Методика нахождения нескольких процентов от числа.
В данном разделе покажем методику нахождения нескольких процентов от числа, так как эта тема является одной из трех важнейших, которые должны понять студенты в теме «проценты». А главное они должны понять алгоритм нахождения одного или нескольких процентов от числа, и применять эти способности на практике, при решении различных задач на проценты.
Важно, чтобы студенты поняли, для того чтобы находить проценты от числа нужно понять, что один процент является одной сотой от данного числа. Из этого следует необходимость определения одного процента (а это главное, так как чтобы найти несколько процентов от числа нужно найти сначала один процент) можно записать равенством:
1 % = 0,01 · а
Отсюда, любой студент быстро поймет, что 5% = 0,05; 23% = 0,23; 130%=1,3 и т. д.
Как найти 1% от числа? Раз 1% - это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Мы уже сделали вывод, что деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01.
А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.
Так что отсюда можно вывести алгоритм нахождения одного или нескольких процентов от числа:
Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.
4.3. Методика нахождения числа по его процентам.
Покажем общую методику нахождения числа от одного или нескольких процентов. Это также является важной частью в изучение процентов, так как встречаются не только задачи на нахождение процентов от числа, но числа по процентам. Это особенно хорошо видно в задачах связанных с экономикой (например, когда в банк кладется сумма под проценты, а через какое-то время забирается с «набежавшими» процентами и нужно найти данную сумму). Так что студентам необходимо раскрыть алгоритм нахождения числа от нескольких процентов.
Студенты знают, что один процент можно записать десятичной дробью:
1 % = 0,01 · а
Так вот возникает вопрос, как найти искомое число, если известно лишь, сколько процентов составляет другое число от искомого? Для этого нужно сначала проценты записать десятичной дробью, после чего надо данное нам число разделить на эту десятичную дробь, в результате мы получим число от нескольких процентов.
Если дано, сколько процентов от искомого числа составляет данное число, то чтобы найти искомое число, нужно заменить проценты десятичной дробью и разделить на эту дробь данное число.
4.4. Методика нахождения процентного отношения.
Рассмотрим последнее, но не менее важное для нахождения процентов при решении задач – это нахождение процентного отношения. В этом разделе изучим алгоритм нахождения процентного отношения.
Встречаются задачи, в которых даны два числа, и нужно найти их процентное отношение. Для этого нужно взять первое число, назовем его «а», и разделить его на второе число, назовем его число «в», а затем результат умножим на сто процентов. Мы получим процентное отношение первого числа на второе
( а / в) · 100 %
Чтобы найти процентное отношение двух чисел «а» и «в», надо отношение этих чисел умножить на 100 процентов, то есть получить данную формулу.
4.5. Задачи на проценты обязательного уровня.
Надо сразу отметить, что такие задачи очень важны в курсе изучения не только процентов, но и всей математике. В них содержится и проценты числа, и процентное содержание, а это, как правило, вносит растерянность и путаницу у студентов при их решении, так как их приучили работать с чем-то одним при решении задач.
Задача 4.5.1. Винни-Пух очень любил мед и стал разводить пчел, в первый год пчелы дали 10 кг меда, но Винни-Пуху этого было мало, во второй год пчелы увеличили производства меда на 10 % , но и этого было мало Винни-Пуху. Он подсчитал, что ему надо примерно 13 кг меда. Вопрос: сколько лет должен ждать Винни-Пух, чтобы удовлетворить свои потребности при условии, что пчелы каждый год будут увеличивать производство меда на 10 %.
Решение: Для того чтобы узнать, сколько надо ждать Винни-Пуху, надо узнать, сколько у него будет через год, а будет 11 кг, через два года 12,1 кг, и только на третий год он удовлетворит свои потребности.
Ответ: 3 года.
Задача 4.5.2. Когда Том Сойер нашел клад, он решил часть денег отдать тетушке, а часть оставить себе, так чтобы, положив их в банк при 5 % годовых каждый год получать эти проценты на личные расходы, он даже подсчитал, что ему примерно надо в год 300 долларов. Сколько он должен положить в банк?
Решение: Если 5 % это 300 долларов, то 100 % будет равно 6000 долларов.
Ответ: 6000 долларов.
Задача 4.5.3. В библиотеке имеются книги на английском, на французском и на немецком языках. Английские книги составляют 36% всех книг, французские - 75% английских книг, а остальные 185 книг – немецкие. Сколько всего книг в библиотеке?
Решение:
75 % = 3/4 значит 36 % * 3/4 = 27 % французские, книги от всего количества.
