ФГАОУ ВО «КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского» ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ (ФИЛИАЛ) В Г. ЯЛТЕ
ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ
Бубнова А.А.
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
МАТЕМАТИКА
для студентов-бакалавров
Ялта, 2016
УДК 51(07)
ББК 22.1я73
Б 90
Рекомендовано ученым совета Гуманитарно-педагогической академии (филиал) «Крымский федеральный университет им. В.И. Вернадского» от «8» декабря 2015 года (протокол № 11)
Бубнова А.А.
Б 90 Математика. / Бубнова А.А.:
Методическое пособие. – Ялта: РИО ГПА, 2016. – 56с.
Данное пособие предназначено для студентов математических и экономических специальностей, для учащихся старших классов, учителей школ и преподавателей вузов. Пособие содержит программный материал по математике. Может быть использовано для подготовки к экзамену по математике и единому государственному экзамену.
Рецензенты:
Орлов В.Н., доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики, теории и методики обучения математике Гуманитарно-педагогической академии (филиал) в г. Ялте «Крымского федерального университета им. В.И. Вернадского».
Овчинникова М.В., кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики, теории и методики обучения математике Гуманитарно-педагогической академии (филиал) в г. Ялте «Крымского федерального университета им. В.И. Вернадского».
ББК 22.151.54
©Бубнова А.А., 2016 г.
©Гуманитарно-педагогическая академия (г. Ялта), 2016 г.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 4
1. ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ 5
- Различные числовые множества. Метод математической индукции 5
- Действия над действительными числами 12
- Модуль числа. Числовая прямая 16
- Отношения. Пропорция. Проценты 18
2. ФУНКЦИИ 20
- Определение, виды и свойства функций 20
- Построение графиков элементарных функций 20
- Тригонометрия 27
3. ПРОИЗВОДНАЯ И ИНТЕГРАЛ 27
- Производная, таблица производных 27
- Первообразная. Таблица интегралов 32
- Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница 32
4. КОМБИНАТОРИКА 34
- Перестановки, размещения и сочетания без повторений 34
- Перестановки, размещения и сочетания с повторениями 35
- Бином Ньютона 36
5. СТАТИСТИКА 37
- Сбор информации для статистики 37
- Вариационный ряд. Распределение ряда 37
- Математические параметры статистического распределения 38
6.СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ 41
7.ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 42
8. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 53
ЛИТЕРАТУРА 55
ЭЛЕКТРОННОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Дисциплина «Математика» является одной из базовых дисциплин в программе Высшей школы. Целями этой учебной дисциплины являются:
- формирование у студентов представления об общих математических понятиях;
- приобретение студентами теоретических знаний, практических умений и навыков, необходимых для осуществления в будущем педагогической деятельности на высоком профессиональном уровне.
Данное пособие написано в соответствии с программой курса «Математика» и состоит из восьми разделов: «Числовые системы», «Функции», «Производная и интеграл», «Комбинаторика», «Статистика», «Справочный материал», «Задания для самостоятельной работы», «Вопросы к экзамену и вариант контрольной работы».
Раздел «Числовые системы» освещает вопросы: понятия различных числовых множеств, арифметические действия над действительными числами и их свойств; понятия процента и решения задач на проценты.
Раздел «Функции» рассматривает: различные виды функций их свойств и построение их графиков.
Раздел «Производная. Интеграл» содержит вопросы: определение предела функции, производной функции, первообразную и интеграл.
В раздел «Комбинаторика», «Статистика» рассматриваются определения и формул различных комбинаций, формула бинома Ньютона, методы статистических.
В пособии предложены задания для самостоятельной работы, а также темы для подготовки к экзамену по дисциплине «Математика».
В пособии имеются индивидуальные задания, позволяющие студентам привести свои знания по теме в систему и приобрести практические умения в ходе решения поставленных перед ними конкретных методических задач.
Пособие снабжено электронным приложением, в котором есть 30 видеоуроков, 50 презентаций по разделам математики. Читатели свои знания могут проверить с помощью 44 тестов. В приложении есть наглядный справочный материал в таблицах и графиках.
Пособием могут пользоваться студенты как заочного, так и дневного обучения. Преподаватель может использовать материал пособия для составления дидактического материала. Ученики старших классов могут по этому пособию готовиться к олимпиадам, а так же к единому государственному экзамену.
1. ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ
Различные числовые множества
Основные понятия
Понятие [link] . Выполним чертеж:
[pic]
График гиперболы
Опять же вспоминаем тривиальную «школьную» гиперболу [pic] .
