Образовательная программа «Решение текстовых задач арифметическими
и алгебраическими приемами» ,
8 класс
Пояснительная записка
Данный курс для предпрофильной подготовки учащихся вплотную примыкает к основному курсу математики. Курс развивает систему ранее приобретенных программных знаний, углубляет и расширяет курс математики основной школы. Его цель - создать целостную систему знаний и способов получения знаний (умений) в решении текстовых задач различными приемами (арифметическими, логическими, алгебраическими); способствовать овладению учащимися различными стратегиями задач, расширить спектр задач, посильных для учащихся.
Организация учебного процесса предусматривает рассмотрение методических подходов к обучению учащихся решению текстовых задач, являющихся сложным учебным заданием для большинства учащихся. Большинство задач в учебниках математики, алгебры выходят за рамки обязательного уровня. Поэтому нужен системный подход к обучению учащихся решению текстовых задач. Учащиеся встречаются с трудностями в решении задач «на смеси», «сплавы», «концентрацию», многих задач на проценты, на сложные проценты, на пропорциональное деление, комбинаторных задач, задач на совместную работу (задачи на «бассейны»).
На решение текстовых задач на уроках требуется много времени, чтобы в полной мере создать условия учащимся для осмысления содержания задачи, анализа величин в условии, установления взаимных связей между величинами. Практически на уроке удается решить одну-две задачи. Текстовые задачи разных типов включены в экзаменационные работы на итоговой аттестации не только на уровне обязательной подготовки, но и на повышенном уровне, а также в контрольные измерительные материалы ЕГЭ, в конкурсные экзамены в высших и средних учебных заведениях.
Решение задач является средством обучения и средством развития интеллектуальных качеств учащихся, имеет большую практическую значимость, вызывает интерес, дает возможность познакомиться с различными практико-ориентированными задачами.
Предлагаемый предметный курс по выбору будет способствовать повышению математической подготовки учащихся, самоопределению в выборе профиля обучения, уточнению готовности и способности ученика осваивать выбранный курс на повышенном уровне.
Учебный план
№ п/п Наименование разделов
Всего часов
1
Текстовые приемами
задачи, решаемые арифметическими (логическими)
8
2
Текстовые грессии
задачи на арифметическую и геометрическую про-
6
3
Текстовые
задачи, решаемые алгебраическими приемами
14
Итого:
28
Содержание программы
/. Текстовые задачи, решаемые арифметическими (логическими) приемами.
Рассматриваются методические подходы к решению задач на части, заданные в явном виде и на части, заданные в неявном виде. Задачи этого типа являются в некотором плане подготовительными задачами к решению задач на «сплавы», на «смеси». Решаются задачи на проценты, пропорции, смеси и сплавы. Обращается внимание на решение задач логическими приемами (метод уравнивания, нахождение чисел по их сумме и разности и др.). При анализе и записи условия задачи используются схемы, таблицы, диаграммы, рисунки и др. Рассматриваются способы решения комбинаторных задач (используется метод перебора, дерево возможных вариантов). Этот вид задачи является новым для массовой школы.
Особое внимание следует уделить типу задач на совместную работу (задачи «на бассейны»), т.к. именно этот тип задач вызывает больше всего затруднений. Выстраивается цепочка подготовительных задач. Рассматриваются стратегии решения этих задач.
2. Текстовые задачи на арифметическую и геометрическую прогрес
сию.
В курсе алгебры 9-го класса на основе определения, свойств арифметической и геометрической прогрессии и формул решаются задачи обязательного уровня. В сборнике для экзаменов по алгебре в 9-м классе содержатся задачи повышенного уровня. В учебниках алгебры и начал анализа нового поколения, в сборниках учебно-тренировочных материалов к ЕГЭ по математике и в контрольных измерительных материалах содержатся задачи, основа решений которых закладывается в курсе алгебры 9-го класса.
3. Текстовые задачи, решаемые алгебраическими приемами.
В этом блоке рассматриваются методы решения задач с помощью линейного уравнения, систем уравнений; решаются задачи на «смеси», «сплавы», «концентрацию», на движение; решаются задачи с помощью дробно рациональных уравнений, квадратных уравнений. Следует выделить задачи, решаемые составлением линейного неравенства, квадратного неравенства. Этих задач не достаточно в учебниках алгебры.
Учебно-тематический план
№ Наименование разделов, тем
Кол-во
п/п
ч^сов
1
Текстовые задачи, решаемые арифметическими (логическими
8
приемами)
1.1
Решение задач на части, заданные в явном виде; на части, за-
1
данные в неявном виде
1.2
Задачи на проценты, пропорции, сплавы, смеси
2
1.3
Задачи на совместную работу (задачи на «бассейны»)
3
1.4
Комбинаторные задачи
2
2
Текстовые задачи на арифметическую и геометрическую про-
6
грессии
3
Текстовые задачи, решаемые алгебраическими приемами
14
3.1
Решение задач с помощью линейного уравнения, систем урав-
6
нении, в том числе задач на проценты, смеси, сплавы, концен-
трацию
3.2
Решение задач с помощью квадратного уравнения, дробно ра-
4
ционального уравнения
3.3
Решение задач с помощью линейного и квадратного неравенст-
2
ва
3.4
Итоговое занятие.
