Отдел образования Петровского районного в городе Донецке совета
Районный методический кабинет
Донецкая общеобразовательная мола І-Ш ступеней № 110
ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ
для 5 класса
«РЕШЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДА Ч
РАЗНЫМИ СПОСОБАМИ»
ПОДГОТОВИЛА:
учитель математики
Сафина Любовь Емельяновна
ВВЕДЕНИЕ
Многие задачи допускают несколько способов решения. Выбирая способ решения задачи, решающий задачу находиться в положении человека, блуждающего по незнакомой местности. Дойдя до цели, он видит, что дорогу можно было выбрать более удачную. Нахождение более простых способов решений является результатом длительной и кропотливой работы.
Решая задачи по математике, необходимо рассматривать различные способы их решения. Решение задач несколькими способами можно сравнивать с жизненной ситуацией - ищется несколько решений проблемы, а из них выбирается оптимальное, наилучшее, красивое, рациональное.
Решение задач, допускающих ряд решений, - увлекательная работа, требующая знания всех разделов математики.
2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
2.1. Нахождение различных способов решения задач
При решении задачи необходимо использовать индивидуальные особенности каждой задачи, позволяющие решить ее проще.
Прочтя задачу и еще не производя никаких действий, нужно стремится к тому, чтобы научиться сразу видеть, что тот или иной способ непригоден для ее решения, а вот какой-то другой может быть использован. Такое умение вырабатывается в процессе решения одной и той же задачи разными способами. Поэтому часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные задачи.
Решая одну и ту же задачу разными способами, можно лучше понять специфику того или иного метода, его преимущество и недостатки в зависимости от содержания задачи.
Нередко найденный способ решения может быть в дальнейшем использован для решения более трудных задач, сходной с решенной задачей.
Рассматривая решение задач несколькими способами нужно ориентироваться на поиски красивых, изящных решений, стремиться к повышению своей математической культуры.
Решая ту или иную задачу, нужно стремиться к достижению двух целей:
Решить данную задачу и научиться решать задачи, аналогичные рассматриваемой задаче.
Научиться решать любую задачу самостоятельно.
Эти две цели связаны между собой, так как справившись с заданной достаточно трудной задачей, развиваются способности к решению задач вообще.
Применяя вторую цель, при решении задач несколькими способами, следует обращать внимание не только на наиболее рациональный, красивый способ решения данной задачи, но и на те способы, которые широко применяются при решении других задач и в некоторых случаях оказываются единственными.
Общие методы решения задач должны стать прочными достояниями решающего, но наряду с этим необходимо использовать особенность каждой задачи, позволяющую решить ее проще. Именно отход от шаблона, конкретный анализ условий задачи является залогом успешного решения задачи.
2.2. Способы решения задач повышенной трудности в 5 классе
Решая задачи повышенной трудности, целесообразно рассмотреть разные способы их решения. Полезнее одну задачу решить несколькими способами, чем решить несколько однотипных задач одним способом.
Особое внимание следует обращать на решение задач арифметическим способом, который способствует развитию оригинальности мышления, изобретательности.
При решении задач с помощью составления уравнения, нужно внимательно изучить условия задачи, подумать над тем, какой способ решения наиболее соответствует ее условию, попытаться решить задачу арифметическим способом.
Наибольшее затруднение вызывают решения задач повышенной трудности, то есть задач, алгоритм решения которых более труден.
При решении задач повышенной трудности преследуется две цели:
научиться решать данную задачу,
развивать способности, чтобы решить задачи самостоятельно.
Научиться решать задачи можно лишь решая их, постоянно практикуясь, подражая хорошим образцам. Такими образцами могут быть разные способы при решении задач.
Решение любой трудной задачи требует напряженного труда, проявления воли и упорства, которые воспитываются практикой.
Поясним сказанное примерами.
Пример 1.
Сумма двух чисел 462. Одно их них оканчивается нулем. Если этот нуль зачеркнуть, то получиться второе число. Найдите эти числа.
Решение.
Первый способ.
Пусть х - меньшее число, тогда 10х - большее число. Получим уравнение х+10х=462.
11х=462; х=462:11;
х=42 - первое число;
10х=10* 42=420 - второе число.
Второй способ.
Обозначим искомые числа с помощью квадрата и треугольника, в которые будем вписывать цифры по мере их определения. Получим записи.
+
________________
6 2
2
4
4
+ 4 2
_________
________________
4 6 2
Ответ: 42 и 420.
Пример 2.
Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды - 22 года. Во время матча один из игроков получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 21 году. Сколько лет футболисту, получившему травму?
Решение.
Первый способ.
Пусть х лет - возраст футболиста, получившего травму, 21* 10=210 - общий возраст футболистов, оставшихся на поле.
Составим уравнение (210+х): 11=22;
210+х=22*11;
210+х=242;
х=242-210;
х=32 (года) - возраст футболиста, получившего травму.
