Урок математики по теме:Прогрессии

Цель урока:

обобщение тем “Арифметическая прогрессия” и “Геометрическая прогрессия”.

Залачи урока:

• обобщить и систематизировать теоретические знания учащихся;

• проконтролировать и развивать умения и навыки применять формулы прогрессий при решении задач;

• повысить интерес к предмету.

Ход урока

Организационный момент

[link]

Слова учителя:

Изучена данная тема,
Пройдена теории схема,
Вы много новых формул узнали,
Задачи с прогрессией решали.
И вот в последний урок
Нас поведет
Красивый лозунг
“ПРОГРЕССИО - ВПЕРЕД”

Сегодня пред последний урок по главе “Арифметическая и геометрическая прогрессии”. Предстоит контрольная работа. Перед вами задача - показать, как вы знаете формулы прогрессии и умеете их применять при решении различных задач.

На столах лежат задания к уроку, ваша цель внимательно работать на уроке и по ходу урока заполнить таблицу:

2

3

4

5

6

7

8

9

Е

Р

О

Г

П

С

Д

И

В

Задача 1(На столе карточка №1)

Определите какая последовательность является арифметической или геометрической прогрессией, ответы запишите на листочках, найти разность и знаменатель, при проверке повторить определение прогрессий.

Слайд №2

1) 2; 5; 8; 11;14; 17;…
2) 3; 9; 27; 81; 243;…
3) 1; 6; 11; 20; 25;…
4) –4; –8; –16; –32;…
5) 5; 25; 35; 45; 55;…
6)–2; –4; – 6; – 8; – 10;…

Слайд №3 проверим решение

Ответ:

арифметическая прогрессия d = 3

2) 3; 9; 27; 81; 243;…

геометрическая прогрессия q = 3

3) 1; 6; 11; 20; 25;…

последовательность чисел

4) –4; –8; –16; –32; …

геометрическая прогрессия q = 2

5) 5; 25; 35; 45; 55;…

последовательность чисел

6) –2; –4; – 6; – 8; – 10;…

арифметическая прогрессия d = – 2

Примерные вопросы

1. Что называется арифметической прогрессией?

2. Что называется геометрической прогрессией?

3. Как вычислить знаменатель геометрической прогрессии?

4. Как вычислить разность арифметической прогрессии?

5. Почему прогрессия называется арифметической?

6. Почему прогрессия называется геометрической?

7. К каком числам принадлежит n?

Историческая справка.

Слайд №4

Слова учителя:

Закончился ХХ век, а вот термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием еще в IV в. н.э. От латинского слова progressio – “движение вперед”.

Первые представления об арифметической прогрессии были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать. Считалось, что в древнеегипетском папирусе Ахмеса находилась древнейшая задача на прогрессии о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающая за собою двухтысячелетнюю давность. Но есть гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом полвека назад, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого документа имеется такая, которую мы приводим в вольной передаче.

Прочитайте внимательно условие на листке

Откройте тетради, запишите число, тему урока.

Приготовились слушать и записывать решение этой интереснейшей задачи, которую разобрала ескина Алёна.

Слайд №5

Задача 1: (задача из папируса Ринда)

Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Решение задачи: Очевидно, количество хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член x, разность y. Тогда:

• а 1–Доля первого – x,

• а2–Доля второго – x+y,

• а3–Доля третьего – x+2y,

• а4–Доля четвертого – x+3y,

• а5–Доля пятого – x+4у.

На основании условия задачи составляем следующие 2 уравнения:

[pic]

После упрощений первое уравнение получает вид x+2y=20, а второе 11x=2y.

[pic]  Решив эту систему, имеем: [pic]   [pic]

Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части:  [pic]

Слайд № 6

Устная работа

1) Дано: (а n ) [pic]  , а1 = 5 d = 3 Найти: а6 ; а10.

2) Дано: (b n )  [pic]  ,b1= 5 q = 3 Найти: b3 ; b5.

