

3) Даны окружность с центром О и прямая l. Постройте фигуру F, на которую отображается данная окружность при осевой симметрии с осью l.

II. Объяснение нового материала (лекция).

Теоретический материал пункта «Поворот» можно изложить в форме лекции.

1. Определение поворота плоскости вокруг точки О на угол  (рис. 330).

2. Поворот вокруг точки О по часовой стрелке или против часовой стрелки (использовать таблицу «Поворот»).

3. Доказательство утверждения, что поворот является движением, то есть отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния (рис. 331).

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1166 на доске и в тетрадях.

Примечание. В ходе решения этой задачи полезно подчеркнуть, что поворот вокруг точки на 180° по часовой стрелке совпадает с поворотом вокруг этой же точки на 180° против часовой стрелки и является центральной симметрией.

2. Решить задачи № 1167 и №1169 (учащиеся могут выполнить эти задания самостоятельно с последующим обсуждением).

3. Полезно предложить учащимся самостоятельно изучить решение задачи № 1171 (а), приведенное в учебнике, выполнить необходимые построения, а затем можно обсудить это решение. Важно подчеркнуть, что решение рассмотренной задачи дает еще один способ построения прямой, на которую отображается данная прямая при повороте вокруг данной точки.

4. Рассмотреть с учащимися следующие задачи:

1) Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что их точки пересечения со сторонами квадрата являются вершинами другого квадрата.

2) Докажите, что при повороте правильного треугольника АВС вокруг вершины А на 60° либо вершина В переходит в вершину С, либо вершина С переходит в вершину В.

5. Решить задачу № 1170 (б).

IV. Самостоятельная работа (обучающего характера).

Вариант I

1. В трапеции АВСD боковые стороны АВ и СD равны.

1) Постройте отрезок СА1, на который отображается сторона АВ при параллельном переносе на вектор [pic] .

2) Найдите площадь треугольника А1СD, если АD = 10 см, ВС = 4 см, АВ = 6 см.

2. Докажите, что правильный шестиугольник при повороте на 60° вокруг своего центра отображается на себя.

Вариант II

1. Точка М – середина стороны АС треугольника АВС.

1) Постройте отрезок МВ1, на который отображается сторона АВ при параллельном переносе на вектор [pic] .

2) Найдите периметр треугольника МDС, где D – точка пересечения отрезков ВС и МВ1, если периметр треугольника АВС равен 12 м.

2. Докажите, что правильный пятиугольник при повороте на 72° вокруг своего центра отображается на себя.

V. Итоги уроков.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 116–117; ответить на вопросы 14–17, с. 304 учебника; решить задачи № 1168, 1170 (а), 1171 (б), 1183; подготовиться к устному опросу по карточкам, повторив материал пунктов 113–114.

Урок 7
Решение задач

Цели: закрепить знания учащихся по теме «Движения», развивать умение решать задачи с применением движений.

Ход урокa

I. Устный опрос учащихся по карточкам.

Карточка 1

1. Объясните, что такое отображение плоскости на себя.

2. Докажите, что параллельный перенос является движением.

3. Точка М – середина стороны ВС правильного треугольника АВС, точки N и K симметричны точке М относительно прямых АВ и АС. Докажите, что NK [pic] АМ.

Карточка 2

1. Что такое движение плоскости?

2. Докажите, что осевая симметрия является отображением плоскости на себя.

3. На окружности с центром О и радиусом r отмечена точка А. Постройте окружность, на которую отображается данная окружность при повороте вокруг точки А на 60° по часовой стрелке. найдите длину отрезка, соединяющего точки пересечения данной и построенной окружностей.

Карточка 3

1. На какую фигуру отображается при движении отрезок?

2. Докажите, что центральная симметрия является движением.

3. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Постройте точки D и Е, на которые отображаются точки А и С при параллельном переносе на вектор [pic] , и докажите, что АЕ = DВ.

Карточка 4

1. На какую фигуру отображается при движении треугольник?

2. Докажите, что поворот плоскости вокруг точки является движением.

3. Точка пересечения диагоналей четырехугольника АВСD является его центром симметрии. Докажите, что АВСD – параллелограмм.

II. Решение задач.

1. На этих уроках рекомендуется рассмотреть простые задачи, причем большинство из них целесообразно решать в ходе обсуждения с учащимися. Это относится к задачам №№ 1172, 1173, 1177, 1180.

2. Полезно обсудить и решения задач № 1176, №1178.

3. Задачи №№ 1174, 1175, 1181 и 1182 можно предложить учащимся решить самостоятельно, а затем обсудить полученные решения.

Решения

1) задача № 1172.

