Задача №11.
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 5 см. Высота призмы равна радиусу окружности, вписанной в основание призмы. Найти объем призмы.
Решение.
[pic]
Пусть [pic] - прямая треугольная призма. ∆АВС – прямоугольный треугольник, ее основание, [pic] АСВ = 90º. По условию АВ = 13 см, АС = 5 см. [pic] [pic] , [pic] - высота призмы. По условию [pic] = r, где r – радиус окружности, вписанной в основание призмы.
Из ∆АВС, ( [pic] АСВ = 90º), используя теорему Пифагора СВ = [pic] , СВ = [pic] . Радиус окружности, вписанной в ∆АВС [pic] , где [pic] - площадь треугольника, р – полупериметр треугольника, р = [pic] [pic] = [pic] , [pic] = [pic] , тогда [pic] ,
[pic] =2см.
Объем призмы V = [pic] , где [pic] - площадь основания призмы, [pic] = [pic] - высота призмы. V = 30 · 2 = 60 (см²).
Ответ: 60 см².
Задача №12.
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 17 см и катетом 8 см. Высота призмы равна радиусу окружности, описанной около основания призмы. Найти объем призмы.
Решение.
[pic]
Пусть [pic] - прямая треугольная призма. ∆АВС – прямоугольный треугольник, ее основание, [pic] АСВ = 90º. По условию АВ = 17 см, АС = 8 см. [pic] [pic] , [pic] - высота призмы. По условию [pic] = R, где R – радиус окружности, описанной около основания призмы.
Построим точку М – середину гипотенузы АВ - это центр окружности, описанной около ∆АВС, R = МА = МВ = [pic] , R = [pic]
Из ∆АВС, ( [pic] АСВ = 90º), используя теорему Пифагора СВ = [pic] , СВ = [pic] .
Объем призмы V = [pic] , где [pic] - площадь основания призмы, [pic] = [pic] - высота призмы. [pic] = [pic] [pic] [pic] V = 60 · [pic]
Ответ: 510 см².
Задача 13. В правильной треугольной пирамиде радиус окружности, вписанной в основание, равен [pic] см. Апофема пирамиды равна 2 [pic] см. Найдите объем пирамиды.
Решение.
[pic]
Пусть дана правильная треугольная пирамида РАВС, значит ее основание правильный треугольник АВС. Высота РО проходит через его центр, точку О. Точка О – центр вписанной окружности. Проведем апофему РК [pic] АВ, по условию РК = 2 [pic] см. РО [pic] (АВС), ОК – проекция РК на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах АВ [pic] ОК, значит ОК – радиус окружности, вписанной в ∆АВС, ОК = r = [pic] см по условию задачи. Так как ∆АВС – правильный, АВ = ВС = СА, то [pic] , АВ = 2r∙tg60º, AB = 2 [pic] · [pic] =6 (см).
Из ∆РОК ( [pic] РОК = 90º), используя теорему Пифагора РО = [pic] , РО = [pic] = 5 (см).
Объем пирамиды V= [pic] , где [pic] - площадь основания, т.е. площадь правильного треугольника АВС, Н=РО=5см. [pic] , [pic] . V = [pic] .
Ответ: [pic] .
Задача 14. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно [pic] см. Найдите объем пирамиды, если радиус окружности, описанной около основания, равен [pic] см.
Решение.
А
[pic]
Пусть дана правильная треугольная пирамида РАВС, значит ее основание правильный треугольник АВС. Высота РО проходит через его центр, точку О. Точка О – центр описанной окружности, ОА = ОВ = ОС = R, где R – радиус описанной окружности. По условию задачи R = [pic] см. Боковые ребра правильной пирамиды равны, РА = РВ = РС и по условию задачи равны [pic] см.
Так как в основании пирамиды лежит правильный треугольник, то R = [pic] = [pic] , откуда АВ = [pic] , АВ = [pic] ∙ [pic] =6 (см).
Объем пирамиды V= [pic] , где [pic] - площадь основания, т.е. площадь правильного треугольника АВС, Н – высота, Н = РО.
[pic] , [pic] .
Из ∆РОА, ( [pic] РОА = 90º), используя теорему Пифагора РО = [pic] , РО = [pic] = 5 (см).
V = [pic] .
Ответ: [pic] .
Задача 15. Основание прямой призмы – ромб с диагоналями 10 см и 24 см. Меньшая диагональ призмы равна 26см. Вычислите площадь полной поверхности призмы.
Решение.
[pic]
Пусть [pic] - прямая призма, ромб АВСД – ее основание. Точка О – точка пересечение диагоналей ромба, [pic] А – острый, АС – большая диагональ ромба, ВД – меньшая диагональ ромба, АС > ВД. [pic] , АС – проекция [pic] на плоскость основания, [pic] , ВД – проекция [pic] на плоскость основания. Так как АС > ВД, то [pic] > [pic] по свойству наклонных и их проекций, значит [pic] - меньшая диагональ призмы. По условию задачи АС = 24 см, ВД = 10 см, В [pic] Д = 26 см.
Площадь полной поверхности призмы [pic] , где [pic] площадь боковой поверхности призмы, [pic] площадь основания.
[pic] , [pic] . [pic] , где Р – периметр основания призмы, Н – высота, Н=ВВ [pic] . Рассмотрим ромб АВСД, по свойству диагоналей ромба АО = [pic] , АО = 12см, ВО = [pic] , ВО = 5 см. Из ∆АОВ, ( [pic] АОВ = 90º), используя теорему Пифагора АВ = [pic] , АВ = [pic] = 13 (см). Периметр ромба Р = 4·13=52 (см).
Из ∆ВВ [pic] Д, ( [pic] В [pic] ВД=90º), используя теорему Пифагора ВВ [pic] = [pic] , ВВ [pic] = [pic] . Тогда [pic] , [pic] .