[pic]
График показательной функции
В данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию [pic] , поскольку в задачах высшей математики в 95% случаев встречается именно экспонента.
Напоминаю, что [pic] – это иррациональное число: [pic] , это потребуется при построении графика, который, собственно, я без церемоний и построю. Трёх точек, пожалуй, хватит:
[pic]
[pic]
График логарифмической функции
Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом [pic] .
Выполним поточечный чертеж:
[pic]
[pic]
Графики тригонометрических функций
Построим график функции [pic]
[pic]
График косинуса
Построим график функции [pic]
[pic]
Графики тангенса
Построим график функции [pic]
[pic]
График показательной функции при [pic]
[pic]
График показательной функции при [pic]
[pic]
График логарифмической функции при [pic]
[pic]
График логарифмической функции при [pic]
[pic]
Тригонометрия
Основные тригонометрические формулы
Формула
Допустимые значения аргумента
1.1
[pic]
[pic]
1.2
[pic]
[pic]
1.3
[pic]
[pic]
1.4
[pic]
[pic]
Решение простых тригонометрических уравнений [pic]
Если [pic] — вещественных решений нет.
Если [pic] — решением является число вида [pic]
Если [pic] — вещественных решений нет.
Если [pic] — решением является число вида [pic]
Решением является число вида [pic]
Решением является число вида [pic]
(Смотри видеоуроки 3, 4, 7, 10, 12, 14, 16, 17).
3. ПРОИЗВОДНАЯ И ИНТЕГРАЛ
Предел функции
Число А называется пределом функции [pic] в точке [pic] , если для любого [pic] существует [pic] такое, что для всех [pic] , удовлетворяющих неравенству [pic] , выполняется неравенство [pic]
Записывают [pic]
Функция [pic] называется непрерывной в точке [pic] , если предел функции и ее значение в этой точке равны, [pic]
Первый замечательный предел [pic] .
Второй замечательный предел [pic]
Правило Лопиталя: если [pic]
Пример 1. Найти [pic]
Решение. [pic]
Пример 2. Вычислить [pic]
Решение. Заменяя каждый из многочленов своим старшим членом, имеем: [pic]
Пример 3. Найти [pic]
Решение.
Имеем неопределенность вида [pic] Применяя правило Лопиталя, получаем
[pic]
Пример 4. .Вычислить предел [pic] [pic]
Решение.
[pic] Ответ: [pic]
Пример 5. Найти асимптоты функции [pic]
Решение.
[pic] -вертикальные асимптоты.
[pic] ,
Ответ: [pic] -асимптоты.
Дифференцирование функции одной переменной
Определение. Производной функции [pic] в точке [pic] называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю.
Обозначают [pic]
Правила вычисления производных
1. [pic] , 2. [pic] , 3. [pic]
Таблица производных
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]
9. [pic]
10. [pic]
Пример 1. Используя правила и формулы дифференцирования найти производные функций: 1) [pic]
2) [pic] 3) [pic] 4) [pic]
Решение.
1) [pic]
2) [pic]
3) [pic]
4) [pic]
Пример 2. Определить глобальные экстремумы [pic]
Решение.
[pic]
Ответ: [pic]
Пример 3. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции [pic]
Решение.
[pic]
[pic] точки экстремума,
[pic] [pic] -экстремумы функции,
[pic] - промежутки возрастания,
[pic] - промежутки убывания.
[pic]
[pic]
Пример 4. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
[pic]
Решение.
[pic] - точка перегиба.
[pic] - выпуклость направленная вверх.
[pic] - выпуклость направленная вниз.
Пример 5. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции
[pic]
Решение.
[pic] - вертикальная асимптота.
[pic]
[pic] - горизонтальная асимптота
[pic] - функция нечетная
Точки пересечения с осями:
с ох, у=0 – нет точек, с оу, х=0 – нет точек.
Точки экстремума:
[pic] - точки экстремума,
[pic] -экстремумы функции.
Точки перегиба:
[pic] - точка перегиба.
[pic] [pic]
(Смотри видеоуроки 29, 30).
Интеграл
Определение. Функция [pic] называется первообразной функции [pic]
, если ее производная равна [pic] [pic] .