2
•Сонференция «Разные задачи в реальных ситуациях практиче-
ской деятельности человека и в быту»
Список литературы
Виленкин, Н.Я. [и др.]. Математика [Текст]: учебное пособие для 5 кл. /
Н.Я. Виленкин. - М., 2003.
Виленкин, Н.Я. [и др.]. Математика [Текст]: учебное пособие для 6 кл. /
Н.Я. Виленкин. - М., 2003.
Учебно-методический комплект «Математика» для 5 кл. [Текст] / под
ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарагина. - М.: Просвещение. - 2004.
Учебно-методический комплект «Математика» [Текст] / под ред.
Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарагина. - М.: Просвещение. - 2004.
Учебно-методические комплекты «Математика» для 7, 8, 9 кл. [Текст] /
под ред. Г.В. Дорофеева - М.: Дрофа. - 2002.
Шевкин, А.В. Обучение решению текстовых задач в 5-6 кл. [Текст] /
А.В. Шевкин. - М.: Галс-плюс, 1998.
Кузнецова, Л.В. [и др.]. Сборник заданий для проведения письменного
экзамена по алгебре в 9 кл. [Текст] /Л.В. Кузнецова. - М.: Дрофа, 2002.
Алимов, Ш.А. [и др.]. Алгебра [Текст]: учебно-методический комплект
для 7, 8, 9 кл. / Ш.А. Алимов. - М.: Просвещение, 2002.
Колягин, Ю.М. [и др.] Алгебра и начало анализа [Текст]: учебное посо
бие для 10-11 кл. / Ю.М. Колягин. - М.: Просвещение, 2006.
Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебно-
методический комплект для 10-11 кл. / А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина,
2001.
Никольский, С.М. [и др.]. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебное
пособие для 10-11 кл. / С.М. Никольский, М.К. Потапов - М.: Просвещение.-
2004.
Макарычев, Ю.Н. [и др.]. Алгебра [Текст]: доп. главы к школьному
учебнику 8 кл. / Ю.Н. Макарычев. - М.: Просвещение, 1998.
Макарычев, Ю.Н. [и др.]. Алгебра [Текст]: доп. главы к школьному
учебнику 8 кл. / Ю.Н. Макарычев. - М.: Просвещение, 2000.
Кузнецова, Л.В. Сборник для подготовки к экзамену по алгебре в
9 классе [Текст] / Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова. - М.: Просвещение, 2006.
Образовательная программа «Методы решения текстовых задач на движение»
8 класс
Пояснительная записка
Данный курс тесно связан с основным курсом математики, развивает систему ранее приобретенных программных знаний, углубляет и расширяет курс математики основной школы. Его цель - создать целостную систему знаний и способов получения знаний (умений) в решении текстовых задач различными приемами (арифметическими, логическими).
Организация учебного процесса предусматривает рассмотрение методических подходов к обучению учащихся решению текстовых задач на движение. Текстовые задачи - традиционно трудный материал для значительной части школьников. Во многом это связано с необходимостью четкого осознания различных соотношений между описываемыми в тексте задачи объектами. Этот курс реализует подход поэлементного обучения решению текстовых задач, рассматривает основные сюжетные варианты.
На решение текстовых задач на уроках требуется много времени, чтобы в полной мере создать условия учащимся для осмысления содержания задачи, анализа величин в условии, установления взаимных связей между величинами. Практически на уроке удается решить одну-две задачи. Текстовые задачи разных типов включены в экзаменационные работы на итоговой аттестации не только на уровне обязательной подготовки, но и на повышенном уровне, а также в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ, в конкурсные экзамены в высших и средних специальных учебных заведениях.
В решении задач применяется теория и тем самым она познаётся. Изучать математику, не решая задач, совершенно бесполезно. Без решения задач нельзя усвоить теорию, как нельзя научиться плавать, ограничиваясь чтением учебника по плаванию.
Учебный план
№ п/п Наименование разделов
Всего часов
1
Текстовые задачи на движение, решаемые арифметическими приёмами
2
2
Текстовые задачи на движение, решаемые алгебраическими приёмами
6
Итого:
8
Содержание программы
1. Решение текстовых задач на движение арифметическими приёмами.
Рассматриваются методические подходы к решению задач на движение. При анализе и записи условия задачи используются схемы, таблицы, рисунки. Объясняется выполнение каждого действия задачи, обращается внимание на единицы измерения величин и переход от одних единиц измерения к другим, на что дети должны обратить внимание в повседневной практической жизни.
2. Решение текстовых задач на движение алгебраическими приёмами.
В этом блоке рассматриваются методы решения задач на составление линейного уравнения, систем уравнений, дробно-рациональных уравнений. Рассматриваются задачи на движение по реке и по окружности.
Учебно-тематический план
№ п/п
Кол-во часов
Наименование разделов, тем
Текстовые задачи на движение, решаемые арифметическими приёмами.
