Конспект урока решения ключевых задач по теме Уравнение касательной к графику функции

Автор публикации:

Дата публикации:

Краткое описание: Конспект урока решения ключевых задач по теме «Уравнение касательной к графику функции» Тип урока: урок решения ключевых задач Цели урока: - выявить ключевые задачи по теме: «Уравнение касательной к графику функции»; - формировать умения распознавать, решать и составлять �...

Учитель математики Юлия Кузьмина

Конспект урока решения ключевых задач по теме «Уравнение касательной к графику функции»



Тип урока: урок решения ключевых задач


Цели урока:

- выявить ключевые задачи по теме: «Уравнение касательной к графику функции»;

- формировать умения распознавать, решать и составлять различные задачи на основе ключевых.



План урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть

1. Актуализация опорных знаний.

2. Постановка цели урока.

II. Операционно-познавательная часть

  1. Решение ключевых задач (№1–4) на составление уравнения касательной.

  2. Обобщение ключевых задач

  3. Обучающая самостоятельная работа: распознавание, решение и составление задач на основе ключевых.

III. Рефлексивно-оценочная часть

  1. Подведение итогов урока.

  2. Выдача домашнего задания.




Ключевые задачи

по теме «Уравнение касательной к графику функции».

№1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х = 2.

№2. Составьте уравнение той касательной к графику функции , которая параллельна прямой у =1 – 3х.

№3. К графику функции проведите касательную так, чтобы она составляла с осью Ох угол 45о.

№4. Дан график функции .

а) Составьте уравнение касательной к этому графику, проведенной в некоторой точке а.

б) Проведите касательную к графику функции , проходящую через точку А(–2; –3).


Ход урока:

I. Мотивационно-ориентировочная часть

1. Актуализация опорных знаний.


- Как вы понимаете термин «касательная»?

- Что такое угловой коэффициент касательной?

- Как влияет угловой коэффициент прямых на взаимное расположение прямых?

- Расставьте этапы алгоритма составления уравнения касательной в правильном порядке.

2. Постановка цели урока.





II. Операционно-познавательная часть

1.Решение ключевых задач (№1–4) на составление уравнения касательной.

В ходе поиска способа решения каждой задачи составляется план ее решения. Он записывается учащимися в отдельную тетрадь «Основные виды задач, алгоритмы и методы их решения»

№1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х = 2.

Аналитическое задание функции;

абсцисса точки касания.

Что требуется сделать?

Составить уравнение касательной

Поиск решения задачи

Как составить уравнение касательной, зная уравнение функции и точку касания?

По алгоритму

Каков план решения задачи?

План решения задачи:

  1. Обозначить абсциссу точки касания буквой а.

  2. Вычислить f(a).

  3. Найти и вычислить .

  4. Подставить найденные числа а, f(a), в формулу.

Какой первый шаг?


Для данной задачи

Обозначить абсциссу точки касания буквой а.

а = 2

Второй шаг

Вычислить f(a).

f(a) = 22 + 4*2 = 12.

Третий шаг

Найти и вычислить .

; = 2*2 + 4 = 8.

Четвертый шаг

Подставить найденные числа а, f(a), в формулу

у = 12 + 8 (х – 2); у = 8х – 4

Получили ответ?

Да. Искомое уравнение касательной у = 8х – 4




Решение:

  1. а = 2.

  2. f(a) = 22 + 4*2 = 12.

  3. ; = 2*2 + 4 = 8.

  4. у = 12 + 8 (х – 2); у = 8х – 4.

Ответ: у = 8х – 4.


№2. Составьте уравнение той касательной к графику функции , которая параллельна прямой у =1 – 3х.


Аналитическое задание функции;

прямая, параллельная касательной.

Что требуется сделать?

Составить уравнение касательной

Поиск решения

Как можно составить уравнение касательной?

По алгоритму

Что нужно знать, чтобы воспользоваться алгоритмом?

Аналитическое задание функции и точку касания.

Все ли нам известно?

Нет. Неизвестна точка касания

Какими данными задачи воспользуемся, чтобы найти точку касания?

Касательная параллельна прямой у =1 – 3х

Что означает, что прямые параллельны?

Их угловые коэффициенты равны

Сделайте вывод об угловом коэффициенте касательной.

k = – 3

Итак, угловой коэффициент касательной равен – 3. С другой стороны чему равен угловой коэффициент касательной?

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания.


Что мы обозначим за а?

Абсциссу точки касания

С одной стороны, угловой коэффициент касательной равен – 3, с другой стороны он равен значению производной функции в точке касания.

Какое уравнение можно составить?

f’(a) = – 3


f’(a) = – 3

= -3

a = ±1

Что означает, что мы получили два значения числа а?

Это означает, что условию задачи удовлетворяют две касательные с точками касания 1 и – 1

Можем ли мы составить уравнение касательной, проведенной в точке 1?

Да. По алгоритму.

Можем ли мы составить уравнение касательной, проведенной в точке -1?