36 % + 27 % = 63 % это английские и французские книги вместе.
100 % – 63 % = 37 % всего немецких книг.
185 / 37 % = 5 книг это 1 %.
Всего книг в библиотеки 100 % * 5 = 500 книг.
Ответ: 500 книг.
Задача 4.5.4. За килограмм одного продукта и 10 кг другого заплачено 20 рублей. Если при сезонном изменении цен первый продукт подорожал на 15 %, а второй подешевел на 25 %, то за тоже количество этих продуктов будет заплачено 18,2 рублей. Сколько стоит 1 кг каждого продукта?
Решение:
Составим уравнение.
1 · Х + 10 · Y = 20
1 · X( 1 + 0,15 ) + 10 · Y ( 1 – 0,25 ) = 18,2
решив это систему уравнений, получим: Y = 1,2; X = 8 рублей
Ответ: 8 руб. и 1,2 руб.
Задача 4.5.5. Пшеницы и ржи колхоз собрал вместе 500 тонн. После того как была повышена урожайность пшеницы не 30 % и ржи на 20 %, колхоз собрал 630 тонн пшеницы и ржи. Сколько тон пшеницы и ржи собрал колхоз после повышения урожайности?
Решение:
Составим уравнение.
Х + Y = 500
X( 1 + 0,3 ) + Y ( 1 + 0,2 ) = 630
Решив эту систему уравнений, получим: Y = 240, X = 390 тон.
Ответ: 390 тонн пшеницы, 240 тонн ржи.
Задача 4.5.6. Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 1312,5 рублей. Каков был первоначальный вклад при 25 % годовых?
Решение: Для решения этой задачи нужно понимать, что результат 1312,5 это сумма за первый год и плюс 25 % или 125 % или 100 % = 1050 рублей.
Тоже самое делаем с суммой 1050, так как вклад был на два года 125% = 1050 рублей или 100 % = 840 рублей.
Можно решить вторым способом, используя формулу для сложных процентов
1312,5 = Х · ( 1+ 0,25)2, Х = 840 рублей.
Ответ: 840 рублей.
5. Методика изучения процентов при подготовке к ЕГЭ.
Задачи на проценты, концентрации, смеси и сплавы встречаются не только в математике, но и в химии, где рассматриваются различные соединения. Они вызывают затруднения у студентов. Причина такой ситуации, на мой взгляд, заключается в том, что тема “Проценты” изучается в классах, когда собственно математики еще нет, изучается непродолжительно и, наконец, к задачам на проценты не возвращаются в старших классах. Неумение решать текстовые задачи показывает недостаточное знание математики.
Решение этих задач основывается на использовании различных математических моделей: уравнений, неравенств, их систем с привлечением процентов, арифметической и геометрической прогрессий, производной и др.
При решении задач на проценты необходимо уметь находить процент от числа, число по его проценту, процентное отношение. Основная трудность лежит при решении задач на сложные проценты – проценты, начисляемые на процентные деньги.
Рассмотрим решение различных типов задач на нахождение процентов при подготовке к ЕГЭ.
5.1 Нахождение процентов данного числа.
Чтобы найти «а» % от числа «в», надо «в» умножить на а/100. Например: 30 % от 60 составляют (60·30)/100=18.
Задача 5.1.1. Число 200 увеличили на 30 %, полученное число увеличили еще на 20 %. Какое число получится в итоге?
Решение:
30 % числа 200 составляют 200*0,3 = 60
Новое число будет 200 + 60 = 260
20 % числа 260 составляют 260 *0,2 = 52
После второго увеличения получим 260 + 52 = 312
Ответ: 312
Задача 5.1.2. Сколько процентов числа 7 составляет разность между ним и 4% числа 28?
Решение:
Найдем 4% от числа 28. Это будет: 28 *0,04 = 1,12.
Определим разность 7 – 1,12 = 5, 88. Найдем, сколько процентов числа 7 составляет 5,88, для этого составим пропорцию:
Число 7 – 100%
5,88 – х%
Отсюда х =84 %.
Ответ: 84%
5.2 Нахождение числа по его процентам.
Если известно, что а% числа «х» равно «в», то число «х» можно найти по формуле х=(в/а)·100.
Например, если 3 % вклада в сберкассу составляют 150 р., то этот вклад равен (150/3)·100=5000 р.
Задача 5.2.1. Некоторое число уменьшили на 12 % и получили 85. Чему равна величина этого числа (с округлением до 0,01)?