Поскольку точки А и В отображаются на себя, то и прямая АВ отображается на себя. Пусть М – произвольная точка прямой АВ. Она отображается в некоторую точку М1, также лежащую на прямой АВ. По определению движения АМ = АМ1, ВМ = ВМ1. Допустим, что точка М1 не совпадает с точкой М. Тогда из первого равенства следует, что точка А – середина отрезка ММ1, а из второго равенства, что точка В также середина отрезка ММ1. Значит, точки А и В совпадают, что противоречит условию задачи. Следовательно, наше предположение неверно, то есть точки М и М1 совпадают. Итак, любая точка прямой АВ отображается на себя.

2) Задача № 1173.

Пусть g – данное движение, а е – тождественное отображение плоскости на себя, то есть отображение, при котором каждая точка плоскости и, в частности, каждая вершина треугольника АВС отображается на себя. Ясно, что е – движение, поэтому согласно задаче № 1155 движения g и е совпадают, и, значит, движение g является тождественным отображением плоскости на себя.

3) Задача № 1180.

Рассмотрим поворот вокруг точки О на 120° в направлении обхода по дуге АВС от точки А к точке С. Так как [pic] АОВ = [pic] ВОС = [pic] СОА = 120° и ОА = ОВ = ОС, то при этом повороте точка А отображается в точку В, точка В – в точку С, точка С – в точку А. Аналогично при этом же повороте точки А1, В1, С1 отображаются соответственно в точки В1, С1 и А1.

Следовательно, прямая АА1 отображается на прямую ВВ1, прямая ВВ1 – на прямую СС1, прямая СС1 – на прямую АА1.

Отсюда следует, что если прямая АА1 проходит через точку О, то прямые ВВ1 и СС1 также проходят через эту точку.

Если же прямая АА1 не проходит через точку О, то и прямые ВВ1 и СС1 не проходят через эту точку и, попарно пересекаясь, образуют некоторый треугольник МNР. Ясно, что при рассматриваемом повороте точка М пересечения отрезков АА1 и ВВ1 отображается в точку пересечения отрезков ВВ1 и СС1. Аналогично точка N отображается в точку Р пересечения отрезков СС1 и АА1, а точка Р – в точку М. Следовательно, МN = NP = PМ, то есть треугольник МNР – равносторонний.

Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе: повторить материал пунктов 113–117 и ответить на вопросы 1–17, с. 303–304 учебника; решить задачи №№ 1219, 1220, 1221, 1222.

Урок 8
Контрольная работа № 4

Цели: проверить знания, умения и навыки учащихся в решении задач по теме «Движения».

Ход урока

I. Организация учащихся на выполнение работы.

II. Выполнение работы по вариантам.

Вариант I

1. Дана трапеция АВСD. Постройте фигуру, на которую отображается эта трапеция при симметрии относительно прямой, содержащей боковую сторону АВ.

2. Две окружности с центрами О1 и О2, радиусы которых равны, пересекаются в точках М и N. Через точку М проведена прямая, параллельная О1О2 и пересекающая окружность с центром О2 в точке D. используя параллельный перенос, докажите, что четырехугольник О1МDО2 является параллелограммом.

Вариант II

1. Дана трапеция АВСD. Постройте фигуру, на которую отображается эта трапеция при симметрии относительно точки, являющейся серединой боковой стороны СD.

2. Дан шестиугольник А1А2А3А4А5А6. Его стороны А1А2 и А4А5, А2А3 и А5А6, А3А4 и А6А1 попарно равны и параллельны. Используя центральную симметрию, докажите, что диагонали А1А4, А2А5, А3А6 данного шестиугольника пересекаются в одной точке.

Вариант III

1. Дана трапеция АВСD с основаниями АD и ВС. Постройте фигуру, на которую отображается эта трапеция при повороте вокруг точки А на угол, равный углу DАВ, по часовой стрелке.

2. На одной стороне угла ХОY отложены отрезки ОА и ОВ, а на другой стороне – отрезки ОМ и ОN так, что ОМ = ОА, ОN = ОВ. Используя осевую симметрию, докажите, что точка пересечения отрезков МВ и АN лежит на биссектрисе угла ХОY.

Вариант IV

1. Дана трапеция АВСD с основаниями АD и ВС. Постройте фигуру, на которую отображается эта трапеция при параллельном переносе на вектор [pic] .

2. На биссектрисе внешнего угла при вершине С треугольника АВС взята точка М. Используя осевую симметрию, докажите, что

АС + СВ < АМ + МВ.

Домашнее задание: повторить пункты 27–28 «Об аксиомах геометрии» и «Аксиома параллельных прямых».

НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ (7 часов)

Урок 1
Предмет стереометрии. Многогранник

Цели: познакомить учащихся с новым разделом геометрии – стереометрией, с геометрическими телами и их поверхностями; рассмотреть различные многогранники и научить учащихся изображать их.