Второй способ.
. 22* 11=242 года - сумма возрастов всех членов команды
. 21*10=210 лет - сумма возрастов 10 членов команды(без игрока, получившего травму)
. 242-210=32 года - возраст футболиста, получившего травму.
Ответ: 32 года.
Пример 3.
Сколько трехзначных чисел можно образовать из цифр 3,5,8, не повторяя их в записи числа.
Решение.
Первый способ.
Построим схему
5-8 ___________358
3
8-5 ____________385
5 3-8 ____________538_______________
8-5 ____________585
8
3-5___________835
5-3 ___________853
С помощью схемы получим 6 чисел: 358,385,538,585,835,853.
Второй способ.
На первом месте может стоять любая из трех данных цифр, на втором - любая из двух оставшихся, на третьем - оставшаяся третья цифра. Всего, таким образом из данных цифр можно составить 6 чисел.
Ответ: 6 чисел.
Пример 4.
В шахматном турнире участвовали 7 человек, каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько партий они сыграли?
Решение.
Первый способ.
Каждый шахматист сыграл 6 партий, шахматистов 6 человек, значит
6*7=42 партии,
42:2=21 партия.
Делим на 2, в противном случае каждая партия будет сосчитана дважды.
Второй способ.
Построим схему. Пусть каждый шахматист обозначен точкой, а каждая сыгранная партия стрелкой от одного шахматиста к другому.
Будем каждую партию считать один раз.
1) 6+5+4+3+2+1=21 партия.
2.3. Задачи повышенной трудности для проведения математического турнира в 5 классе
Задача 1.
Даны цифры от 1 до 9. расставьте их в кружка так, чтобы сумма трех чисел вдоль каждой линии была равна 15. какое число должно быть в центре?
Решение.
Первый способ.
. 1+2+3+4+5+6+7+8+9=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+5=45 - сумма цифр от 1 до 9.
. 15*4=60 - сумма цифр, стоящих вдоль всех четырех линий.
. (60-45):3=5 - число, которое должно стоять в центре.
. 15-5=10.
Представляем число 10 в виде суммы двух цифр и расставляем их в
окружностях.
10=1+9
10=2+8
10=3+7
10=4+6
Второй способ.
1). Представим число 15 в виде суммы трех разных цифр
15=1+5+9
15=2+4+9
15=3+5+7
В восьми способах выделим такие, в которых одно и то же число встречается четыре раза. Это число 5.
Ответ: 5.
Задача 2.
Разбейте прямоугольник на три таких треугольника, чтобы площадь одного из них равнялась сумме площадей двух других.
АВСД - прямоугольник. Диагональ АС разбивает прямоугольник на два равных треугольника. Если разрезать фигуру по диагонали и наложить части . друг на друга, они совпадут. Равные треугольники имеют равные площади.
Второй способ
Разбив ∆ АДС на 2 треугольнику ∆АДК и ∆ КДС,
Получим. Что S∆АДК+S∆КДС
АВСД - прямоугольник. Разобьем АВСД на 2 Прямоугольника АВКМ и КМДС. Прямоугольники АВСД и КМДС разбиваем на 2 Равных треугольника.
Получим: S∆АДК=:S∆АВК+: S∆СДК
Задача 3.
Из города А в город В ведут три дороги, а из города В в город С - четыре дороги. Сколькими способами можно проехать из А в С через В.
Решение.
Первый способ.
1). 3*4=12 способов.
Второй способ.
Возьмем одну дорогу, ведущую из А в В. Ее можно продолжить до С четырьмя различными
—► ► ► способами. То же самое можно сделать с
каждой из двух других дорог, ведущих из А в В. Всего из А в С через В можно проехать 3*4=12 способами.
Ответ: 12 способов.
Задача 4.
Найти шесть чисел, каждое следующее из которых меньше предыдущего на 18, а сумма всех шести чисел равна 336.
Решение. Первый способ.
1. 1— 111111
Используем схему, получим:
2. 1—
N111
1) 18*15=270
3. 1
1 1 1 1
2) 336-270=66
4. 1
Ш
3) 66:6=11 - меньшее число
5. ,
1 1
4) 11+18=29 - 2 число
6. .
1
5) 29+18=47 - 3 число
1
6) 47+18=65 - 4 число
7) 65+18=83 - 5 число
8) 83+18=101 - 6 число
11,29,47,65,83,101
- искомые числа.
Второй способ.
Пусть х - меньшее число, тогда х+18 - 2 число, х+18*2=х+36 - 3 число, х+18*3=х+54 - 4 число, х+18*4=х+72 - 5 число, х+18*5=х+90 - 6 число.
Сумма всех шести чисел равна 336, составим уравнение х+(х+18)+(х+3 6)+(х+5 4)+(х+7 2)+(х+90)=336,
6х+270=336,
6х=336-270,
6х=66,
Х=11 — 1 число.