Решение: Пусть искомое число х; 12% от х равны 0,12 х, после уменьшения, получим х - 0,12х = 0,88·х= 85 (по условию). Отсюда х=96,590(90). Округлим найденное число до двух знаков после запятой. Так как третья цифра после запятой 0 (меньше 5), то значение второй цифры после запятой сохраняется (в противном случае, эту цифру увеличиваем на 1) х=96,59.
Ответ: 96,59.
5.3. Нахождение процентного отношения чисел.
Чтобы найти процентное отношение двух чисел а и в, надо отношение этих чисел умножить на 100 %, т.е. вычислить (а/в) 100%.
Например: при плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей, тогда он выполнил план на (66/60) 100 %, т.е. на 110 %.
5.4. Задачи на сложные проценты.
Тема «Проценты», связана с повседневной жизнью. Мы часто сталкиваемся с банковскими операциями: различные вклады, ссуды. Между тем, многие студенты, да и взрослые, при столкновении с этими задачами боимся их, потому что не умеем их решать. В учебниках не вводятся формулы простых и сложных процентов. Студенты должны решать задачи, опираясь не на формулы, а на понимание, на смысл понятия «процент», на умение находить процент от числа, число по его проценту. Вообще, данный вид задач применяется во многих областях хозяйственной деятельности и бухгалтерского учёта, а также в различных статистических расчётах, где используются формулы простых и сложных процентов.
Для нахождения простых процентов служит формула простых процентов: если с величины «а» нарастает «р»% за год (или другой период), то через t лет, полученную сумму можно получить по формуле (4.1):
(5.4.1.)
При этом предполагается, что по истечении каждого года доход за этот год исчисляется с первоначальной величины.
Если же доход причисляют к первоначальной величине и, следовательно, доход за новый год исчисляется с наращенной суммы, то говорят о сложных процентах; в этом случае величина, в которую превращается «а» через t лет вычисляется по формуле сложных процентов
(5.4.2.)
Задача 5.4.3. Клиент положил в банк на год 4000 рублей. Какая сумма у него будет через год, если банк выплачивает 8% годовых?
Решение: Данную задачу можно решить двумя способами.
1 способ. Сначала находим, сколько рублей приходится на 1%:
1) 4000:100=40 ( р.) – на 1%.
Далее находим, сколько рублей будет составлять 8%:
2) 40·8=320 (р.) – на 8%.
А теперь найдём, какая сумма получится в конце года:
3) 4000+320=4320 (р.) – получилась сумма к концу года.
2 способ.
Сначала находим, сколько процентов будет в конце года:
1) 100+8=108% - к концу года.
Находим, сколько приходится на 1%:
2) 4000:100=40 (р.) – на 1%.
А теперь найдём нужную нам сумму:
3) 40*108=4320 (р.) – сумма в конце года.
Ответ: 4320 рублей.
Задача 5.4.4. Владелец садового участка взял в банке ссуду 300000 рублей для постройки дома на участке. Он должен был вернуть эти деньги через год с надбавкой 9%, какую сумму он должен был вернуть?
Решение:
1) 100+9=109% - должен вернуть в банк владелец.
109:100·300000=327000 (р.) – должен вернуть.
Ответ: 327000 рублей.
Задача 5.4.5. Ирина внесла в январе 100 рублей на счёт, по которому ежемесячно начисляется 2%. И затем каждый месяц в течение года она вносила ещё по 100 рублей, не снимая с него никаких сумм. Сколько рублей на её счете будет в конце декабря?
Решение: Выразим процент десятичной дробью: 2% - 0,02. Вклад ежемесячно увеличивается в 1,02 раза и идёт последовательное накопление вклада:
январь – 100 р.;
февраль – 100·1,02+100 р.;
март – 100·+100·1,02+100 р.;
декабрь – 100· (1,02)+100· (1,02)+……..+100=100· ((1,02)+ (1,02)+ +1) =100·=1341(р.)
Ответ: 1341 рубль.
В ходе решения подобных задач учащиеся видят, что формула суммы геометрической прогрессии – это не просто абстракция, отвлечённая формула, а конкретные математическое знание, необходимое в жизни.
Задача 5.4.6.. Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг 1312500 р. Каков был первоначальный вклад при 25% годовых?
Решение: Пусть x (р.) – первоначальный размер вклада. В конце первого года вклад составит:
(р.)
1,25 (р.) – на столько увеличился вклад к концу второго года по сравнению с первым;
(р.) – таким станет вклад к концу второго года, т.е. составит по условию 1312500 р. Имеем: , откуда =840000. Значит 840000 (р.) – первоначальный вклад.
Ответ: 840000 рублей.
5.5. Задачи на концентрацию, смеси и сплавы.