Определение. Если [pic] - некая первообразная для функции [pic] , то [pic] , где С – некая постоянная, дает нам совокупность всех первообразных функции [pic] и называется неопределенным интегралом функции [pic]
Обозначение его [pic]
Основные свойства неопределенного интеграла:
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic]
Таблица основных интегралов:
1. [pic] 7. [pic]
2. [pic] 8. [pic]
3. [pic] 9. [pic]
4. [pic] 10. [pic]
5. [pic] 11. [pic]
6. [pic] 12. [pic]
Формула интегрирования по частям [pic]
Определение. Пусть на замкнутом промежутке [pic] задана непрерывная функция [pic] и [pic] - произвольное разбиение отрезка [pic] .
Сумма вида [pic] где [pic] - некоторое число из отрезка [pic] , а [pic] - длина этого отрезка, называется интегральной суммой функции [pic] на отрезке [pic] .
Определенным интегралом от функции [pic] на отрезке [pic] называется предел последовательности интегральных сумм при бесконечном дроблении отрезка [pic] , обозначают [pic]
Формула Ньютона-Лейбница: [pic]
Пример 1. Вычислить интеграл [pic]
Решение. [pic]
Пример 2. Найти неопределенный интеграл
1) [pic]
Решение.
[pic]
[pic] Ответ: [pic]
2) [pic]
Решение.
[pic]
Ответ: [pic]
3) [pic]
Решение.
[pic]
Ответ: [pic]
Пример 3. Вычислить [pic]
Решение.
[pic] [pic]
Ответ: [pic]
Пример 4. Определить объем тела вращения вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной кривыми [pic]
Решение.
[pic]
Ответ: [pic]
(Смотри видеуроки 13, 14).
4. КОМБИНАТОРИКА
Основные понятия и формулы
Какое-либо упорядоченное множество, которое состоит из [pic] элементов, называется перестановкой из [pic] элементов, и обозначается [pic]
Формула перестановки [pic]
Размещением из [pic] элементов по [pic] , называется некоторое упорядоченное подмножество из [pic] элементов множества из [pic] элементов.
Формула размещений [pic]
Сочетанием из [pic] по [pic] называется некое подмножество из [pic] элементов некоторого множества из [pic] .
Формула сочетаний [pic]
Свойства сочетаний:
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
Перестановки с повторением, если среди n элементов есть одинаковые, и если среди них [pic] - первого типа, [pic] - другого типа и т. д., то получаем формулу для перестановок с повторением.
Формула перестановки с повторением [pic]
Размещение с повторением – это упорядоченное подмножество, дге элементы не обязательно должны быть разными.
Формула размещение с повторением: [pic] .
Сочетания с повторением – это подмножество, элементы которого не обязательно должны быть разными.
Формула сочетания с повторением: [pic]
Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно записать цифрами 0,1,2,3,4?
Решение.
Первая цифра в трехзначном числе может быть выбрана 4 способами (0 не выбирается), другая цифра 5 способами, третья тоже 5 способами. По правилу произведения все три цифры можно выбрать [pic]
Пример 2. Сколькими способами 7 человек могут встать в очередь в кассу?
Решение.
Число [pic] равно числу перестановок из 7 элементов. [pic]
Пример 3. Сколькими способами можно из 7 человек выбрать комиссию из 3 человек?
Решение.
Поскольку порядок среди выбранных в комиссию человек не важен, то число способов равно сочетанию из 7 по 3. [pic]
Пример 4. Сколько разных слов можно образовать перестановками букв в слове «математика»?
Решение.
В слове «математика» - 10 букв, из них буква «м» повторяется 2 раза, «а» - 3 раза, «т» - 2 раза. Тогда используя формулу перестановок с повторением получим ответ:
[pic]
Пример 5. Автомобильный номер состоит из двух букв и 4 цифр. Какое число номеров можно составить, если буквы выбирают из 33 букв украинского алфавита?
Решение.
Найдем отдельно комбинации для букв и отдельно для чисел.
Для букв используем размещения с повторением: [pic]
Для цифр: [pic] Тогда [pic]
Пример 6. Сколькими способами можно выбрать 6 одинаковых или разных пирожных в кондитерской, где есть 11 разных сортов пирожных?
Решение.
Используем сочетания с повторениями:
[pic]
1.2.Бином Ньютона
Бином (двучлен) – выражение вида [pic] .
Формула бинома Ньютона:
[pic] .
Правая часть этой формулы называется разложением бинома.
Свойства разложения бинома:
1.Количество членов разложения бинома на единицу больше показателя степени;
2.Все члены разложения имеют одну и ту же степень равную n;
3.Сумма биноминальных коэффициентов равна [pic] ;
4.Формула [pic] члена разложения имеет вид: [pic] .
Пример 1. В разложении [pic] четвертый член равен 0,96. Найти значение [pic] если сумма биноминальных коэффициентов равна 1024.