Да. По алгоритму.

Какой план решения задачи?

План решения задачи:

1) Найти точку касания из уравнения kкас = f’(a).

2) Составить уравнения касательных по алгоритму.

Затем учащиеся самостоятельно составляют уравнения обеих касательных


Решение:

1) Найдем точку касания:

kкас = – 3, т. к. касательная параллельна прямой у =1 – 3х

kкас = f’(a)

;

; a = ±1.

2) Составим уравнения касательных:


а) 1. а = 1.

  1. f(a) = = 3.

  2. = – 3

  3. у = 3 + (– 3)(х – 1); у = –3х + 6


б) 1. а = – 1.

  1. f(a) = = – 3.

  2. = – 3

  3. у = – 3 + (– 3)(х + 1); у = –3х – 6

Ответ: у = –3х + 6; у = –3х – 6


№3. К графику функции проведите касательную так, чтобы она составляла с осью Ох угол 45о.


Аналитическое задание функции;

угол наклона касательной.

Что требуется сделать?

Составить уравнение касательной


Поиск способа решения задачи

Как можно составить уравнение касательной?

По алгоритму

Что нужно знать, чтобы воспользоваться алгоритмом?

Аналитическое задание функции и точку касания.

Все ли нам известно?

Нет. Неизвестна точка касания

Какими данными задачи воспользуемся, чтобы найти точку касания?

Касательная составляет с осью Ох угол 45о.

Что вы знаете об угле наклона касательной?

Тангенс угла наклона касательной равен значению производной в точке касания

tgα = f’(a), а – точка касания

Что можем найти из этого уравнения?

Точку касания

Затем сможем составить уравнение касательной по алгоритму?

Да

Составьте план решения задачи.

План решения задачи:

1) Найти точку касания из уравнения tgα = f’(a), а – точка касания

2) Составить уравнение касательной по алгоритму.


Решение:

1) Найдем точку касания:

tgα = f’(a); tg45 = 1;

;

; a = 9;

2) Составим уравнение касательной:

1. а = 9.

  1. f(a) = .

  2. = .

  3. у = 18 +1(х – 9); у = х + 9.

Ответ: у = х + 9.



1) Найти точку касания.

2) Составить уравнение касательной по алгоритму.

Чем отличаются решения этих задач?

Точка касания находится из разных уравнений.




№4. Дан график функции .

а) Составьте уравнение касательной к этому графику, проведенной в некоторой точке а.

б) Проведите касательную к графику функции , проходящую через точку А(–2; –3).




№4 (а)

1) Аналитическое задание функции;

2) точка касания а.

Что требуется сделать?

Составить уравнение касательной

Поиск способа решения задачи

Как можно составить уравнение касательной?

По алгоритму

Что нужно знать, чтобы воспользоваться алгоритмом?

Аналитическое задание функции и точку касания.

На какую ключевую задачу похожа эта задача?

На задачу №1

В чем их отличие?

В задаче №1 известно число – абсцисса точки касания, а в задаче №4а) точка касания обозначена буквой а

Чем будет отличаться решение этой задачи от задачи №1?

Будем решать в общем виде, т.е. не вычислять значения, а выражать их через а.

План решения задачи

План:

  1. Абсцисса точки касания: а.

  2. Выразить через а f(a).

  3. Найти и выразить через а .

  4. Подставить найденные выражения а, f(a), в формулу.


Решение:

а) 1. а – точка касания.

2. f(a) = 3 – 2а2.

3. = – 4х; = – 4а.

4. у = 3 – 2а2 + (– 4а)(х – а); у = – 4ах + 2а2 + 3.

Ответ: у = –4ах + 2а2 + 3 - уравнение касательной, проведенной в точке х = а.




№4 (б)

Аналитическое задание функции;

точка, через которую проходит касательная.

Что требуется сделать?

Составить уравнение касательной

Поиск способа решения задачи

Как можно составить уравнение касательной?

По алгоритму

Что нужно знать, чтобы воспользоваться алгоритмом?

Аналитическое задание функции и точку касания.

Является ли точка А точкой касания?

Нет. А(– 2; – 3) не принадлежит графику функции, значит это не точка касания.

Можем ли мы составить уравнение касательной по алгоритму?

Нет. Неизвестна точка касания

Как следует поступить в этом случае?

Сначала найти точку касания, а затем по алгоритму составить уравнение касательной

Какими данными задачи воспользуемся, чтобы найти точку касания?

Касательная проходит через точку А(– 2; – 3)

Достаточно ли этой информации, чтобы найти точку касания?

Нет.

Что означает, что прямая проходит через точку А(– 2; – 3)?

Это означает, что координаты точки А удовлетворяют уравнению прямой.

Знаем ли мы общий вид этого уравнения?

Да. у = –4ах + 2а2 + 3

Как, зная общий вид уравнения и точку, через которую проходит прямая, найти точку касания а?

Подставить в общий вид уравнения координаты точки А, решить уравнение относительно переменной а.