Данный вид задач представляет собой сложный вид, т.к. эти задачи студенты решают очень плохо. После объяснения решения таких задач целесообразно порешать аналогичные задачи как индивидуально, так и со всеми вместе (групповым методом).
Для решения задач на смеси и сплавы, на концентрации нужно уметь рассуждать и решать задачи на дроби и проценты, на составление уравнений и их систем. Эти задачи решаются арифметически, применением линейного уравнения и их систем. Рассмотрим задачи, решаемые арифметическим способом.
Приступая к решению задач, связанных с понятиями «концентрация» и «процентное содержание», необходимо объяснить учащимся, что обычно в условиях таких задач речь идет о составлении сплавов, растворов, смесей из двух или нескольких веществ. При решении таких задач принимаются следующие основные допущения:
Все получающиеся сплавы или смеси однородны;
При слиянии двух растворов, имеющих объемы и, получается смесь , объем которой равен V = +;
При слиянии двух растворов масса смеси равняется сумме масс, составляющих ее компонентов.
Объемной концентрацией компонента А называется отношение объема чистого компонента () в растворе ко всему объему смеси():
==, . (5.5.1.)
Объемным процентным содержанием компонента А называется величина (5.5.1), то есть концентрация этого вещества, выраженная в процентах.
(5.5.2.)
Аналогично определяются массовая концентрация и процентное содержание: отношение массы чистого вещества А в сплаве к массе всего сплава. Под процентным содержанием вещества понимается часть, которую составляет вес этого вещества от веса всего соединения.
Задача 5.5.3. Для проведения опыта научный сотрудник химической лаборатории смешал 4% раствор некоторого химического вещества и 10% раствора этого же вещества и получил 75 мл. 8% раствора. Сколько миллилитров 4% раствора и сколько 10% раствора было взято.
Решение: Обозначим через x – количество 4% раствора, а через y – количество 10% раствора. Запишем первое уравнение системы, т.к. должно получится 75 мл. раствора:
x + y=75.
Второе уравнение системы связывает количество соли в 4%, 10% и получившимся растворах:
0,04x + 0,1y =0,08(x+y).
Решим получившуюся систему уравнений:
x+y=75,
0,04x+0.1y=0,08(x+y);
x=25,
y=50.
Значит: 25 мл взяли 4% раствора и 50 мл 10% раствора.
Ответ: 25 мл; 50 мл.
Задача 5.5.4. Кусок сплава золота и серебра весом 3 кг содержит 30% золота. Сколько кг чистого золота нужно прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% золота?
Решение: Пусть добавили x кг чистого золота;
3 Х 0,3=0,9(кг) – чистого золота было в сплаве.
Всего чистого золота стало (x+0,9) кг,
а сплав массой (кг) – чистого золота.
Составим и решим уравнение: , x=0,5, т. е. 0,5 (кг) – надо добавить чистого золота.
Ответ: 0,5 кг.
Задача 5.5.5. Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит 20% олова, Второй, массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?
Решение: До сплавления в двух кусках было 300·20/100+200·40/100=140 г олова. После сплавления кусок массой 200+300=500 г будет содержать 140·100/500 (%) = 28(%) олова. Ответ: 28%.
Задача 5.5.6: Имеется 2 раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100г первого раствора и 200г второго раствора, то получится 50%-ный раствор. Если же слить вместе 300г первого раствора и 200 г второго, то получится 42%-ный раствор. Найти концентрацию второго раствора.
Решение: Пусть процентное содержание соли в первом и втором растворах p% и q% соответственно, тогда по условиям задачи можно составить два уравнения:
100 p/100 + 200 q/100=50· (100+200)/100
300 p/100 + 200 q/100=42· (300+200)/100.
Упростив эти уравнения и решив систему, получим p=30 и q=60. Следовательно, концентрация второго раствора равна 60%.
Ответ: 60%.
В данной методической разработке рассмотрены основные методы решения задач на проценты и различные задачи на составление уравнений, что является важной частью изучение математики. Здесь рассмотрены задачи на составление « смесей » и на такое понятие как « концентрация ».
Хочется отметить, что тема работы очень актуальна, тем более в наше время, когда на первое место в отношениях становится экономика, а проценты приобрели широкое распространение в нашей жизни, а в школах уделяется мало время на изучения процентов, да и сам материал рассматривается скупо, не полномасштабно.
Можно сделать вывод, что эту тему не только можно, но и нужно вводить на факультативных занятиях по математике и на консультациях, а так же отводить время для решения задач на проценты на уроках.