1.1 1.2
Решение задач на движение в одном направлении.
Решение задач на встречное движение
Текстовые задачи на движение, решаемые алгебраическими приёмами.
2.1
2.2 2.3 2.4
Решение задач на движение с помощью составления уравнений и систем уравнений. Решение задач на движение по реке. Решение задач на движение по окружности. Итоговое занятие. Семинар «Методы решения сложных текстовых задач на движение»
Список литературы
Виленкин, Н.Я. [и др.]. Математика: учебное пособие для 5 кл. /
Н.Я. Виленкин. - М., 2003.
Виленкин, Н.Я. [и др.]. Математика: учебное пособие для 6 кл. /
Н.Я. Виленкин. - М., 2003.
Учебно-методические комплекты «Математика» для 5, 6 ,7, 8, 9 кл. /
под ред. Г.В. Дорофеева. - М.: Дрофа, 2002.
Кузнецова, Л.В. и др. Сборник заданий для проведения письменного
экзамена по алгебре в 9 кл. / Л.В. Кузнецова. - М.: Дрофа, 2002.
Симонов, А.Я. Система тренировочных задач и упражнений по мате
матике/А.Я. Симонов. —М.: Просвещение, 1991.
Лурье, М.В. Задачи на составление уравнений / М.В. Лурье,
Б.И. Александров. - М.: Наука, 1980.
Бурмистрова, Т.А. Задачи повышенной трудности по алгебре и нача
лам анализа / Т.А. Бурмистрова. - М.: Просвещение, 1998.
Содержание учебного материала
/. Текстовые задачи на движение, решаемые арифметическими приемами.
1.1. Решение задач на движение в одном направлении.
Из поселка в одном направлении одновременно выехали два велосипе
диста. Скорость одного из них 14,5 км/ч, а другого 13 км/ч. Какое расстояние
будет между ними через 2 часа?
За 2,4 ч. мальчик прошёл 7,2 км. Сколько километров пройдет мальчик
с той же скоростью за 1,6 ч?
3. Стрекоза и муха двигаются по прямой. Стрекоза догоняет муху, их ско
рости равны 1,2 м/с и 30 см/с. Через сколько секунд расстояние между насеко
мыми сокращается с 6,5 м до 20 см.?
1.2. Решение задач на встречное движение.
Из двух сел одновременно навстречу друг другу выехали автобус и
грузовик. Через 0,5 ч. они встретились. Каково расстояние между селами, если
скорость автобуса равна 60 км/ч, а скорость грузовика 48 км/ч?
Расстояние между дельфинами, плывущими навстречу друг другу, рав
но 44 км. Через какое время дельфины встретятся, если скорость одного из них
равна 50 км/ч, а скорость другого 60 км/ч?
Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу. Скорость
одного из них 5,1 км/ч и она больше скорости другого на 0,7 км/ч. Через 0,8 ч.
они встретились. Какое расстояние было между ними в начале пути?
2. Текстовые задачи, решаемые алгебраическими приемами.
2~1. Решение текстовых задач на движение с помощью уравнений и систем уравнений.
Сергей доехал на велосипеде от озера до деревни и вернулся обратно,
затратив на весь путь 1ч. До деревни он ехал со скоростью 15 км/ч, а на об
ратном пути его скорость была 10 км/ч. Чему равно расстояние от озера до де
ревни?
От города до поселка автомобиль доехал за 3 ч. Если бы он увеличил
скорость на 25 км/ч, то проехал бы это расстояние за 2ч. С какой скоростью
ехал автомобиль и чему равно расстояние от поселка до города?
Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух
пунктов, расстояние между которыми 30 км и встретились через 3 ч. Найдите
скорость каждого пешехода, если у одного она на 2км/ч меньше, чем у друго
го.
Во время путешествия Николай проделал путь 1100 км на самолете и
на автобусе. На самолете он пролетел расстояние в 4,5 раза больше, чем про
ехал на автобусе. Какое расстояние Николай пролетел на самолете?
За одно и тоже время велосипедист проехал 4 км, а мотоциклист -
10 км. Скорость мотоциклиста на 18 км/ч больше скорости велосипедиста.
Найдите скорость велосипедиста.
Путь от поселка до озера идет сначала горизонтально, а затем в гору.
Велосипедист, добираясь до озера и обратно, на горизонтальном участке пути
ехал со скоростью 12 км/ч, на подъёме — со скоростью 8 км/ч, а на спуске со
скоростью 15 км/ч. Путь от посёлка до озера занял у него 1 час, а обратный
путь - 46 минут. Найдите расстояние от поселка до озера.
2.2 Решение задач на движение по реке.
Лодка проплыла от одной пристани до другой против течения реки 4 ч.,
обратный путь занял у неё 3 ч. Скорость течения реки 1км/ч. Найдите собст
венную скорость лодки и расстояние между пристанями.
Моторная лодка за одно и то же время может проплыть 36 км против
течения реки или 48 км по течению. Найдите собственную скорость лодки, ес
ли скорость течения реки 2 км/ч.
