Разработка урока по алгебре по теме Последовательности. Арифметическая, геометрическая прогрессии (9 класс)

Глазковский филиал имени Героя Советского Союза Н.Н.Шерстова МБОУ Кочетовская СОШ

Урок математики (алгебра)

по теме

"Последовательности. Арифметическая, геометрическая прогрессии"

в 9 классе

(по учебнику авт. Ю.Н.Макарычева, Н.Г.Миндюк и др.)

Учитель математики I категории

Щекочихина Лариса Александровна

Алгебра

(по учебнику авт. Ю.Н.Макарычева, Н.Г.Миндюк и др.)

9 класс

Тема: Последовательности. Арифметическая, геометрическая прогрессии.

(повторение, обобщение и систематизация знаний)

Цели:

1. Обобщив и закрепив знания учащихся по данной теме, подготовить их к оперативному контролю.

2. Развивать формально-логические навыки решения задач по данной теме, предусмотренные стандартом образования; способствовать развитию умения видеть и применять изученные закономерности в нестандартных ситуациях.

Форма организации деятельности учащихся на уроке: фронтальная, самостоятельная работа учащихся обучающего характера, парная работа (взаимоконтроль).

Ход урока

I. Постановка целей урока. Проверка домашнего задания. Устная работа.

Урок начинается с постановки задач перед учащимися. В беседе учитель акцентирует внимание старшеклассников на том, что материал урока дает им возможность развивать как формально-логические умения по данной теме, так и умения находить закономерности, применять полученные знания при решении нестандартных задач. Учащиеся имеют возможность повысить свою математическую культуру вычислений и повторить решение рациональных и дробно-рациональных, линейных и квадратичных неравенств. Учащимся сообщается план проведения урока.

1. Проверка домашнего задания. (Проводится способом сличения с доской).

2. Работа у доски. Один ученик решает следующее задание во время устной работы:

Сколько членов последовательности y=|n² – 5n + 6|, где n€ N удовлетворяет неравенству 2 < yn < 6.

(Решение:

n – 5n + 6 > 0 n – 5n + 6 < 0

D = 25 – 24 = 1

n1 = 2, n2 = 3 n1 = 2, n2 = 3

n€( - ∞ ; 2]U [3; +∞ ) n€ (2; 3),

т. к. n€ N, то нет решений.

1) n² – 5n + 6 > 2 2) n² – 5n + 6 < 6

n² – 5n + 4 > 0 n² – 5n < 0

n² – 5n + 4 = 0 n² – 5n = 0

n1 = 1, n2 = 4 n1 = 0, n2 = 5

n€ [0; 1]U [4; 5], т.к. n€ N, то n = 1, n = 4, n = 5.

Ответ: три члена.)

(После проведения устной работы выполненное задание оценивается.)

Дополнительные вопросы:

1) Какая последовательность называется арифметической (геометрической) прогрессией?

2) Тело в первую секунду движения прошло 7м, а за каждую следующую секунду – на 3м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду; за восемь секунд; за n секунд?

(Решение:

имеем (аn) – арифметическую прогрессию, где а1 =7, d =3

а8 = а1 + d(8 – 1), а8 = 7 + 3 х 7, а8 = 28 (м) за восьмую секунду

а9 = 7 + 3 х 8 , а9 = 31 (м) за восемь секунд

аn = 7 + 3х(n – 1) , аn = 4 + 3n (м) за n секунд

Ответ: 28м; 31м; 4 + 3n (м).

3. Устная работа. Направлена на актуализацию знаний учащихся по следующим вопросам: определение последовательности, возрастающие и убывающие последовательности, рекуррентный способ задания последовательности, определение арифметической и геометрической прогрессии, их характеристические свойства.

1) Записать формулу общего члена последовательности:

а) 1; 1/2; 1/6; 1/24; …

(Решение:

1; 1/2; 1/6; 1/24; …

x1 , x2 , x3 , x4 , …

x1 , 1/2x1 , 1/3x2 , 1/4x3 , xn = xn-1 1/(n+1)

б) 1/√ 3; -1/√ 4; 1/ √5; …

(Решение:

1/√ 3 ; -1/√ 4 ; 1/√ 5 ; …

x1 , x2 , x3 , …

(-1)² /√ ( 1+2) ; (-1)³ /√ (2+2) ; (-1)⁴ / √( 3+2) ; … xn = (-1)ⁿ⁺¹ /√( n+2)

2) Является ли число -21 членом последовательности (bn ), если bn = n² – 10n ?