3) Дано: (а n ) [pic]  , а4 = 11 d = 2 Найти: а1 ;

4) Дано: (b n )  [pic]  , b4= 40 q = 2 Найти: b1 ;

Слайд № 7

Ответы 1) а6 = а1 +5 d = 5+ 5 [pic] 3 = 20

а10 = а1 +9 d = 5+ 9 [pic] 3 = 32

2) b3 = b1 [pic] q² = 5  [pic] 3² =5 [pic] 9=45

b5 = b1 [pic] q⁴ = 5  [pic] 3⁴ =5 [pic] 81=405

3) а4= а1 +3 d  [pic]  а1 = а4 – 3 d = 11 – 3 [pic] 2 = 5

4) b 4= b1  [pic]  q³  [pic]  b 1 = b 4 : q³ = 40 : 2³ = 5

Занимательное свойство арифметической прогрессии.

Слова учителя:

Слайд № 7

А теперь, рассмотрим еще одно свойство членов арифметической прогрессии. Оно, скорее всего, занимательное. Расскажет о нем Ученик 4.

Выступление Ученика 4.

На доске написана “стайка девяти чисел”

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19.

Она представляет собой арифметическую прогрессию. Кроме того, данная стайка чисел привлекательна способностью разместиться в девяти клетках квадрата 3х3 так, что образуется магический квадрат с константой, равной 33.

Знаете ли вы, что такое магический квадрат? Квадрат, состоящий из 9 клеток, в него вписывают числа, так чтобы сумма чисел по вертикали, горизонтали диагонали была одним и тем же числом- constanta.

Замечание об арифметической прогрессии само по себе очень интересно. Дело в том, что из каждых девяти последовательных членов любой арифметической прогрессии натуральных чисел можно составить магический квадрат.

Слайд № 8

В самом деле, пусть дана арифметическая прогрессия: a, a+d, a+2d, a+3d, …, a+8d, где a и d натуральные. Расположим её члены в таблицу.

Нетрудно видеть, что получился магический квадрат, константа C которого равна 3a+12d

Действительно, сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и по каждой диагонали квадрата равна 3a+12d.

А какие свойства арифметической или геометрической прогрессии вы уже знаете ?

Слайд № 9

1) Дано: (а n ) [pic]  , а4=12,5; а6=17,5 Найти: а5

Решение: Используя свойство арифметической прогрессии  [pic]

Имеем: а5 [pic]

Ответ: 15( О)

1) Дано: (b n )  [pic]  , b4=12,5; b6=17,5 Найти: b5

Решение: Используя свойство геометрической прогрессии  [pic]

Имеем:  [pic] = [pic]

Ответ: 12 (Д)

Слайд № 10

“Карусель” — обучающая самостоятельная работа

Каждый ученик получает листок с задачами. если шесть человек, то и задач шесть (задачи элементарные).

Каждую одну-две минуты учитель говорит: “Меняемся”, и ученики передают свой лист по кругу. “Карусель” останавливается, если к каждому вернется лист, на котором в задаче 1 стоит его фамилия. Таким образом, каждый ученик решает все задачи.

Ответы записываются на слайде. Ученики зачеркивают неправильные ответы и сдают работу учителю.

Ответы: 1) 102; ( П) 2) 0,5; ( В) 3)2; ( Р) 4)6; ( Г) 5) – 1,2; ( Е) 6) 8;( С),7) 23.

Задания из сборника предназначенного для подготовки к итоговой аттестации в новой форме по алгебре в 9 классе, предлагаются задания которые оцениваются в 2 балла: 3-5минут на выполнение заданий по группам, решение показать на доске.

6.1. 1) Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.

6.2. 1) Число –3,8 является восьмым членом арифметической прогрессии (ап), а число –11 является ее двенадцатым членом. Является ли членом этой прогрессии число –30,8?

6.5. 1) Между числами 6 и 17 вставьте четыре числа так, чтобы вместе с данными числами они образовали арифметическую прогрессию.

6.8. 1) В геометрической прогрессии b12 = З¹⁵ и b14 = З¹⁷. Найдите b1.

Ответы:

6.1 (20,4)( И) 6.2. (является), 6.5. (6;8,2;10’4;12’6;14’8;17.), 6.8. (b1=3⁴ или b1= –3⁴).

2

3

4

2

1

6

6

8

3

П

Р

О

Г

Р

Е

С

С

И

О

5

1

2

1

7

В

П

Е

Р

Ё

Д

Урок сегодня завершён,
Дружней вас не сыскать. 
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут. 
Спасибо за урок!