Теплоход проплыл по течению 145 км за 5 ч. Сколько времени ему по
требовалось на обратный путь, если скорость течения 4,5 км/ч?
Теплоход шел по течению реки 2,5 ч, а против течения 3,2 ч. Какой
общий путь прошёл теплоход, если его собственная скорость 22 км/ч, а ско
рость течения 3 км/ч?
Рыболов отправляется на лодке от пристани против течения реки с на
мерением вернуться назад через 5 ч. Перед возвращением он хочет побыть на
берегу 2 ч. На какое расстояние он может отплыть, если скорость течения реки
2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?
Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке расстоя
ние, равное 15 км по течению и такое же против течения. Найдите скорость
течения реки, если время, затраченное на весь путь, равно 4 ч.
2.3. Решение задач на движение по окружности.
На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на
2 мин. быстрее другого и через час обогнал его ровно на круг. За сколько ми
нут каждый лыжник проходил круг?
На соревнованиях по картингу по кольцевой трассе один из картов
проходил круг на 5 минут медленнее другого и через час отстал от него ровно
на один круг. За сколько минут каждый карт проходил круг?
Часы спешат. По хронометру было установлено, что часовая и минут
ная стрелки догоняют друг друга через каждые 66 мин. На сколько минут в час
спешат часы?
По окружности длиной 60 м равномерно и в одном направлении дви
жутся две точки. Одна из них делает полный оборот на 5 сек быстрей другой.
При этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 мин. Определить
скорости точек.
Три гонщика стартуют одновременно из одной точки шоссе, имеющего
форму окружности, и идут в одном направлении с постоянными скоростями.
Первый гонщик впервые после старта догнал второго, делая свой пятый круг,
в точке, диаметрально противоположной старту, а через полчаса после этого
он вторично, не считая момента старта, обогнал третьего гонщика. Второй
гонщик впервые догнал третьего через 3 часа после старта. Сколько кругов в
час делает первый гонщик, если второй гонщик проходит круг менее чем за
двадцать минут.
2.4. Итоговое занятие. Семинар «Методы решения сложных текстовых
задач на движение».
Учащиеся подготавливают к уроку разные задачи. Решаются текстовые задачи более сложные, уровня конкурсных задач. Эти задачи решаются алгебраическими приемами на оставление уравнений, систем уравнений.
Образовательная программа «Текстовые задачи в школьном курсе математики»
9 класс
Пояснительная записка
Программа курса разработана на основе образовательной программы для общеобразовательных учреждений по математике, утвержденной Министерством образования РФ, в соответствии со стандартом математического образования и оценки качества подготовки выпускников основной школы.
Основанием для введения курсов по выбору для учащихся 9-х классов по различным темам математики стало несоответствие между целями обучения и содержанием действующей программы, т.к. объем содержания некоторых тем либо не соответствует времени, отведенному на их изучение, либо изучение некоторых тем в основной школе программой не предусмотрено.
В частности, решение текстовых задач - это приоритет основной школы. Текстовые задачи содержатся во всех учебниках математики и алгебры и разбросаны по учебнику небольшими порциями. Данный курс по выбору предусматривает систематизацию всех знаний и умений, полученных в основной школе, а также рассмотрение некоторых типов задач и способов их решений, не рассмотренных ранее. Текстовые задачи включаются как в экзамен обязательной итоговой государственной аттестации выпускников основной школы, так и в единый государственный экзамен по математике для выпускников старшей ступени образования.
Цели курса:
знакомство учащихся с историческими задачами, со старинными задача
ми, с задачами разных стран мира;
овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для
применения их в процессе решения задач разных типов;
интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления,
характерных для математической деятельности и необходимых для оценки
жизненных ситуаций;
формирование алгоритмического мышления, умений действовать по за
данному алгоритму и конструировать новые; развитие творческой и приклад
ной сторон мышления;
подготовка учащихся к итоговой аттестации за курс основной и средней
(полной) школы в условиях модернизации российского образования.
Особое внимание на занятиях планируется уделить методическим подходам к обучению учащихся решению текстовых задач арифметическим способом и алгебраическим способом. В решении задач широко будут использоваться рисунки, схемы, таблицы и др. способы и приемы. Заключительное занятие планируется провести в форме конкурса задач, на котором учащиеся должны продемонстрировать свои умения решать задачи разными способами. Планируется провести конкурс задач из жизненных ситуаций и практической жизни человека. По итогам конкурса возможно оформить сборник задач.
Программа курса рассчитана на второе полугодие (1 час в неделю, всего 17 часов).
Тематическое планирование курса
№ модуля Содержание учебного материала
Кол-во
часов
Модуль 1
Задачи на движение:
3
- задачи на среднюю скорость,
1
- задачи на движение по реке,
1
- задачи на движение по окружности
1
Модуль 2
Задачи на «бассейны» (на совместную работу)
2
Модуль 3
Задачи на проценты:
6
- задачи на изменение влажности продукта;
1
- задачи на сплавы-смеси;
1
- задачи на переливание;
1
- задачи на изменение величины зарплаты,
стоимости товара, плана выпуска продукции и т.д.;
2
- разные задачи на проценты
1
Модуль 4
Задачи на прогрессии
2
Модуль 5
Задачи на уравнения в целых числах
2
Модуль 6
Решение задач разных типов
2
Итоговое
Конкурс задач из разных жизненных ситуации
1
занятие
Список литературы
Бартенев, Ф.А. Нестандартные задачи по алгебре: пособие для учите
лей [Текст] / Ф.А. Бертенев. - М.: Просвещение, 1976.