Решение.
Так как сумма биноминальных коэффициентов равна [pic] то [pic] Теперь используем формулу члена разложения:
[pic] По условию [pic]
Пример 2. При каких значениях [pic] возможно равенство:
[pic] ?
Решение.
[pic] Из второг уравнения имеем [pic] , тогда [pic] Из второго находим [pic] .
Так как [pic] . Второй корень не подходит, тогда [pic]
(Смотри видеуроки 22, 24, 25).
5. СТАТИСТИКА
Основные характеристики выборки
Статистика – это наука, изучающая, обрабатывающая и анализирующая количественные данные о разнообразнейших массовых явлений в жизни.
Экономическая статистика изучает изменение цен, спроса и предложения товаров, прогнозирует рост и падение производства и потребления.
Математическая статистика – это раздел математики, изучающий математические методы обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов.
Генеральная совокупность – это вся совокупность однородных объектов, которую изучают относительно некоторого признака, который характеризует эти объекты.
Выборкой называют совокупность случайно выбранных объектов из генеральной выборки.
Статистическим распределением называют перечисление вариант и соответствующих им частот.
Эмпирической функцией распределения называют функцию [pic] , которая определяет для каждого х относительную частоту [pic] , то есть [pic] где [pic] - число вариант меньших х, [pic] - объем выборки.
Основные числовые характеристики выборки:
Медиана – это так называемое среднее значение упорядоченного ряда значений случайной величины: [pic]
Мода – это вариант, который имеет большую частоту, встречается чаще других.
Размах выборки – это разность между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины выборки.
Среднее выборочное - [pic]
Дисперсия - [pic]
Среднее квадратичное отклонение - [pic]
Коэффициент вариации - [pic]
Подобно тому, как графики всех парабол можно получить с помощью геометрических преобразований одной параболы [pic] , так и все кривые нормальных распределений можно получить с помощью геометрических преобразований одной кривой. Эту кривую называют кривой нормального распределения, или гауссовой кривой: [pic] .
[pic]
Правило трех сигм:
68% (или приблизительно [pic] ) всех значений нормального распределения случайной величины Х имеют отклонение от среднего значения, по абсолютной величине не превышающее среднее квадратичное отклонение [pic] , а 96% всех значений – не превышающее [pic] . Почти все значения (точнее, 99,7 всех значений) имеют отклонение от среднего, не превышающего по абсолютной величине утроенное среднее квадратичное отклонение [pic] .
Пример 1. Найдите размах, моду, медиану и среднее значение ряда данных некоторой случайной величины [pic] 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5. Постройте полигон частот значений случайной величины [pic] . Укажите на рисунке размах, моду, медиану заданного ряда данных.
Решение.
Размах выборки: [pic] .
Среднее значение: [pic] .
Мода выборки: [pic] , так как число 2 повторяется чаще всего.
Медиана: [pic] , так как именно это число стоит в центре ряда.
Постоим полигон частот.
[pic]
Пример 2. Выигрыши (в грн.), которые приходятся на один билет в каждой их двух лотерей, имеют следующие законы распределения:
1)
Х 0
1
5
10
Р
0,9
0,06
0,03
0,01
2)
Х 0
1
5
10
Р
0,85
0,12
0,02
0,01
Какой из этих лотерей вы отдадите предпочтение?
Решение.
Найдем математическое ожидание каждого распределения.
1) [pic] .
2) [pic] .
Сравним два числа и получим, что вторая выгодней.
Пример 3. Задана генеральная совокупность из 20 элементов. Выполнить задания:
1) построить статистическое распределение и ее эмпирическую функцию распределения;
2) вычислить ее числовые характеристики выборки: среднее, дисперсию и среднее квадратичное отклонению
Решение.
Дана генеральная выборка:
15,19,13,12,9,14,15,19,12,17,13,9,15,12,15,14,18,16,15,12.
1) Статистическое распределение выборки имеет вид:
9
12
13
14
15
16
17
18
19
[pic]
2
4
2
2
5
1
1
1
2
[pic]
[pic] Эмпирическая функция распределения имеет вид:
[pic] где [pic] - число вариантов, меньших чем х; [pic] - объем выборки; [pic] Тогда имеем:
[pic] или [pic]
2) Числовые характеристики выборки:
Среднее [pic]
Выборочная дисперсия [pic]
[pic]
Среднее квадратичное отклонение [pic]
(Смотри видеурок 19).
