Урок по теме: «Решение иррациональных уравнений. Решение иррациональных уравнений с помощью возведения обеих частей уравнения в n-ю степень». УМК Мордковича (профильный уровень), 11 класс.
Учитель первой квалификационный категории: Максименко Светлана Александровна, МАОУ «Лицей № 28 имнеи Н.А.Рябова» г.Тамбова.
Тип урока: обобщение и систематизация знаний.
Цели: вспомнить основные методы решения иррациональных уравнений; подготовка к ЕГЭ, воспитать трудолюбие.
Определение. Уравнение с одной переменной [pic] называют иррациональным, если хотя бы одна из функций [pic] или [pic] содержит переменную под знаком радикала.
При решении иррациональных уравнений необходимо установить область допустимых значений переменных, исходя из условия, что все радикалы, входящие в уравнение, должны быть арифметическими.
1. Метод подбора
Этот метод основан на следующем теоретическом положении: “Если функция [pic] возрастает в области определения и число [pic] входит в множество значений, то уравнение [pic] имеет единственное решение.”
Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется:
1) Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении.
2) Записать область определения данной функции.
3) Доказать ее монотонность в области определения.
4) Угадать корень уравнения.
5) Обосновать, что других корней нет.
6) Записать ответ.
Пример 1. [pic] .
Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной [pic] .
[pic]
Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного [pic] . Таким образом, вопрос о решении уравнения снимается – ведь нельзя же осуществить операцию сложения в левой части уравнения, так как не существует сама сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного [pic] .
Пример 2. [pic]
Рассмотрим функцию [pic] .
Найдем область определения данной функции:
[pic]
Данная функция является монотонно возрастающей.
Для [pic] эта функция будет принимать наименьшее значение при [pic] , а далее только возрастать. [pic] . Число 5 принадлежит области значения, следовательно, согласно утверждению [pic] .
Проверкой убеждаемся, что это действительный корень уравнения..
2. Метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень.
Теорема.
Если возвести обе части уравнения [pic] (1) в натуральную степень [pic] , то уравнение [pic] (2) является следствием уравнения (1).
Доказательство. Если выполняется числовое равенство [pic] , то по свойствам степени выполняется равенство [pic] , т.е. каждый корень уравнения (1) является и корнем уравнения (2), это значит, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).
Если [pic] , то справедливо и обратная теорема. В этом случае уравнения (1) и (2) равносильны.
Если [pic] , равенство [pic] справедливо, если выполняется хотя бы одно из равенств [pic] и [pic] . Значит уравнения (1) и (2) в этом случае не равносильны. Поэтому, если в ходе решения иррационального уравнения [pic] приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могли появиться посторонние корни. Чтобы отделить их, проверки можно избежать, введя дополнительное требование [pic] . В этом случае уравнение [pic] равносильно системе [pic] . В системе отсутствует требование [pic] , обеспечивающее существование корня степени [pic] , т.к. оно было бы излишним в связи с равенством [pic] .
Пример 1.
[pic]
[pic] ,
[pic] ,
[pic] .
Ответ: [pic]
Если в уравнение входят несколько радикалов, то их можно последовательно исключать с помощью возведения в квадрат, получая в итоге уравнение вида [pic] При этом полезно учитывать область допустимых значений исходного уравнения.
Пример 2.
[pic]
[pic]
Ответ: [pic]
3. Решение уравнений с использованием замены переменной.
Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.
Пример1.
[pic]
Пусть [pic] тогда исходное уравнение примет вид:
[pic] , корни которого [pic] и [pic] Решая уравнение [pic] , получаем [pic] и [pic]
Ответ: [pic]
В следующих примерах используется более сложная замена переменной.
Пример 2
[pic]
Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования: [pic] .
[pic]
Замена [pic] приводит уравнение к виду [pic] корнями которого являются [pic] и [pic]
Осталось решить совокупность двух уравнений:
[pic]
Ответ: [pic]
4. Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение.
Теорема.
Уравнение [pic] , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений [pic]
Пример1.
[pic]
При [pic] уравнение принимает вид: [pic] которое равносильно совокупности двух уравнений: [pic] [pic]
Ответ: [pic]
Иррациональные неравенства. Решение иррациональных неравенств.
УОСЗ
Цели: вспомнить основные методы решения иррациональных неравенств; подготовка к ЕГЭ, воспитать активность.
Теория:
A1. Неравенство
[pic]
равносильно совокупности систем
[link]