Материалы для подготовки учащихся средней школы к ЕГЭ;
Мордкович, А.Г. Алгебра - 7 [Текст]: учебник / А.Г. Мордкович. - М.:
Мнемозина, 2002.
4. Мордкович, А.Г. Алгебра - 8 [Текст]: учебник / А.Г. Мордкович. - М.:
Мнемозина, 2002.
5. Мордкович, А.Г. Алгебра - 9 [Текст]: учебник / А.Г. Мордкович. - М.:
Мнемозина, 2002.
Мордкович, А.Г. Задачник-практикум по алгебре [Текст] / А.Г. Морд
кович, В.Н. Литвиненко. - М.: Школа-Пресс, 1995.
Симонов, А.Я. [и др.]. Система тренировочных задач и упражнений по
математике [Текст] /А.Я. Симонов. - М.: Просвещение, 1991.
Шарыгин, И.Ф. Решение задач [Текст]: учебное пособие для общеобра
зовательных учреждений / И.Ф. Шарыгин. - М.: Просвещение, 1994.
Шевкин, А.В. Текстовые задачи [Текст]: пособие для учащихся /
А.В. Шевкин. - М,: Просвещение, 1997.
Математика [Текст]: учебное пособие для учащихся 5, 6, 7, 8, 9 клас
сов / под ред. Г.В. Дорофеева. - М.: Дрофа, 2001.
Кузнецова, Л.В. Сборник заданий для проведения письменного экза
мена по алгебре в 9 классе [Текст] / Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова. - М.: Про
свещение. — 2002.
Содержание учебного материала
Модуль 1. Задачи на движение.
Цели:
- овладевать навыками работы с формулами скорости, времени, расстояния и единицами измерения каждой величины;
.' - иметь представление о средней скорости движения, понимать термины «собственная скорость», «скорость по течению», «скорость против течения» и
владеть ими; рассмотреть условия движения по окружности двух точек в одном направлении, в противоположных направлениях.
Занятие I. Задачи на среднюю скорость движения. ,
Расстояние между двумя сёлами 18 км. Велосипедист ехал из одного
села в другое 2 часа, а возвращался 3 часа. Какова средняя скорость движения
велосипедиста на всем участке пути?
Турист шел со скоростью 4 км/ч, потом точно такое же расстояние со
скоростью 5 км/ч. Какова средняя скорость движения на всем участке пути?
Турист шел со скоростью а км/ч, потом точно такое же время со скоро
стью в км/ч. Какова средняя скорость движения туриста на всем участке пути?
Некоторое расстояние автомобиль преодолел в гору со скоростью
42 км/ч, а с горы - со скоростью 56 км/ч. Какова средняя скорость движения
автомобиля на всем участке пути?
В гору велосипедист ехал со скоростью 10 км/ч, а с горы с некоторой
другой постоянной скоростью. Средняя скорость движения оказалась равной
12 км/ч. С какой скоростью он ехал с горы?
В одном направлении велосипедист проехал расстояние от А до В со
скоростью а км/ч, а в обратном - с некоторой другой постоянной скоростью. С
какой скоростью ехал велосипедист в обратном направлении, если средняя
скорость движения оказалась равной х км/ч?
"Занятие 2. Задачи на движение по реке.
Катер проходит некоторое расстояние по озеру за 6 час, а по течению
реки - за 5 час. Сколько времени потребуется плоту на такое же расстояние?
Пароход от Киева до Херсона идет 3 суток, а от Херсона до Киева —
4 суток. Сколько времени будут плыть плоты от Киева до Херсона?
Пловец по течению быстрой реки проплыл 150 км. Когда же он поплыл
против течения, то за такое же время его снесло течением на 50 м. ниже по те
чению. Во сколько раз скорость течения реки больше скорости пловца?
Папа и сын плывут на лодке против течения. В какой-то момент сын
уронил за борт папину шляпу. Только через 20 минут папа заметил пропажу,
быстро развернул лодку, и они поплыли вниз по течению с той же собственной
скоростью. За сколько минут они догонят шляпу?
Турист плыл на лодке вверх по течению. Проплыв под мостом, он поте
рял шляпу. Через 10 минут он это заметил, повернул обратно и, гребя с той же
силой, нагнал шляпу в 1 км от моста. Какова скорость течения?
Занятие 3. Задачи на движение по окружности.
\. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на 2 минуты быстрее другого и через час обогнал его ровно на круг. За сколько минуг каждый лыжник проходил круг?
2. На соревнованиях но картингу по кольцевой трассе один из картов проходил круг на 5 минут медленнее другого и через час отстал от него ровно на круг. За сколько минуг каждый карт проходил круг?