Ход урока

I. Изучение нового материала.

Материал пунктов 118 и 119 рекомендуется изложить в виде небольшой лекции с применением разнообразных иллюстративных средств (плакаты, таблицы, рисунки, разнообразные геометрические тела); для демонстрации графического материала использовать графопроектор.

1. До сих пор мы занимались планиметрией – изучали свойства плоских геометрических фигур, то есть фигур, целиком расположенных в некоторой плоскости. Но окружающие нас предметы в большинстве своем не являются плоскими. Любой реальный предмет занимает какую-то часть пространства.

2. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией. Это слово происходит от греческих слов «стерео» – объемный, пространственный и «метрео» – измерять.

3. В стереометрии наряду с простейшими фигурами – точками, прямыми и плоскостями – рассматриваются геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранниками.

4. Рассмотрим простейший многогранник – куб (рис. 335, а) и модель куба.

Сколько граней, ребер и вершин имеет куб?

5. Познакомить учащихся с другими геометрическими телами:

1) шаром (рис. 335, б), такую же форму имеет футбольный мяч;

2) цилиндром (рис. 335, в), эту форму имеет консервная банка.

6. Ввести понятие границы геометрического тела; понятие секущей плоскости тела; понятие сечения тела (рис. 336).

7. Изображение геометрических тел на чертеже (рис. 337, а, б, в).

На доске и в тетрадях учащиеся выполняют рисунки параллелепипеда, пирамиды, конуса, цилиндра.

8. Вспомним понятие многоугольника в планиметрии (рис. 338, а б). На модели прямоугольного параллелепипеда определим количество граней, ребер, вершин.

Форму прямоугольного параллелепипеда имеют коробки, комнаты и многие другие предметы.

9. Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Это тело также называют многогранником (рассмотреть по учебнику рис. 339).

Тетраэдр составлен из четырех треугольников; по-гречески «тетра» – четыре.

Октаэдр составлен из восьми треугольников; по-гречески «окто» – восемь.

10. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. При этом предполагается, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости. гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, а гранями тетраэдра и октаэдра – треугольники. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер – вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника (рис. 339, а).

11. Многогранники бывают выпуклыми и невыпуклыми (рис. 339 и рис. 340).

Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

II. Закрепление изученного материала.

решение задач.

1. Решить устно задачу № 1184 (б) и (в), используя модели тетраэдра и октаэдра.

Ответ: б) тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины; в) октаэдр имеет 8 граней, 12 ребер и 6 вершин.

2. Решить задачу № 1188 на доске и в тетрадях.

Учитель объясняет построение сечения параллелепипеда плоскостью сначала по рисунку учебника (рис. 355 а; б, с. 321), а затем выполняет построение сечения на доске; учащиеся строят сечение в тетрадях. Перед построением сечения в тетрадях записывают следующие правила:

1) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

2) если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

3) отрезки, по которым секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда, параллельны.

III. Итоги урока.

– Объясните, что такое многогранник; что такое грани, ребра, вершины и диагонали многогранника. Приведите примеры многогранников.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 118 и 119; решить задачу № 1188 (разобрать построение сечения параллелепипеда плоскостью по учебнику на с. 322, используя рис. 356, а и б; выполнить построение сечения в тетрадях).

Урок 2
Призма. Параллелепипед

Цели: ввести понятие призмы и ее элементов; дать определение прямой и наклонной призмы, определение высоты призмы; ввести понятие параллелепипеда, понятие прямого и прямоугольного параллелепипеда; научить строить призмы и параллелепипеды.

Ход урока

I. Устная работа.

Проверить усвоение предшествующего материала в процессе решения устных задач по готовым чертежам на доске и с использованием моделей геометрических тел.

Ответить на вопросы:

1. Какой раздел геометрии называется стереометрией?

2. Что рассматривается в стереометрии?

3. Какие поверхности называются многогранниками? Приведите примеры простейших многогранников.

4. Какая плоскость называется секущей плоскостью геометрического тела?

5. Что называется сечением тела?

6. Объясните, что такое многогранник; что такое грани, ребра, вершины и диагонали многогранника. Приведите примеры многогранников.

Учитель показывает модели различных геометрических тел и многогранников, а учащиеся должны назвать их.

II. Объяснение нового материала.

1. Используя рисунок учебника (рис. 341, с. 311), учитель объясняет построение многогранника, называемого призмой.

2. В тетрадях ученики записывают определения:

1) две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек;

2) две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3. Ввести определение n-угольной призмы, оснований призмы, боковых ребер призмы.

4. Призмы бывают прямыми и наклонными.

Введем понятие перпендикулярности прямой и плоскости, используя рисунок учебника (рис. 342, с. 312).

Если все боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскостям ее оснований, то призма называется прямой (рис. 343, а); в противном случае призма называется наклонной (рис. 343, б). Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной (рис. 343, в).