6.СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Арифметическая прогрессия
[pic]
Геометрическая прогрессия
[pic]
Свойства логарифмов
Если 𝑎, 𝑏, 𝑐 − положительные числа, причем 𝑎≠1, то справедливы равенства:
[pic]
[pic]
[pic] , для любого [pic]
[pic] , для любого [pic]
[pic]
[pic] – формула перехода к новому основанию логарифма
7.ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
(Смотри видеоуроки 6, 8, 11, 26, 27, 28).
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ
1.Сократиь дробь а) [pic] б) [pic]
2.Упростить выражение а) [pic] б) [pic]
3.Найти значение выражения а) [pic] б) [pic]
5.Вычислить а) [pic] б) [pic]
7.Упростить выражение а) [pic]
б) [pic]
8.Сократить дробь а) [pic] б) [pic]
9.Упростить выражение а) [pic]
б) [pic]
10.Освободиться от иррациональности в знаменателе
а) [pic] б) [pic] в) [pic] г) [pic]
11.Упростить выражение а) [pic]
б) [pic]
12.Упростить выражение а) [pic] б) [pic]
13.Разложить на множители а) [pic] б) [pic]
14.Упростить а) [pic] б) [pic]
15.Разложить на множители а) [pic] б) [pic]
16.Сократить дробь а) [pic] б) [pic]
17.Выразить переменную в из формулы а) [pic] б) [pic]
18.Упростить а) [pic] б) [pic]
19.Упростить а) [pic]
б) [pic]
УРАВНЕНИЯ
1.а) [pic] б) [pic]
2.а) [pic] б) [pic]
3.а) [pic] б) [pic]
4.а) [pic] б) [pic]
5.а) [pic] б) [pic]
6.а) [pic] б) [pic]
7. а) [pic] б) [pic]
8. а) [pic] б) [pic]
9. а) [pic] б) [pic]
10. а) [pic] б) [pic]
11. а) [pic] б) [pic]
12. а) [pic] б) [pic]
13. а) [pic] б) [pic]
14.а) [pic] б) [pic]
15. а) [pic]
б) [pic]
16. а) [pic] б) [pic]
17. а) [pic] б) [pic]
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
1.Решите систему уравнений
а) [pic] б) [pic]
2. а) [pic] б) [pic]
3.а) [pic] б) [pic]
4. а) [pic] б) [pic]
5. а) [pic] б) [pic]
6. а) [pic] б) [pic]
7. а) [pic] б) [pic]
8. а) [pic] б) [pic]
9. а) [pic] б) [pic]
10. а) [pic] б) [pic]
11. а) [pic] б) [pic]
12. а) [pic] б) [pic]
13. а) [pic] б) [pic]
14. а) [pic] б) [pic]
15. а) [pic] б) [pic]
16. а) [pic] б) [pic]
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
1. а) Моторная лодка прошла 21 км против течения реки и 8 км по течению, затратив на весь путь 2 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки составляет 1 км/ч.
б) Моторная лодка прошла 24 км против течения реки и 16 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки составляет 2 км/ч.
2. а) Сколько граммов 3-процентного и сколько граммов 8-процентного раствора соли нужно взять, чтобы получить 260 г 5-процентного раствора?
б) Сколько килограммов 25-процентного и сколько граммов 50-процентного сплавов меди нужно взять, чтобы получить 20 кг 40-процентного сплава?
3. а) Двое рабочих, работая вместе, выполнили задание за 12 часов. За сколько часов может выполнить это задание каждый рабочий самостоятельно, если один из них может это сделать на 7 ч быстрее другого?
б) Две бригады, работая вместе, вспахали поле за 8 ч. За сколько часов может вспахать поле каждая бригада, работая самостоятельно, если второй бригаде на это нужно на 12 ч больше, чем первой?
4. а) Тракторист должен был за определенное время вспахать поле площадью 180 га. Ежедневно он вспахивал на 2 га больше, чем планировал, и закончил работу на 1 день раньше срока. За сколько дней тракторист вспахал поле?
б) Рабочий должен был за определенное время изготовить 160 деталей. Ежедневно он изготовлял на 4 детали больше, чем планировал, и закончил работу на 2 день раньше срока. За сколько дней он выполнил работу?
5. а) Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 300 км, выехали одновременно две машины. Одна из них двигалась со скоростью на 10 км/ч больше, чем вторая, а потому прибыла в пункт назначения на 1 ч раньше второй. Найдите скорость каждой машины.
б) Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 240 км, выехали одновременно автобус и автомобиль. Автобус двигался со скоростью на 20 км/ч меньше, чем автомобиль, а потому прибыл в пункт назначения на 1 ч позже. Найдите скорость каждой машины.
6. а) Вкладчик положил в банк 1200 гривен на два различных счета. По первому из них банк выплачивает 6% годовых, а по второму – 8% годовых. Через год вкладчик получил 80 гривен процентных денег. Сколько гривен он положил на каждый счет?
б) Вкладчик положил в банк 1500 гривен на два различных счета. По первому из них банк выплачивает 7% годовых, а по второму – 10% годовых. Через год вкладчик получил 120 гривен процентных денег. Сколько гривен он положил на каждый счет?
7. а) Из города А в город В выехал велосипедист. Через 3 ч из города А выехал мотоциклист, который прибыл в город В одновременно с велосипедистом. Найдите скорость мотоциклиста, если она на 45 км/ч больше скорости велосипедиста, а расстояние между городами 60 км.
б) Из города А в город В вышел товарный поезд. Через 2 ч из города А вышел пассажирский поезд, который прибыл в город В одновременно с товарным. Найдите скорость товарного поезда, если она на 20 км/ч меньше скорости пассажирского, а расстояние между городами 350 км.
НЕРАВЕНСТВА
1.Решить неравенство
а) [pic] б) [pic]
2. а) [pic] б) [pic]
3. а) [pic] б) [pic]
4. а) [pic] б) [pic]
5.а) [pic] б) [pic]
6. а) [pic] б) [pic]
7. а) [pic] б) [pic]
8. а) [pic] б) [pic]
9. а) [pic] б) [pic]
10. а) [pic] б) [pic]
11. а) [pic] б) [pic]
12. а) [pic] б) [pic]
13. а) [pic] б) [pic]
14. а) [pic] б) [pic]
15. а) [pic] б) [pic]
16. а) [pic] б) [pic]
17. а) [pic] б) [pic]
18. а) [pic] б) [pic]
19. а) [pic] б) [pic]
СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ
1.Решить систему неравенств
а) [pic] б) [pic]
2.а) [pic] б) [pic]
3. а) [pic] б) [pic]
4. а) [pic] б) [pic]
5. а) [pic] б) [pic]
6. а) [pic] б) [pic]
7. [pic] б) [pic]
8. а) [pic] б) [pic]
9. а) [pic] б) [pic]
10. а) [pic] б) [pic]
11. а) [pic] б) [pic]
12. а) [pic] б) [pic]
13. а) [pic] б) [pic]
14. а) [pic] б) [pic]
15. а) [pic] б) [pic]
ФУНКЦИЯ
1.Построить график функции.
Используя график, найти:
1) область значения;
2) при каких значениях х функция принимает положительные значения.
а) [pic] б) [pic]
2. а) [pic] б) [pic]
3. а) [pic] б) [pic]
4. а) [pic] б) [pic]
5. а) [pic] б) [pic]
6.Построить график функции
а) [pic] б) [pic]
7. а) [pic] б) [pic]
8. а) [pic] б) [pic]
9. а) [pic] б) [pic]
10. а) [pic] б) [pic]
11.Найти область определения функции
а) [pic] б) [pic]
12. а) [pic] б) [pic]
13. а) [pic] б) [pic]
14. а) [pic] б) [pic]
15. а) [pic] б) [pic]
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Решить уравнение
1.а) [pic] б) [pic]
2. а) [pic] б) [pic]
3) [pic] б) [pic]
4) [pic] б) [pic]
5) [pic] б) [pic]
6) а) [pic] б) [pic]
7) а) [pic] б) [pic]
8) а) [pic] б) [pic]
9) а) [pic] б) [pic]
Решить неравенство
1) а) [pic] б) [pic]
2) а) [pic] б) [pic]
3) а) [pic] б) [pic]
4) а) [pic] б) [pic]
5) а) [pic] б) [pic]
6) а) [pic] б) [pic]
7) а) [pic] б) [pic]
8) а) [pic] б) [pic]
9) а) [pic] б) [pic]
10) [pic] 11) [pic] 12) [pic] 13) [pic]
14) [pic] 15) [pic] 16) [pic]
17) [pic] 18) [pic]
19) [pic] 20) [pic]
ЛОГАРИФМЫ
1.Найти значение выражения
1.1. [pic] 1.2. [pic] 1.3. [pic] 1.4. [pic]
