Презентация по математике Решение простейших тригонометрических уравнений

Автор публикации:

Дата публикации:

Краткое описание: ...


МОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Колледж


















Решение простейших тригонометрических уравнений


Методическая разработка занятия по дисциплине «Математика»

Для специальности 43.02.11 Гостиничный сервис

I курс











Составил преподаватель: Мухамметжанова Р.К.






2015



Тема «Решение простейших тригонометрических уравнений»


Цели занятия:


Образовательная:

  • Вывести формулы решения простейших тригонометрических уравнений.

  • Сформировать у студентов первичные умения и навыки решения простейших тригонометрических уравнений.

Развивающая:

  • Развивать математическое мышление.

  • Умение наблюдать, сравнивать, обобщать и анализировать математические ситуации.

Воспитательная:

  • Воспитывать активность, самостоятельность, упорство и достижение цели.

Формируемые ОК:

  • ОК.3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях, и нести за них ответственность.

  • ОК.4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития;

  • ОК.5. Владеть информационной культурой, анализировать и оценивать информацию с использованием информационно-коммуникационных технологий.

  • ОК.6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.


Знания и умения:

уметь:

У.5. уметь определять основные свойства функций и строить графики изученных функций

У.7. уметь преобразовывать простейшие тригонометрические выражения

У.9. уметь решать иррациональные, логарифмические и тригонометрические уравнения


знать:

З.1. Знать значение математической науки для решения теоретических и практических задач;

З.3. знать способы решения различных алгебраических уравнений

З.4. знать основные определения и формулы тригонометрии


Тип занятия: комбинированный.


Обеспечение занятия:

Наглядные пособия: таблицы значений тригонометрических функций, сводные таблицы решения тригонометрических уравнений, тригонометрический круг.

ТСО: компьютер, диапроектор.

Оснащение ТСО: программа Microsoft office PowerPoint.

Вычислительные средства: микрокалькуляторы, таблицы значений тригонометрических функций, тригонометрический круг.



Ход занятия:

  1. Организационный момент:

    1. Проверка отсутствующих, заполнение журнала.

    2. Постановка темы и целей урока.

  2. Проверка знаний:

    1. Фронтальный опрос (устные вопросы)

    2. 1. Тригонометрический круг (слайд №2)

2. Сформулируйте определение арксинуса числа.

3.Чему равен [pic] ?

4.Сформулируйте определение арккосинуса числа.

5.Чему равен [pic] ?

6.Сформулируйте определение арктангенса.

7.Чему равен [pic] ?

8.Дайте определение арккотангенса числа.

9.Чему равен [pic] ?


Устный счет по таблицам значения тригонометрических функций: (слайд №3, 4)

[pic] ; [pic] ; [pic] ; [pic] ; [pic] ;

[pic] ; [pic] ; [pic] . [pic]


  1. Объяснение нового материала:


Актуализация опорных знаний:

Обратные тригонометрические функции необходимы нам для изучения новой темы «Решение простейших тригонометрических уравнений»,

так как они используются при решении тригонометрических уравнений.

В курсе алгебры вы уже встречались с различными видами уравнений. Давайте вспомним какие это уравнения?

Предполагаемый ответ: линейные, квадратные, кубические, логарифмические, показательные, иррациональные.

Сегодня мы с вами познакомимся с тригонометрическими уравнениями.

Это не последние уравнения в математике, например, на втором курсе мы начнем решать дифференциальные уравнения.


3.1 (Слайд № 5: Определение и виды простейших тригонометрических уравнений)


Давайте запишем определение тригонометрического уравнения.

Тригонометрическим называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции.


Сегодня мы рассмотрим решение простейших из них:

[pic] ; [pic] ; [pic] ; [pic] , где [pic]

Решить тригонометрическое уравнение – это значит найти все его корни.

Корнем тригонометрического уравнения называется такое значение входящей в него переменной, которая удовлетворяет этому уравнению.


3.2 (Слайд № 6: Частные случаи уравнения [pic] . )

При а=1 уравнение [pic] имеет решения [pic] , [pic] .

При а=-1 уравнение [pic] имеет решения [pic] , [pic]

При а=0 уравнение [pic] имеет решения [pic] , [pic] .


    1. (Слайд №7,8,9: Уравнение вида [pic] )


Рассмотрим уравнение вида [pic] .

Так как [pic] , то уравнение [pic] при [pic] и [pic] не имеет решений.


Период синуса равен [pic] , поэтому достаточно найти все решения этого уравнения на любом отрезке длины [pic] . Из рисунка видно что, что на отрезке [pic] синус возрастает и принимает каждое свое значение один раз. Следовательно, на этом отрезке [pic] . На отрезке [pic] синус убывает и принимает каждое свое значение тоже один раз. Чтобы найти решение на этом отрезке, вспомним что [pic] . Если [pic] , то

[pic] , и поэтому решением уравнения [pic] на отрезке [pic] будет [pic] .