Затем сможем составить уравнение касательной?

Да, по алгоритму

Обязательно ли использовать алгоритм? Что мы уже знаем о касательной?

Точку касания, точку А, через которую проходит касательная, общий вид уравнения касательной

Как можно составить уравнение без помощи алгоритма?

Подставить значение а в общий вид уравнения

Составьте план решения задачи.

План решения задачи:

1) Найти точку касания из уравнения у = –4ах + 2а2 + 3, подставив вместо х и у координаты точки А

2) Составить уравнение касательной, подставив значение а в общий вид уравнения.


Решение:

б) 1) у = –4ах + 2а2 + 3 – общий вид уравнения касательной (из №4(а))

Так как А(– 2; – 3) принадлежит графику касательной, то ее координаты удовлетворяют уравнению.

– 3 = –4а(– 2) + 2а2 + 3

2а2 + 8а + 6 = 0

а1 = –3; а2 = – 1.

2) Составим уравнения касательных:

у = – 4(–3)х + 2 (– 3)2 + 3; у = 12х + 21;

у = – 4(–1)х + 2 (– 1)2 + 3; у = 4х + 5.

Ответ: у = 12х + 21; у = 4х + 5.



Каким станет план решения ключевой задачи №4(б)?

План решения задачи:

1. Составить общий вид уравнения касательной по алгоритму.

2. Найти точку касания.

3. Составить уравнение искомой касательной.






2. Итак, вспомним все ключевые задачи (они записаны в отдельную тетрадь)

План:

1.Обозначить абсциссу точки касания буквой а.

2.Вычислить f(a).

3.Найти и вычислить .

4.Подставить найденные числа а, f(a), в формулу.

План:

1)Найти точку касания из уравнения kкас = f’(a).

2) Составить уравнения касательных по алгоритму.

План:

1) Найти точку касания из уравнения tgα = f’(a), а – точка касания

2) Составить уравнение касательной по алгоритму.

План:

1. Составить общий вид уравнения касательной по алгоритму.

2. Найти точку касания.

3. Составить уравнение искомой касательной.



- Что общего в этих ключевых задачах? (это задачи на составление углового коэффициента касательной)

- Чем они отличаются? (известны разные данные)

- Задачи с какими известными данными мы будем решать по алгоритму задачи №1? (функция и точка касания)

- задачи №2 (функция и прямая, параллельная касательной)

- задачи №3 (функция и угол наклона касательной)

- задачи №4 (функция и точка касательной, отличная от точки касания)



3.Обучающая самостоятельная работа:

№1. Выберите, какие из предложенных задач можно решить с помощью:

а) ключевой задачи №1;

б) ключевой задачи №2;

в) ключевой задачи №3;

г) ключевой задачи №4.

№2. Решите по одной из каждой группы

№3. Составьте по одной своей задаче для каждой ключевой.

Слайд 1.

а) Составьте уравнение той касательной к графику функции , которая параллельна прямой y = 5 – 2x.

б) Составьте уравнение касательной к графику функции проходящей через точку В (2; –3).

в) Проведите касательную к графику функции у = sin x в точке с абсциссой .

г) Какая прямая касается графика функции в точке 0?

д) Проведите касательную к графику функции , параллельную прямой у = 6

е) Какая из касательных к графику функции наклонена к оси Ох под углом 60о?

ж) Прямая проходит через точку А (0, –3) и касается параболы у = х2 + 1. Составьте уравнение этой прямой.

з) Составьте уравнение касательной к графику функции , образующей с осью Ох угол 135о.


III. Рефлексивно-оценочная часть

  1. Подведение итогов урока

- Какой вид задач сегодня решали?

- Что нужно знать, чтобы составить уравнение касательной?

- По какому плану составляем уравнение касательной, если известна функция и точка касания (функция и угол наклона касательной; функция и прямая, параллельная касательной; функция и точка касательной, отличная от точки касания)?

2. Домашнее задание:

а) распределить задачи №823 – 837, 840 – 846 учебника по ключевым;

б) решить из каждой группы по две задачи;

в) составить по одной задаче на каждую группу.

3. Выставление отметок



Методические замечания по работе с системой задач

по теме: «Уравнение касательной»

На тему «Уравнение касательной к графику функции» отводится всего два часа. На следующем уроке (отработки решения ключевых задач) предлагаются задачи, решение которых включает в себя несколько ключевых, требуют привлечения изученного ранее материала, а также задачи, обратные ключевым. Частью домашнего задания к этому уроку будет поиск разнообразных задач по данной теме в дополнительных источниках (журналы, материалы для подготовки к ЕГЭ, другие учебники). Все найденные задачи также заносятся в папку «Применение производной для составления касательной». Сильные ученики решают их в процессе изучения темы. Они могут консультироваться друг с другом, а также индивидуально с учителем. В конце темы на уроке обобщения наиболее интересные задачи можно рассмотреть в классе. Также задачи могут использоваться при проведении недели математики, олимпиад.


5
Читать полностью »