1.5. [pic] 1.6. [pic] 1.7. [pic] 1.8. [pic]
1.9. [pic] 1.10. [pic] 1.11. [pic]
1.12. [pic] 1.13. [pic] 1.14. [pic]
2. Решить уравнение
2.1. а) [pic] б) [pic]
2.2. а) [pic] б) [pic]
2.3. а) [pic] б) [pic]
2.4. а) [pic] б) [pic]
2.5. а) [pic] б) [pic]
2.6. а) [pic] б) [pic]
2.7. а) [pic] б) [pic]
2.8. а) [pic] б) [pic]
2.9. а) [pic] б) [pic]
3.Решить неравенства
3.1. а) [pic] б) [pic]
3.2. а) [pic] б) [pic]
3.3. а) [pic] б) [pic]
3.4.а) [pic] б) [pic]
3.5. а) [pic] б) [pic]
3.6. а) [pic] б) [pic]
3.7. а) [pic] б) [pic]
3.8. а) [pic] б) [pic]
3.9. а) [pic] б) [pic]
ТРИГОНОМЕТРИЯ
1.Упростить выражение
1.1.а) [pic] б) [pic]
1.2.а) [pic] б) [pic]
1.3.а) [pic] б) [pic]
1.4. а) [pic] б) [pic]
1.5. а) [pic] б) [pic]
1.6. а) [pic] б) [pic]
1.7. а) [pic] б) [pic]
1.8. а) [pic] б) [pic]
1.9. а) [pic] б) [pic]
1.10. а) [pic] б) [pic]
2.Найти численное значение выражения
2.1. а) [pic] б) [pic]
2.2. а) [pic] б) [pic]
2.3. а) [pic] б) [pic]
2.4. а) [pic] б) [pic]
2.5. а) [pic] б) [pic]
2.6. а) [pic] б) [pic]
3.Вычислить значение выражение при данном значении переменной
3.1. а) [pic] б) [pic]
3.1. а) [pic] б) [pic]
3.3. а) [pic] б) [pic]
3.4. а) [pic] б) [pic]
3.5. а) [pic] б) [pic]
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнения, которые сводятся к квадратным
1.а) [pic] б) [pic]
2.а) [pic] б) [pic]
3.а) [pic] б) [pic]
Однородные уравнения
1.а) [pic] б) [pic]
2.а) [pic] б) [pic]
Уравнения, которые решаются разложением на множители
1.а) [pic] б) [pic]
2.а) [pic] б) [pic]
3.а) [pic] б) [pic]
4.а) [pic] б) [pic]
5.а) [pic] б) [pic]
6.а) [pic] б) [pic]
Уравнения, которые решаются введением дополнительного угла
1.а) [pic] б) [pic]
2.а) [pic] б) [pic]
Уравнения, которые решаются при помощи формул понижения степени
1.а) [pic] б) [pic]
2.а) [pic] б) [pic]
Дробно-рациональные уравнения относительно тригонометрических функций
1.а) [pic] б) [pic]
2.а) [pic] б) [pic]
3.а) [pic] б) [pic]
4.а) [pic] б) [pic]
5.а) [pic] б) [pic]
6.а) [pic] б) [pic]
ПРОГРЕССИИ
(Смотри видеуроки 18, 20, 21, 23).
1. а) Первый член арифметической прогрессии [pic] , а второй [pic] . Найти седьмой член прогрессии.
б) Первый член арифметической прогрессии [pic] , а второй [pic] . Найти пятый член прогрессии.
2. а) Первый член арифметической прогрессии [pic] , разность прогрессии [pic] . Найти сумму десяти первых членов прогрессии.
б) Первый член арифметической прогрессии [pic] , разность прогрессии [pic] . Найти сумму двенадцати первых членов прогрессии.
3. а) [pic] Сколько положительных членов содержит арифметическая прогрессия 40; 37; 34; …?
б) [pic] Сколько положительных членов содержит арифметическая прогрессия 42; 38; 34; …?
4. а) Найти сумму десяти первых членов арифметической прогрессии [pic] если [pic]
б) Найти сумму десяти первых членов арифметической прогрессии [pic] если [pic]
5. а) Первый член арифметической прогрессии равен -5, а разность равна 6. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равна 1040?
б) Первый член арифметической прогрессии равен 12, а разность равна -2. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равнялась -264?
6. а) Первый член геометрической прогрессии [pic] , а знаменатель прогрессии [pic] Найти четвертый член прогрессии.
б) Первый член геометрической прогрессии [pic] , а знаменатель прогрессии [pic] Найти четвертый член прогрессии.