. 11+18=29
. 29+18=47
.47+18=65
.65+18=83
83+18=101
11,29,47,65,83,101 - искомые числа
Ответ: 11,29,48,65,83,101.
Задача 5.
Разрезать прямоугольник прямой линией на две части так, чтобы из них
можно было сложить треугольник.
Решение.
Первый способ. Второй способ
Задача 6.
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 4,6,8 не повторяя их в записи числа?
Решение.
Первый способ.
На первом месте может стоять любая из трех данных цифр, на втором - любая из двух оставшихся, на третьем- оставшаяся третья цифра.
Всего, таким образом, из данных цифр можно составить 6 чисел
3*2* 1=6.
С помощью схемы получим 6 чисел. Ответ: 6 чисел.
Задача7.
В магазине картофель положили в пакеты по 3 кг и 5 кг, всего 24 пакета. Масса всех пакетов по 5 кг равнее массе всех пакетов по 3 кг. Сколько пакетов по 3 кг?
Решение.
Первый способ.
5+3=8 (кг) - всего
24:8=3
3*3=9
24-9=15 (пакетов) - по 3 кг.
Второй способ.
1) 24-24:(5+3)*3=15 (пакетов) - по 3 кг.
Ответ: 15 пакетов по Зкг.
Задача 8.
Беседуют трое друзей: Белокуров, Чернов и Рыжов. Брюнет сказал Белокурову: « Любопытно, что один из нас блондин, другой брюнет, а третий рыжий, но ни у одного цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос имеет каждый из друзей?
Решение.
Первый способ.
Задачу можно решать с помощью рассуждений:
так как Белокуров разговаривает с брюнетом, значит, Белокуров не брюнет. Б) кроме того Белокуров не блондин, так как цвет его волос не совпадает с фамилией, остается Белокуров - рыжий.
Чернов и Рыжов не рыжие.
Г) так как Чернов не рыжий и не брюнет, значит он блондин.
Д) Рыжов - брюнет.
Второй способ.
Из условия задачи следует:
А)
Ответ: Рыжов - брюнет, Чернов - блондин, Белокуров - рыжий.
Задача 9.
Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревнованиях, причем никакие два мальчика не делили между собой какие - нибудь места. На вопрос, какие места они заняли, трое ответили:
. Коля - ни первое, ни последнее,
Б). Боря - второе,
. Вова - не был последним.
Какие места заняли мальчики?
Решение.
Первый способ.
Так как Боря занял второе место, а Коля - ни первое, ни четвертое, то Коля занял третье место. Вова занял не последнее, а так как 2-е и 3-е места уже распределены, то Вова занял 1-е место, остается 4-е место занял Юра.
Второй способ.
Условие: сплошная линия - данное условие, пунктирная - неверное
условие.
А) Б)
В)
Ответ: Вова занял 1 место, Юра – 4 место, Коля – 3 место, Боря – 2 место.
Задача 10.
Сплавили три куска металла. Какова была масса каждого куска, если масса первого была на 6 кг больше массы второго, масса второго - вдвое больше массы третьего, а масса третьего - в три раза меньше массы первого.
Решение.
Первый способ.
Покажем графически.
1)|_______|_________|_______|
6кг
2)|________|__________|
3)|_________|
Из условия следует, что первый кусок в 3 раза больше третьего, а второй в 2 раза больше третьего. Из чертежа видно, что в третьем куске 6 кг, во втором 12 кг, а в первом 18 кг.
Второй способ.
Если х кг в третьем, то 2х - во втором, Зх - в первом, тогда Зх-2х=6, откуда х=6.
Ответ: В третьем куске - 6 кг, во втором - 12 кг, в первом - 18 кг.
Второй способ.
Если х кг в третьем, то 2х - во втором, Зх - в первом, тогда Зх-2х=6, откуда х=6. Ответ: В третьем куске - 6 кг, во втором - 12 кг, в первом - 18 кг.
ВЫВОДЫ
Решение математических задач несколькими способами развивает математическое мышление, улучшает математическую подготовку, помогает установить связи между разными темами по математике.
Решение математических задач разными способами способствует повышению интереса к изучению математики, так как подбирая свой способ решения задач, решающий показывает не только свой уровень знаний, но и творческий подход по данной теме. Решение задач, допускающих ряд решений, увлекательная работа, требующая знаний всех разделов математики.
ЛИТЕРАТУРА
1.Ясинский В. А, Практикум по решению задач математических
олимпиад, Харьков, 2006.
2.Довбыш Р.И, Сборник олимпиадных задач по математике, Донецк, 2005.
3Готман Э.Г., Задача одна - решения разные, Киев, 1988.
4.Колягин Ю.М., Поисковые задачи по математике, Москва, 1979.