По окружности длиной 60 м равномерно и в одном направлении дви
жутся две точки. Одна из них делает полный оборот за 5 секунд скорее другой,
при этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 минуту. Опреде
лить скорости точек.
Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, сходятся через
каждые 56 минут. Если бы они двигались с теми же скоростями в противопо
ложных направлениях, то встречались бы через каждые 8 минут. Известно, что
при движении в противоположных направлениях расстояние по окружности
между ними уменьшалось с 40 до 26 м за 24 сек. Сколько м/мин. проходит ка
ждое тело и какова длина окружности?
По двум концентрическим окружностям равномерно вращаются две
точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 сек. быстрее другой, и по
этому успевает сделать в 1 минуту на два оборота больше. Сколько оборотов в
минуту совершает каждая точка?
Модуль 2. Задачи «на бассейны».
Цели:
Занятия 4-5. Задачи на совместную работу.
1. За пять недель пират Ерёма
Способен выпить бочку рома,
А у пирата у Емели
Ушло б на это две недели.
За сколько дней прикончат ром Пираты, действуя вдвоем?
2. Первая черепаха может проползти расстояние от окна до двери за
20 мин, а вторая - за 30 мин. Однажды черепахи одновременно отправились
настречу друг другу - одна от окна, другая от двери. Через сколько минут они
встретились?
Лев съел овцу за 1 час, волк съел овцу за 2 часа, а пес съел овцу за 3 ча
са. Спрашивается, как скоро они втроем съели бы овцу?
Через первую трубу бассейн наполняется за 12 часов, через вторую
трубу - за 24 часа. За сколько часов бассейн наполнится через обе трубы?
Первая бригада, работая отдельно, может выполнить задание за 3 дня, а
вместе со второй бригадой — за 2 дня. За сколько дней одна вторая бригада
может выполнить то же задание?
Токарь изготавливает партию деталей за 3 часа, его ученик - за 6 часов.
За сколько времени токарь и его ученик одновременно изготовят 70% этой
партии?
7. (Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого).
•Четыре человека хотят двор строить. Первый из них может построить в 1 год, второй может в 2 года, третий - в 3 года, а четвертый - в 4 года. Спрашивается, во сколько годов они все вместе построят тот двор?
Модуль 3. Задачи на проценты.
Задачи на проценты можно разделить на три группы: 1) изменение влажности продукта; 2) изменение величины заработной платы (плана выпуска продукции, стоимости товара, акций и др.); 3) о процентном содержании ком-понентов в растворе или сплаве.
Исходя из этого, решение задач данного типа преследует следующие цели:
ввести понятие «сложные проценты»;
знать и понимать понятие «концентрация» и уметь ее находить;
в процессе решения задач рассмотреть их практическую направленность.
Занятие 6. Задачи па изменение влажности продукта.
Арбуз весил 20 кг и содержал 99% воды. Когда он немного усох, то
стал содержать 98% воды. Сколько теперь весит арбуз?
Влажность сухой цементной смеси на складе составляет 18%. Во время
перевозки из-за дождей влажность смеси повысилась на 2%. Найдите массу
привезенной смеси, если со склада было отправлено 400 кг?
Собрали 140 кг грибов, влажность которых составляет 98%. После
подсушивания их влажность снизилась до 93%. Какова стала масса грибов по
сле подсушивания?
Свежие грибы содержат 92% воды, а сухие - 8%. Сколько получится
сухих грибов из 23 кг свежих?
На коробке с вермишелью написано «Масса нетто 500 г при влажности
13%». Сколько весит вермишель, если она хранится при влажности 25%?
Для получения томат-пасты протертую массу томатов выпаривают в
специальных машинах. Сколько томат-пасты, содержащей 30% воды, полу
чится из 28 тонн протертой массы томатов, содержащей 95% воды?
Занятия 7-8. О процентном содержании компонентов сплава или а растворе.
Задачи на сплавы-смеси.
Кусок сплава меди с оловом массой 15 кг содержит 20% меди. Сколько
чистой меди необходимо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содер
жал 40% олова?
Латунь - это сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг
больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили ла
тунь, в которой 75% меди. Определите массу меди (в кг) в первоначальном
куске меди?
Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит
230 г золота и 20 г меди, а второй слиток - 240 г золота и 60 г меди. От каждо
го слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором ока
залось 84% золота. Определите массу (в граммах) куска, взятого от первого
слитка.
В двух сплавах серебро и золото находятся в отношениях 1 : 2 и 1 : 4.
После совместной переплавки 12 кг первого сплава, 20 кг второго сплава и не
которой массы чистого золота получили сплав с 80% содержанием золота.
Найти массу нового сплава.
Из молока, жирность которого 3,5%, изготавливают творог жирностью
8%, при этом остается сыворотка жирностью 0,5%. Найти массу творога, по
лученного из 2 т молока.
Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что
первый сплав содержит 40% олова, а второй - 26% меди. Процентное содер
жание цинка в обоих сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого и 250 кг вто
рого, получили новый сплав, в котором 30% цинка. Сколько олова в новом
сплаве?