Для получения всех решений уравнения [pic] к каждому из двух полученных решений прибавим числа вида [pic] где [pic] .Следовательно,

[pic] (1)

[pic] . (2)

Обе серии решений можно объединить:

[pic] , [pic] (3)

[pic] называют параметром, при к четном получается формула (1), при к нечетном получается формула (2)


[pic]










    1. (Слайд№10: Решите уравнение(закрепление))


3.5(Слайд №11: Частные случаи уравнения [pic] )


При а=1 уравнение [pic] имеет решения [pic] , [pic] .

При а= -1 уравнение [pic] имеет решения [pic] , [pic]

При а=0 уравнение [pic] имеет решения [pic] , [pic] .


    1. (Слайд №12,13,14: уравнение вида: [pic] )

Рассмотрим уравнение [pic] . При [pic] и [pic] уравнение [pic] не имеет решений, так как [pic] .

[pic]






Так как период косинуса равен [pic] , то при [pic] для нахождения всех решений достаточно рассмотреть отрезок длины [pic] . Удобнее всего выбрать отрезок [pic] . Очевидно, что уравнение [pic] на отрезке [pic] имеет решение [pic] , а на отрезке [pic] - решение [pic] так как функция косинус четная. Таким образом на отрезке [pic] уравнение [pic] имеет решения

[pic] .

Чтобы записать все решения уравнения необходимо, учитывая периодичность косинуса, прибавить к каждому из найденных значений по [pic] , где [pic] . В итоге получим бесконечное множество решений

[pic] , [pic] .


3.7 (Слайд №15: Решите уравнение (закрепление))


3.8 (Слайд №16,17: уравнения вида: [pic] , [pic] : )

Так как период тангенса равен [pic] , то для того чтобы найти все решения уравнения [pic] , достаточно найти все его решения на любом отрезке длины [pic] . По определению арктангенса решение уравнения на промежутке [pic] есть [pic] .

Для того чтобы получить все решения уравнения нужно к решению, полученному на отрезке длины [pic] , прибавить [pic] . Следовательно,


[pic] , [pic]

И решение уравнения [pic]

[pic] , [pic]


3.9 (Слайд №18: Решите уравнение(закрепление))


3.10(Слайд № 19: Сводная таблица решения простейших тригонометрических уравнений)


Сводная таблица решения простейших тригонометрических уравнений

,

[pic]

[pic] ,

[pic]

[pic] ,

[pic]

[pic] ,

[pic]

[pic] , [pic]

[pic] ,

[pic]

[pic] ,

[pic]

[pic] ,

[pic]

[pic] ,

[pic]

[pic]

[pic] ,

[pic]

[pic]

[pic]

[pic] ,

[pic]

[pic] ,

[pic]

[pic]

[pic] ,

[pic]

[pic] ,

[pic]

[pic] ,

[pic]

[pic] ,

[pic]

Студенты заполняют сводную таблицу по ходу объяснения материала.



3.11 (Слайд №20, 21: Примеры решения уравнений).


  1. Самостоятельное решение уравнений трех уровней. Ребята, вы сейчас постараетесь решить уравнения по карточкам. Те из вас, кто быстро сможет решить 1-2 уравнение 1 уровня, переходите на следующий. Задания 1 уровня решить всем. Кто не успеет выполнить, будет решать эти уравнения дома.


I уровень II уровень III уровень



соsх = [pic] соs2х = [pic] соs(2х [pic] )= [pic]

sin х= - [pic] sin3 х= [pic] sin (х [pic] )­= [pic]

соsх= 0 соs5х=1 2 sin(3х [pic] )= 1

tgх= [pic] [pic] + 2соsх=0 соs(х [pic] )= - 1

сtgх= -2


  1. (Слайд№22: Подведение итогов занятия).


Продолжите фразу :

Сегодня на занятии я повторил …

Сегодня на занятии я узнал …

Сегодня на занятии я научился …

На следующем занятии мы рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения и познакомимся с методами их решения.


Активным студентам выставление оценок.

6. (Слайд№23: домашнее задание).

(2) §33-35, решить примеры.


Литература:



  • 1.Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Ч.1/ Под ред. Г.Н. Яковлева – М.: Наука, 1987 – 464с.

  • Н.В. Богомолов Практические занятия по математике: Учеб. Пособие для средних спец. Заведений / Н.В. Богомолов – М.: Высшая школа, 2003-495с. [pic]

  • 3. Ш.А. Алимов Алгебра и начала анализа 10 – 11 Москва Просвещение 2016г.

  • А.Г. Мордкович Алгебра и начала анализа 10 – 11 «Мнемозина» 2012г.

  • В.С. Шипачев Задачи по высшей математике «Легион Ростов на Дону» 2015г.


















8
Читать полностью »