Секция математики
Математический бой за квадратные уравнения,
содержащие параметр.
(8 класс)
Выполнила: Разумкова А. Ф.
Саров
Тема: Квадратные уравнения с параметрами.
Знание - самое превосходное из
владений. Все стремятся к нему, само
же оно не приходит. ( Ал- Беруни).
Решение уравнений с параметрами – практическое искусство, подобно плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано, научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь.
Мышление, как учит психология, начинается там, где нужно решить ту или иную задачу. Умение мыслить последовательно, рассуждать доказательно не приходит само по себе, это умение развивает наука логика. Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение.
Начинать знакомить учащихся с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике.
Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.
Решить уравнение с параметром означает:
1) определить при каких значениях параметров существуют решения;
2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений. Существуют и другие формы условий задач с параметрами – исследовать уравнение, определить количество решений, найти положительные решения и др.
Правила ведения боя
( класс делится на команды)
Команды по очереди вызывают друг друга на решение задач ( задачи за неделю были вывешены в классе на стенде ). Стоимость каждой задачи
оценивается в «денежных единицах» - талантах.
Ход боя.
Например, первая команда вызывает вторую на решение какой-то задачи. На кон ставится стоимость этой задачи. В случае, если вторая команда дает правильное решение, она получает себе стоимость этой задачи и право следующего вызова. В случае, если она задачу не решает, она платит штраф в половину стоимости задачи. В этом случае решение может дать (по ее желанию) третья команда. За правильное решение она получает весь выигрыш и право следующего вызова, если же она решения не знает, то платит штраф в стоимость этой задачи. Решения уравнений все участники записывают в тетрадь.
Задачи, предлагавшиеся на математический бой.
№1 (4 таланта). x²– 2 (a – 3 ) x +a +9 =0
1. При каких a уравнение x²– 2 (a – 3 ) x +a +9 =0 не имеет корней.
При каких a уравнение x²– 2 (a – 3 ) x +a +9 =0 имеет x1 > 0, x2 < 0.
3. При каких a уравнение x²– 2 (a – 3 ) x +a +9 =0 имеет x1 >1, x2 >1
4. При каких a уравнение x²– 2 (a – 3 ) x +a +9 =0 имеет x1 >-2, х2 [pic] < -2
5. При каких a f(x) < 0 для всех 1 < x < 2.
Решение. Найдем дискриминант уравнения: Д = (a-3) ² – a – 9 = = a ( a – 7).
1) a ( a – 7) < 0
0 < a < 7.
2) a + 9 < 0
[pic] a < - 9.
1). f(1) = 1 – 2a + 6 +a +9=16 - a 16 – a > 0,
3) f (1) > 0, [pic] (1) 2). -b/ 2a = a – 3 a – 3 >1,
D > 0, (2) 3). D = a (a - 7) a (a – 7) >0;
a (a – 7) >0; (3)
[pic]
[pic] a > 7,
a < 0, 7 < a < 16.
a < 16,
a > 4;
4) f(- 2) < 0
F(- 2) = 4 + 4a – 12 + a + 9 = 5a + 1
5a + 1 < 0
a <- 0,2 .
[pic] [pic] [pic] [pic] 5) f( 1) ≤ 0, f(1) = 16 – a, 16 – a ≤ 0, a ≥ 16, a ≥ 16,
a ≥ 16.
f(2) ≤ 2, f(2) =25 -3a, 25 – 3a ≤ 0, a ≥ 25/3, a ≥ 25/3;
Ответ: при 0 < a < 7;
при a < - 9;
при 7 < a < 16;
при a < - 0,2;
при a ≥ 16.
№ 2 (2таланта).При каких a уравнение ax² + x – 5 = 0 имеет единственное решение?
Решение. 1) Если a = 0, то уравнение является линейным и примет вид: х –5= = 0, х = 5 единственный корень.
2) Если a ≠ 0, то уравнение квадратное и имеет единственное решение, если Д = 0.
Найдем дискриминант: Д = 1 + 20a , 1 + 20a = 0, a = - 0,05.
Ответ: при a = 0, a = -0, 05 уравнение ax² + x – 5 = 0 имеет единственное решение.
№ 3 (4таланта). Найдите все значения параметра а, при которых больший корень уравнения х² – (8а – 7)х + 16а²- - 28а = 0 в 10 раз больше, чем его меньший корень.
Решение. Найдем дискриминант: Д = (8а – 7) ² – 4(16а² – 28а) =64а2 -112а+ +49 -64а² +112а = 49 , 49 > 0
x1 = (8a – 7 + 7): 2 = 4a
x2 = (8a – 7 – 7): 2 =4a -7
По условию х1 = 10х2, 4а = 40а – 70, 36а = 70, а = 35/18;
х2 = 10х 1 ,40а = 4а -7, 36а = - 7, а= – 7/36.
Ответ: при а = - 7/36, а = 35/18 больший корень уравнения
x² – (8а-7)x + 16а² –28а = 0 в 10 раз больше, чем его меньший корень.
№4 (5 талантов). Решить уравнение (а² – в²)х² – 2ах + 1 = 0
Решение.
Если а =0, в =0, то уравнение примет вид: 0х + 1 = 0, решений нет;
Если а = в ≠ 0, то уравнение является линейным: -2ах + 1 = 0, х = 1/2а – единственный корень.
Если а² – в² ≠ 0, т. е. а ≠ в, то уравнение квадратное
Найдем дискриминант: Д/4 = а² – (а² – в²) = в²
х1,2 = ( а + в )/ ( а - в )
х1 = 1/(а – в), х2 = 1/(а+в)
4. При в = 0, Д = 0, уравнение имеет один корень х =1/ а (а ≠ 0).
Ответ: при а = в ≠ 0, х = 1/2а;
при а ≠ 0, в = 0, х = 1/а ;
при а = 0, в = 0, решений нет;
при а² ≠ в², в ≠ 0, х1 =1/(а – в), х2 = 1/(а + в).
№5.(6 талантов). Найдите все значения параметра a, при которых корни уравнения (х – 2а)2 + (х – 4a )2 = 242 симметричны относительно точки х = - 3.
Решение. Преобразуем уравнение
x2 – 4ах + 4а2 + x2 – 8ах + 16 а2 = 242,
x2 – 6ах + 10 а2 – 121 = 0
Так как х1 = - 3 + t,
х2= - 3 – t,
то х1 + х2= - 6, но по теореме Виета х1 + х2 = 6а.
Значит, – 6 = 6а, т. е. а = - 1
Проверка: при а = -1 уравнение примет вид: x2 + 6х – 111 = 0
Д = 120
х1 = - 3 + √120
х2 = - 3 – √120, значит, корни симметричны относительно числа – 3.
Ответ: при а = - 1 корни уравнения (х – 2а)2 + (х – 4a )2 = 242 симметричны относительно точки х = - 3.
Правильность выполнения заданий учитель оценивает по ходу урока. Результатом оценок могут быть как оценки, выставленные в журнал так и специальные призы (ластик, карандаш и др.).
Домашнее задание: Найдите все значения параметра а, при которых больший корень уравнения х² – (20а – 3)х +100а -30а = 0 в 6 раз больше, чем его меньший корень.
Ответ: при а = - 0, 06, а = 0,36 больший корень уравнения х2 – (20а – 3)х + 100а2 – 30а = 0 в 6 раз больше, чем его меньший корень.