Бронза - сплав меди и олова. В древности из бронзы отливали колоко
ла, если в ней содержалось 75% меди. К бронзе массой 500 кг, содержащей
70% меди, добавили некоторое количество меди и получили бронзу, необхо
димую для изготовления колокола. Сколько кг меди было добавлено?
Занятие 9. Задачи на переливание.
В сосуде было 20 л чистого спирта. Часть его отлили, а сосуд долили
водой. Затем отлили столько же литров смеси и сосуд опять долили водой. По
сле этого в сосуде оказалось чистого спирта втрое меньше, чем воды. Сколько
спирта отлили в первый раз?
В колбе было 800 г 80% спирта. Провизор отлил из колбы 200 г этого
спирта и добавил в нее 200 г воды. Определить концентрацию полученного
спирта.
В сосуде было 200 г 80% спирта. Провизор отлил из колбы некоторое
количество этого спирта и затем добавил в нее это же количество воды, чтобы
получить 60% раствор спирта. Сколько граммов воды добавил провизор?
Емкость сосуда 8 л. Он наполнен воздухом, содержащим 16% кислоро
да. Из него выпускают некоторое количество воздуха и впускают такое же ко
личество азота. После чего опять выпускают такое же, как и в первый раз, ко
личество смеси и опять дополняют таким же количеством азота. В новой сме
си оказалось 9% кислорода. Определить, по сколько литров смеси выпускали
каждый раз.
Занятия 10-11. Задачи на изменение величины зарплаты, вклада, стоимости товара, плана выпуска продукции и т.д.
Цена товара сначала повысилась на 10%, а затем понизилась на 20%.
Найти процент изменения цены товара.
В январе завод выполнил 105% месячного плана, в феврале дал продук
ции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил
двухмесячный план выпуска продукции?
За первый год предприятие повысило выпуск продукции на 8%, а в сле
дующем году повышение продукции составило 25%. На сколько процентов
вырос выпуск продукции по сравнению с первоначальным?
Магазин выставил на продажу шубу, назначив цену на 150% выше оп
товой. В конце сезона эта цена была снижена на 20%, а при распродаже весной
новая цена была снижена еще на 40%, и шуба была продана за 36 000 руб. Ка
кую прибыль получил магазин? <
Букинистический магазин продал книгу со скидкой в 10% от первона
чальной цены и получил при этом 8% прибыли. Какую прибыль в процентах
предполагал получить магазин до скидки?
Скорость поезда увеличилась с 70 до 80 км/ч. На сколько процентов
уменьшилось время, затрагиваемое поездом на один и тот же путь?
Зарплату повысили на р%. Затем новую зарплату повысили на 2/7%. В
результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. На сколько%
зарплата была повышена во второй раз?
После двух повышений зарплата увеличилась в 1,43 раза. При этом
число процентов, на которое повысилась зарплата во второй раз, было в 3 раза
больше, чем в первый раз. На сколько % повысилась зарплата во второй раз?
Занятие 12. Разные задачи на проценты.
Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротес
товали. Тогда директор леспромхоза, всех успокоив, сказав: «В нашем лесу
99% сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую
часть леса может вырубить леспромхоз?
В некотором царстве, в некотором государстве правительство вынесло
на всенародное голосование проект закона о запрете рекламы спиртных на
питков. Этот проект поддержали 69% всего взрослого населения, принявшего
участие в голосовании, причем среди женщин 94%, а среди мужчин 41%. Кого
среди голосовавших было больше: мужчин или женщин?
Цену товара увеличили на 10% и еще на 10%. На сколько процентов
увеличили цену на товар за два раза?
Сберегательные кассы платили доход по вкладу из расчета 2% годо
вых. Во сколько раз увеличивалась сумма вклада за 10 лет, если начисление
процентов по вкладу производилось ежегодно?
Имеются два слитка золота и серебра. В первом отношение золота и
серебра равно 1:2, а во втором 2:3. Если сплавить 1/3 первого слитка и 5/6 вто
рого, то в полученном слитке будет столько золота, сколько в первом было се
ребра. Если же 2/3 первого слитка сплавить с половиной второго, то в полу
чившемся слитке серебра будет на 1 кг больше, чем было золота во втором
слитке. Сколько золота в каждом слитке?
Модуль 4. Задачи на прогрессии.
Цели:
Занятия 13-14. Задачи на прогрессии.
При подготовке к экзамену ученик каждый день с 1 по 8 июня включи
тельно увеличивал количество решенных задач на одно и то же число. С 1 по 4
июня он решил 24 задачи, со 2 по 6 июня - 45 задач. Сколько задач он решил
8 июня?
За 16 дней Карл украл у Клары 472 коралла. Каждый день он крал на
3 коралла больше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов Карл украл у
Клары в последний день?
Карл крал у Клары кораллы в течение 12 дней. Каждый день он крал на
одно и то же число кораллов больше, чем в предыдущий день. За первые
6 дней Карл украл 48 кораллов, а за следующие 6 дней - 120 кораллов. Сколь
ко кораллов Карл украл у Клары за первые 7 дней?