7. а) Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии [pic] , если [pic]
б) Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии [pic] , если [pic]
8. а) Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии 40; 20; 10;…
б) Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии 81; 27; 9;…
9. а) Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии [pic] , если [pic]
б) Найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии [pic] , если [pic]
10. а) Сумма второго и третьего членов геометрической прогрессии равна 30, а разность четвертого и второго – 90. Найти пятый член .
б) Разность четвертого и второго членов геометрической прогрессии равна 30, а разность четвертого и третьего – 24. Найти пятый член .
8.ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1. Натуральные числа. Действия с натуральными числами. Метод математической индукции
2. Целые числа, правила сложения, умножения и деления с целыми числами
3. Дробные числа. Обыкновенные и десятичные дроби. Действия над ними
4. Квадратные корни. Свойства квадратного корня
5. Действительные числа. Десятичная запись действительного числа. Действия на множестве действительных чисел
6. Числовая прямая. Модуль числа
7. Проценты. Задачи на проценты
8. Пропорция, основное свойство пропорции
9. Функция, определение и способы задания
10. Свойства элементарных функций
11. Графики элементарных функций
12. Предел функции
13. Производная функции, таблица производных
14. Первообразная для функции
15. Определённый интеграл
16. Таблица интегралов. Формула Ньютона-Лейбница
17. Комбинаторика. Перестановки, сочетания и размещения
18. Бином Ньютона
19. Вариационный ряд. Размах, мода и медиана ряда
20. Статистическое распределение. Полигон
21. Среднее ряда
22. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение
Примерный вариант контрольной работы
1. Найти значение выражения [pic]
2. Вкладчик положил в банк 40 000 грн. под 8% простых годовых. Сколько денег будет на его счёте через 3 года?
3. Построить график [pic]
4. Используя правила и формулы дифференцирования найти производные функций: 1) [pic]
2) [pic] 3) [pic] 4) [pic]
5. Вычислить интеграл [pic]
6. Найти разложение: [pic]
7. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4, если цифры не повторяются?
8. Группа студентов из 12 человек сдают экзамен по математике. Знания оценивались по пятибалльной системе. Оценки, полученные студентами соответствующие списку, такие: 5,4,4,3,4,2,2,5,5,3,3,4. Найти медиану этого распределения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Азаров А.И. Функциональный и графический методы решения экзаменационных задач / Азаров А.И., Барвенов С.А.--- Мн.: Аверсэв, 2004. – 222 с.
2. Бардушкин В. Тригонометрические уравнения. Отбор корней / В. Бардушкин, А. Прокофьев.// Математика, №12, 2005. - 23-27 С.
3. Бородин П. Тригонометрия. Материалы вступительных экзаменов в МГУ[текст] / П. Бородин, В. Галкин, В.Панфёров, И. Сергеев, В. Тарасов//Математика №1, 2005. 36—48 С.
4. Василевский А.Б., Задания для внеклассной работы по математике / А.Б. Василевский --- Мн.: Народная асвета. 1988. -- 176 с.
5. Выгодский Я.Я., Справочник по элементарной математике. / Выгодский Я.Я. --- М.: Наука, 1970. -231 с.
6. Гальперіна А.Р. Математика. ЗНО 2009 / С.М. Будна, О.С. Будна, А.Р. Гальперіна, М.Я. Забєлишенська, О.Я. Михеєва – К: Літера, 2009. -320 с.
7. Гальперіна А.Р. Математика. ЗНО 2011 / А.Р. Гальперіна, О.Я. Михеєва – К: Літера ЛТД, 2011, - 120 с. + Додат.(16 с.).
8. Игудисман О. Математика на устном экзамене/ Игудисман О. --- М.: Айрис пресс, Рольф, 2001. -215 с.
9. Сапунов П.И. Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений / Сапунов П. И. // Математическое просвещение, выпуск №3, 1935. -320 с.
10. Семенець В.В. Математика для вступників до ВУЗів / М.Ф. Бондаренко, В.А. Дікарєв, О.Ф. Мельников, Семенець В.В., Шкляров Л.Й. // Навчальний посібник, Харків, Компанія СМІТ, 2002. -225 с.
11. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы / В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; Под ред М.И. Сканави – М: ОНИКС, Мир и Образование, 2006. -523 с.
12. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: решение задач / Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. --- М.: Просвещение, 1991. -1-3 с.
13. Шевкин А.В. ЕГЭ. Математика. Задания С6 / А.В.Шевкин, Ю.О. Пукас. – М.: Экзамен, 2012.
14. Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике. 7-11 кл. – М.: Илекса. 2012.
56