Ответ: [pic] .
Задача 16. Основание прямой призмы – ромб с диагоналями 16 см и 30 см. Большая диагональ призмы равна 50 см. Вычислите площадь полной поверхности призмы.
Решение.
[pic]
Пусть [pic] - прямая призма, ромб АВСД – ее основание. Точка О – точка пересечение диагоналей ромба, [pic] А – острый, АС – большая диагональ ромба, ВД – меньшая диагональ ромба, АС > ВД. [pic] , АС – проекция [pic] на плоскость основания, [pic] , ВД – проекция [pic] на плоскость основания. Так как АС > ВД, то [pic] > [pic] по свойству наклонных и их проекций, значит [pic] - большая диагональ призмы. По условию задачи АС = 30 см, ВД = 16 см, А [pic] С = 50 см.
Площадь полной поверхности призмы [pic] , где [pic] площадь боковой поверхности призмы, [pic] площадь основания.
[pic] , [pic] . [pic] , где Р – периметр основания призмы, Н – высота, Н=АА [pic] . Рассмотрим ромб АВСД, по свойству диагоналей ромба АО = [pic] , АО = 15 см, ВО = [pic] , ВО = 8 см. Из ∆АОВ, ( [pic] АОВ = 90º), используя теорему Пифагора АВ = [pic] , АВ = [pic] = 17 (см). Периметр ромба Р = 4·17 = 68 (см).
Из ∆АА [pic] С, ( [pic] А [pic] Ас=90º), используя теорему Пифагора АА [pic] = [pic] , АА [pic] = [pic] . Тогда [pic] , [pic] .
Ответ: [pic] .
Задача 17. Полная поверхность прямоугольного параллелепипеда, основанием которого служит квадрат, равна 264см². Найдите сторону основания параллелепипеда, если его высота равна 8 см.
Решение.
[pic]
Пусть [pic] - прямоугольный параллелепипед, боковые ребра перпендикулярны основанию и равны, АА [pic] Основание квадрат АВСД. У параллелепипеда все грани - равные прямоугольники, поэтому площадь полной поверхности параллелепипеда [pic] , где [pic] - площадь боковой поверхности, [pic] - площадь основания.
По условию [pic] 264 см², высота АА [pic] =8 см. [pic] = 4АВ∙ АА [pic] , [pic] =АВ², тогда [pic] 4АВ∙ АА [pic] + 2 АВ² = 4АВ·8 + 2АВ² = 264 см². Получим уравнение 2АВ² + 32АВ – 264 = 0, АВ² + 16АВ – 132 = 0, АВ = [pic] (см) или АВ = [pic] (см), так как по условию задачи АВ>0, то АВ = 6 см.
Ответ: 6 см.
Задача №18.
В прямоугольном параллелепипеде его измерения относятся как 1:2:3. Полная поверхность параллелепипеда равна 352 см². Найдите его измерения.
Решение.
[pic]
Пусть [pic] - прямоугольный параллелепипед, боковые ребра перпендикулярны основанию и равны, АА [pic] Основание прямоугольник АВСД. У параллелепипеда противоположные грани - равные прямоугольники, поэтому площадь полной поверхности параллелепипеда [pic] , где [pic] - площадь боковой поверхности, [pic] - площадь основания.
По условию измерения прямоугольного параллелепипеда АД:ДС:АА [pic] =1:2:3. Пусть х – коэффициент пропорциональности, тогда АД = 1х, ДС = 2х, АА [pic] = 3х.
[pic] , [pic] , по условию [pic] Тогда 22х² = 352, х=4 (х>0). Тогда АД = 4 см, ДС=2·4=8 см, АА [pic] =3·4=12 см.
Ответ: 4см, 8см, 12см.
Задача №19.
Длина линии пересечения сферы и плоскости равна 10πсм. Радиус сферы равен 13 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости сечения.
Решение.
[pic]
Пусть дана сфера с центром в точке О. Сечение сферы плоскостью – окружность с центром в точке О [pic] . Так как центр О [pic] этой окружности есть основание опущенного перпендикуляра ОО [pic] на плоскость сечения, то ОО [pic] - расстояние от центра сферы до заданной плоскости сечения.
По условию длина окружности С = 2πО [pic] А, где О [pic] А – радиус окружности с центром в О [pic] , 2πО [pic] А = 10π, О [pic] А = 5 см.
Проведем радиус сферы ОА = R, где А – точка, принадлежащая окружности сечения. По условию ОА = 13 см.
Из ∆ОО [pic] А ( [pic] ОО [pic] А = 90º), используя теорему Пифагора ОО [pic] = [pic] , ОО [pic] = [pic] (см).
Ответ: 12 см.
Задача №20.
Площадь сечения шара плоскостью равна 64πсм². Радиус шара равен 17 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости сечения.
Решение.
[pic]
Пусть дан шар с центром в точке О. Сечение шара плоскостью – круг с центром в точке О [pic] . Так как центр О [pic] этого круга есть основание опущенного на него перпендикуляра ОО [pic] , то ОО [pic] - расстояние от центра шара до заданного сечения. По условию площадь сечения [pic] .
Проведем радиус ОА = R, где А – точка, принадлежащая окружности сечения. По условию ОА = 17 см.
Площадь сечения [pic] , где r = О [pic] А – радиус круга с центром в О [pic] . По условию [pic] , значит [pic] , О [pic] А²=64, О [pic] А= 5 см (О [pic] А>0).
Из ∆ОО [pic] А ( [pic] ОО [pic] А = 90º), используя теорему Пифагора ОО [pic] = [pic] , ОО [pic] = [pic] (см).
Ответ: 15 см.