Сумма первых сорока членов арифметической прогрессии равна 6440,
а двадцать первый член равен 159. Найдите число членов прогрессии, принад
лежащих интервалу (-17; 0).
С января по декабрь зарплата каждый месяц повышалась на 50 руб. и
за весь год в сумме составила 39 300 руб. Сколько руб. составила зарплата за
сентябрь, октябрь и ноябрь?
Первоначальная цена товара на торгах повышалась несколько раз на
одно и то же количество рублей. После четвертого повышения цена равнялась
1250 руб., а после десятого повышения - 1550 руб. Через сколько повышений
цена стала на 400 руб. больше первоначальной?
Компьютерная игра состоит в последовательном прохождении не
скольких уровней. За прохождение каждого уровня игрок получает 50 баллов.
Кроме того, начисляются и премиальные баллы по следующей схеме: 10 бал
лов за второй уровень и за каждый следующий уровень на 10 баллов больше,
чем за предыдущий. Сколько уровней надо пройти, чтобы набрать ровно
1100 баллов?
Игра, установленная на мобильном телефоне, состоит в последователь
ном прохождении нескольких уровней. За прохождение каждого уровня игрок
получает 40 баллов. Кроме того, начисляются премиальные баллы по схеме:
10 баллов за второй уровень, а за каждый следующий уровень на 10 баллов
больше, чем за предыдущий. Игрок прошел несколько уровней, и на его счету
оказалось ровно 1300 баллов. Сколько всего премиальных баллов получил иг
рок?
Модуль 5. Задачи на уравнения в целых числах.
Цели'.
рассмотреть задачи, решаемые методом перебора, и задачи, решаемые с
помощью уравнений или систем уравнений;
' - научиться анализировать полученные результаты и выбирать те, которые удовлетворяют условиям задачи.
Занятия 15-16. Задачи на уравнения в целых числах.
Если неизвестное двухзначное число разделить на число, изображенное
теми же цифрами, но в обратном порядке, то в частном получится 4, а в остат
ке — 3. Если же искомое число разделить на сумму цифр, то в частном полу
чится 8, а в остатке — 7. Найти это число.
Пусть остаток от деления натурального числа п на 9 равен 5. Найти ос
таток от деления на 9 числа (4/?2 + 1п + 2).
Определите, можно ли отпустить со склада 17 кг гвоздей ящиками по
3 кг и 5 кг, не нарушая упаковки.
Некий чиновник купил лошадей и быков за 1770 талеров. За каждую
лошадь он уплатил по 31 талеру, а за каждого быка - по 21 талеру. Сколько
лошадей и быков купил чиновник?
Некто купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих птиц за каждых трех
воробьев заплачена 1 монета, за каждые две горлицы - также 1 монета и, на
конец, за каждого голубя - по 2 монеты. Сколько было птиц каждой породы?
Купили 40 птиц за 40 монет. За каждых трех воробьев платили 1 моне
ту, за каждых двух горлиц платили 1 монету, а за каждого голубя - 2 монеты.
Сколько было куплено птиц каждой породы?
30 птиц стоят 30 монет, куропатки стоят по 3 монеты, голуби - по 2 и
пара воробьев - по монете. Спрашивается, сколько птиц каждого вида?
Двенадцать человек несут 12 хлебов: каждый мужчина несет по 2 хле
ба, женщина - по половине хлеба, ребенок - по четверти хлеба. Сколько было
мужчин, женщин и детей?
26 персон издержали вместе 88 марок, причем мужчина издерживал по
6 марок, женщина - по 4, девушка - по 2. Сколько было мужчин, женщин и
девушек?
Модуль 6. Решение задач разных типов.
Цели:
повторить виды текстовых задач, их особенности и алгоритмы их реше
ний;
установить практическую значимость умения решать задачи, как реаль
ные жизненные ситуации.
Занятие 17. Решение задач разных типов.
Первая бригада может выполнить задание за 36 дней, а вторая - за
45 дней. За сколько дней две бригады выполнят задание, работая вместе?
Торговец продает орехи двух сортов: одни по 90 центов, другие по
60 центов за килограмм. Он хочет получить 50 кг смеси по 72 цента за кг.
Сколько для этого потребуется орехов каждого сорта?
Магазин продал на прошлой неделе некоторый товар. На этой неделе
запланировано продать того же товара на 10% меньше, но по цене на 10%
больше. Большую или меньшую сумму выручит магазин от продажи товара на
этой неделе (по сравнению с прошлой) и на сколько процентов?
Некто не доверяет банкам и хранит сбережения дома. Крупная премия
пролежала дома с зимы до лета. За это время цены на товары выросли в сред
нем на 50%. На сколько процентов уменьшилась покупательная способность
отложенных денег?
Два купца внесли для общей торговли по 48 тыс. руб.: первый на 1 год,
а второй - на 2 года. Как они должны поделить между собой 42 тыс. руб. при
были?
Три утенка и четыре гусенка весят 2 кг 500 г, а четыре утенка и три гу
сенка весят 2 кг 400 г. Сколько весит один гусенок?