(Решение:

bn = n² – 10n,

-21 = n² – 10n

n² – 10n + 21 = 0

n1 = 3, n2 = 7 Ответ: да, является

3) Могут ли числа быть членами одной арифметической (геометрической) прогрессии?

а) 1; √3 ; 3; б) 1; 15; 8; в) 2; 6; 4,5.

(да) (нет) (нет)

4) Известен а1 = -81, q = -1/3 геометрической прогрессии (аn ). Является ли эта прогрессия монотонной последовательностью? Ответ объясните.

(Решение:

Не является, т.к. q<0, то нечетные члены прогрессии будут отрицательными, а четные – положительными.)

5) (bn ) – геометрическая прогрессия, b3 = 8, b5 = 32. Найти b1 , b7 .

(Решение: bn = b1 x q^n-1, q = 2, b3 = b1 x q², 8 = b1 x 4, b1 = 2, b7 = b1 x q⁶ = 128

Ответ: b1 = 2, b7 = 128.)

II. Решение задач репродуктивного характера. Организация взаимоконтроля в парах (самостоятельная работа).

Перед решением следующих задач учащимся предлагается оценить имеющиеся у них знания и умения по данной теме (по пятибалльной системе)

Задание: заполнить пропуски в таблице, если (аn ) – арифметическая и (bn ) – геометрическая прогрессии.

Ответ:

Работа выполняется учащимися самостоятельно. После следует взаимопроверка и взаимооцениванние. Проверяющий заполняет третью колонку таблицы, выражая свое мнение о знаниях и умениях партнера.

III. «Я и мир логики».

Решение задач (устно).

1. Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300.

Решение:

аn = 4n, где n€N, тогда (аn ) – арифметическая прогрессия, где а1 = 4, d = 1

аn < 300, 4n < 300, n < 300/4 или n < 75, значит n = 75, тогда

S =(a+a)/ 2 x75 = 152 х 75 = 11400

Ответ: 11400.

2. Найти количество всех трехзначных натуральных чисел, делящихся на 7.

Решение:

14 х 7 = 98

15 х 7 = 105, значит это наименьшее трехзначное натуральное число, делящееся на 7

Тогда х1 = (14 + 1) х 7

х2 = (14 + 2) х 7

х3 = (14 + 3) х 7 … и т.д. т.е. хn = (14 + n) х 7

т.к. хn < 1000, то (14 + n) х 7 < 1000

98 + 7n < 1000

7n < 902

n < 1, т.к. n€ N , то n = 128.

Ответ: 128 чисел.

IV. «Я и мир статистики».

Эти задачи предлагаются с целью включения в школьный курс математики новой содержательной линии – «элементы статистики». Подобные задания способствуют формированию интереса к предмету.

Решить задачи:

1. На выборах президента России будут баллотироваться три кандидата (обозначим их буквами А, Б и С). Проводя опрос 50 избирателей, выяснили, за кого из кандидатов они собираются голосовать. Получили следующие данные:

Б, А, Б, Б, С, С, Б, Б, Б, А, С, А, А,

А, С, С, Б, С, А, А, Б, С, С, Б, С, Б,

С, А, Б, Б, Б, А, Б, Б, С, Б, А, Б,

С, С, Б, С, А, Б, Б, Б, А, А, С, Б.

Представьте эти данные в виде таблицы частот.

Решение:

Проверяем, что 13 + 23 + 14 = 50

Ответ: таблица частот.

2. Учащимся девятых классов школ некоторого города была предложена контрольная работа по алгебре, содержащая 6 заданий. При подведении итогов составили таблицу, в которой указали число учащихся, верно выполнивших одно, два, три и т.д. задания:

1

2

3

4

5

6

-

27

53

87

223

146

89

Пользуясь этой таблицей, составьте таблицу относительных частот (с точностью до 1%)

Решение:

Находим общее число учащихся (сумма чисел в правом столбце); n = 625.

Относительные частоты вычисляем делением каждого числа в правом столбце на 625 и умножаем на 100% (с округлением).

Сумма чисел во второй строке дает 99% (должно быть 100%). Это результат округления. В таких случаях увеличивают на 1 число, которое имеет самую большую отброшенную часть;

Это (53 х 100%)/625 = 8,48;

в таблице процент выполнивших 2 задания следует записать 9.

