МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«СРЕДНЯЯ ШКОЛА №8» ГОРОДА СМОЛЕНСКА
Конспект урока по теме:
«Свойства и признаки прямоугольника»
разработан учителем математики
Нефедовой Е.В.
2016 г.
Свойства и признаки прямоугольника
Загадка
И у меня равны диагонали,
Хочу сказать я, хоть меня не называли.
И хоть я не зовусь квадратом,
Он мне приходится родимым братом.
Определение
Параллелограмм - это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства
Так как прямоугольник является параллелограммом, то все его свойства параллелограмма будут у прямоугольника. А именно, диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам; противолежащие стороны равны. А также есть особенные свойства
Биссектриса любого угла отсекает от него равнобедренный прямоугольный треугольник
Дано: ABCD - прямоугольник
AK - биссектриса
Доказать: ABK - равнобедренный
Доказательство
Т.к. AK – биссектриса ∟A, то ∟1=∟2
Так как BC//AD (ABCD параллелограмм), то ∟2=∟3 – внутренние накрест лежащие при BC параллельной AD, секущая AK
Так как ∟3=∟2=∟1, то ∟3=∟1
Треугольник ABK: ∟B=90, ∟1=∟3=45, значит ABK – равнобедренный (по признакам) прямоугольный
Диагонали прямоугольника равны (теорема 6.6)
Диагонали прямоугольника делят его на две пары равнобедренных треугольников
Дано: ABCD - прямоугольник
ABBD=O
Доказать: AOB=COD – как равнобедр.
Доказательство
Так как ABCD – прямоугольник, то есть параллелограмм, то ABBD=O, так что AO=OC=BO=OD
AOB=COD по двум сторонам и углу между ними:
AO=OC=BO=OD
∟1=∟2 – вертикальные
Биссектрисы соседних углов перпендикулярны, а противолежащие – параллельны (как у параллелограмм)
Признаки
Если в параллелограмме один угол прямой, то этот параллелограмм – прямоугольник
Дано: ABCD - параллелограмм
∟A=90
Доказать: ABCD - прямоугольник
Доказательство
Так как ABCD – параллелограмм, то ∟A=∟С=90 и ∟A+∟B=180 - соседние, значит ∟B=∟D=90
Если в параллелограмме соседние углы равны, то этот параллелограмм – прямоугольник
Дано: ABCD - параллелограмм
∟A=∟B
Доказать: ABCD - прямоугольник
Доказательство
Так как ABCD – параллелограмм, то ∟A=∟С и ∟B=∟D, то есть ∟A+∟B=180 и ∟С+∟D=180
Значит, ∟A+∟B+∟С+∟D=360
Получили: ∟A=∟B=∟С=∟D=90
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллеограмм – прямоугольник
Дано: ABCD - параллелограмм
AC=BD
Доказать: ABCD - прямоугольник
Доказательство
Так как ABCD – параллелограмм, то AB=CD, BC=AD, ∟A+∟B=180
ABC=BAD по трем сторонам:
AB – общая
BC=AD
AC=BD
Значит, ∟B=∟A
Так как ∟A+∟B=180, ∟B=∟A=90
Значит, ABCD - прямоугольник