Ответ: таблица относительных частот (с изменениями).

V. Фронтальная работа учащихся по решению задач продуктивного характера.

Задание: решить уравнения

1. 5² х 5⁴ х 5⁶ … 5^2x = 0,04^-28

2. 3х + 1 - х + х² - х³ + х⁴ - х⁵ + … = 13/6, |x| < 1

При решении уравнений необходимо увидеть арифметическую или геометрическую прогрессии и применить известные формулы.

Решение:

1. 5² х 5⁴ х 5⁶ х … 5^2x = 0,04^-28

5² х 5⁴ х 5⁶ х … 5^2x = (1/5 )^-28

5² х 5⁴ х 5⁶ х … 5^2x = 5⁵⁶

2 + 4 + 6 + … + 2х = 56

2; 4; 6; …; 2х – арифметическая прогрессия, где

а1 = 2, d = 2, n = x, аn = 2х = 2n, Sn = 56

тогда Sn =(a1+an)/2xn

56 = (2+2n)/2xn

112 = 2n + 2n²

2n² + 2n – 112 = 0, n1 = -8, n2 = 7, т.к. n€ N, то n = x = 7.

2) 3x + 1 – x + x² – x³ + x⁴ – x⁵ + … = 13/6, |x| < 1

1; -x; x²; -x³; x⁴; -x⁵; … - убывающая бесконечная геометрич. прогрессия

где b1 = 1 , b2 = - x , q = -x, Sn = b1/( 1 – q) Sn = 1/(1+ x)

3x + 1/(1+ x) = 13/6

6(3x + 3x² + 1) = 13 + 13x

18x² + 5x – 7 = 0, x1 = -7/9, x2 = 1/2.

Ответ: 1) 7; 2) -7/9; 1/2.

VI. Итог урока. Решение нестандартных задач.

Вычислить: √5√3√5√3...

Решение:

5^1/2 x 3^1/4 x 5^1/8 x 3^1/16 x 5^1/32 x 3^1/64 x …= 5^{1/2 + 1/8 + 1/32 +} x 3^{1/4 + 1/16 + 1/64 +} = 5^2/3 x 3^1/3 =

1/2; 1/8; 1/32; … - геометрическая прогрессия, где b1=1/2, q = 1/4<1,

тогда S = (1/2)/(1 – 1/4) = 1/2 x 4/3 = 2/3.

1/4; 1/16; 1/64; … - геометрическая прогрессия, где b1 = 1/4, q = 1/4 < 1,

тогда S = (1/4)/(1 – 1/4) = 1/4 x 4/3 = 1/3.

5^2/3 х 3^1/3 = ³√5² х ³√3 = ³√75 = 75^1/3

Ответ: 75^1/3.

VII. Домашнее задание.

1. Проанализировать результаты взаимоконтроля. Составить и решить задачу для ликвидации выявленного пробела в знаниях.

2. Выполнить задания:

№ 430 (г, д, е); 442, 467;

для сильного ученика дополнительно: 458 (б), 482 (в);

для слабого ученика: №369, 387, 391.

Приложение 1

План-конспект урока

Арифметическая прогрессия

Место работы Глазковский филиал МБОУ Кочетовская сош Мичуринского района

Должность учитель математики

Предмет алгебра

Класс 9

Тема и номер урока в теме « Арифметическая прогрессия» № 6

Базовый учебник «Алгебра 9 класс» Авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г., Миндюк и др.

8. Цель урока:

Организация деятельности обучающихся по закреплению:

- знаний определения арифметической прогрессии;

- знаний формулы n-ого члена арифметической прогрессии;

- знаний формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии;

- умений применения формул n-ого члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии в ходе решения задач;

- подготовки к контрольной работе по теме.

9. Задачи:

-обучающие

1) закрепить знания и умения по данной тематике;

2) активировать деятельность обучающихся на закрепление повышенного уровня изученного материала;

3) обобщить знания по теме, продолжить наработку навыков и закрепление умений.

-развивающие

1. формировать у учащихся навыки правильного воспроизведения своих ЗУН;

2. развивать умение анализировать ответ товарищей;

3. развивать речь через обогащение словарного запаса обучающихся при введении новых понятий;

4. развивать мышление обучающихся при закреплении умений сравнивать и обобщать новые знания и ранее изученный материал;

5. развивать навыки умственного труда и умений его организовывать.

-воспитательные

1. воспитывать дисциплинированность, собранность, требовательность к себе при организации рабочего труда обучающегося;

2. развивать речевые навыки и навыки сотрудничества;

3. воспитывать чувства коллективизма и взаимопомощи.

10. Тип урока Урок обобщения материала по теме «Арифметическая прогрессия»

11. Формы работы учащихся Фронтальная; самостоятельная работа учащихся контролирующего характера; парная работа (взаимоконтроль).

12. Необходимое техническое оборудование АРМ учителя, выход в интернет, компьютеры для обучающихся, ИД.

13. Структура и ход урока

СТРУКТУРА И ХОД УРОКА

(порядковый номер из Таблицы 2)

Деятельность учителя

(с указанием действий с ЭОР, например, демонстрация)

Деятельность ученика

Время

(в мин.)

1

2

3

4

5

6

1.

Организационный

Знакомство с темой и целью, задачами на данный урок. Урок начинается с первого слайда презентации учителя

Дети готовятся к уроку, записывают, осмысливают

1

2

Этап подготовки к активному сознательному усвоению знаний

1,2, 3,

4

Дает разноуровневые задания с применением ЭОР. Использует интерактивный плакат с целью наглядного восприятия материала. После работы с ИД выполняются задания из учебника №430 (г-е), 482 (а-в).

Учитель контролирует работу.

Пока трое обучающихся работают на ноутбуках, один ученик работает у доски, остальные работают на местах. Работа на ноутбуках проверяется в режиме ON-Line

23 (в т.ч. 10 ЭОР)

Упражнение для глаз

Организует физкультминутку

Выполняют упражнения

1

3

Этап повторения ЗУН

5, 6

Организует коллективную проверку индивидуальной работы учащихся с использованием ЭОР

Выполняют разноуровневые задания на ноутбуках.

10 (в т.ч. 10 ЭОР)

4

Этап информации учащихся о домашнем задании и инструктаж к его выполнению

Запись домашнего задания с объяснением № 430 (а, б, в); 442, 467;

для сильного ученика дополнительно: 458 (б) для слабого ученика: №369, 387, 391.

Записывают домашнее задание и слушают объяснение, задают вопросы

5

5

Этап подведения итогов урока

Контролирует и обобщает вопросы, выставляет оценки за урок.

Отвечают на вопросы

5

Приложение №2

Технологическая карта урока

(перечень используемых на уроке ЭОР)

П1

тест

[link]

Приложение 3

Слова-ориентиры для определения целей урока

Приложение 4

Поэтапное формирование универсальных учебных действий

к уроку

Урок

современного типа

Универсальные

учебные действия

Объявление темы урока

Формулируют сами учащиеся (учитель подводит учащихся к осознанию темы)

Познавательные общеучебные, коммуникативные

Сообщение целей и задач

Формулируют сами учащиеся, определив границы знания и незнания

(учитель подводит учащихся к осознанию целей и задач)

Регулятивные целеполагания, коммуникативные

Планирование

Планирование учащимися способов достижения намеченной цели

(учитель помогает, советует)

Регулятивные планирования

Практическая деятельность учащихся

Учащиеся осуществляют учебные действия по намеченному плану (применяется групповой, индивидуальный методы)

(учитель консультирует)

Познавательные, регулятивные, коммуникативные

Осуществление контроля

Учащиеся осуществляют контроль (применяются формы самоконтроля, взаимоконтроля) (учитель консультирует)

Регулятивные контроля (самоконтроля), коммуникативные

Осуществление коррекции

Учащиеся формулируют затруднения и осуществляют коррекцию самостоятельно (учитель консультирует, советует, помогает)

Коммуникативные, регулятивные коррекции

Оценивание учащихся

Учащиеся дают оценку деятельности по её результатам (самооценивание, оценивание результатов деятельности товарищей) (учитель консультирует)

Регулятивные оценивания (самооценивания), коммуникативные

Итог урока

Проводится рефлексия

Регулятивные саморегуляции, коммуникативные

Домашнее задание

Учащиеся могут выбирать задание из предложенных учителем с учётом индивидуальных возможностей

Познавательные, регулятивные, коммуникативные

21