Три пути ведут к знанию:

путь размышления-это путь

самый благородный,

путь подражания-это путь

самый легкий

и путь опыта-это путь

самый горький.

Конфуций

Тема урока: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Цели урока:

Образовательная

Систематизировать , расширять знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения дифференциальных уравнений второго порядка;

2) Развивающая

Развивать: а) умение анализировать математические ситуации ;

б) умение выделять главное;

в) умение сравнивать, обобщать, классифицировать ;

3) Воспитывающая

Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, самоанализу своей деятельности;

Тип урока: комбинированный

Оборудование урока: интерактивная доска, лист успешности учащегося, деформированные задания, тест

Вся работа на уроке сопровождается индивидуальным листом успешности

Лист успешности учащегося

Фамилия, Имя___________________________________________________

Ход урока:

I. Постановка целей урока

II. Актуализация опорных знаний

1) Закончить формулировку определения:

1. Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные называются….(дифференциальными)

2. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называют …..(обыкновенным)

3. Функция , которая при подстановке в уравнение, обращает его в тождество называется….(решением уравнения)

4. Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение называется…(порядком уравнения)

5. Уравнение вида F(х,у, [pic] )=0 называется …..(диф. уравнением 1-го порядка)

6. Уравнение вида f(x,y)dx= [pic] (x,y)dy называется…..(однородным)

7. Уравнение вида [pic] = f1(x) f2(y) называется…..(диф. уравнением с разделяющимися переменными)

8. Уравнение вида [pic] +Р(х)у=Q(x) называется…..(линейным диф. уравнением 1-го порядка)

9. Уравнение вида F(х,у, [pic] , [pic] )=0 называется…(диф. уравнением второго порядка)

10. Процесс отыскания решения диф. уравнения называется….(итегрированием)

2) Классификация дифференциальных уравнений по их видам:

1

ДУ с разделяющимися переменными

2. (6у+3)dx=2 [pic] dy

Линейное ДУ первого порядка

3. (x²-y²)dx+2xydy=0

4

ДУ третьего порядка

5. [pic] +2 [pic] +6y=0

Однородное ДУ первого порядка

6. [pic] =3x² –4x+2cos3x

Линейное однородное ДУ второго порядка

ДУ второго порядка

3) Классификация дифференциальных уравнений по методам их решения

4

1. Метод четырехкратного интегрирования

2

(1+x²) [pic] –xy=2x

5

2. Метод разделения переменных

3

[pic]

2

3. Метод двукратного интегрирования

4

[pic] =6x⁴-12x²+ [pic]

3

4. Метод сведения ДУ к уравнению с разделяющимися переменными

5

y [pic] =2cos2x

1

5. Метод подстановки у=uv

6

[pic] +4 [pic] +8y=0

6

6. Метод замены ДУ характеристическим уравнением

4) Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного уравнения второго порядка

Чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка

нужно:

Если k1 [pic] k2, то

у=c1e^{k [pic] x}+c2e^{k [pic] х [pic]}

1

[pic]

[pic]

Если k1 = k2, то

у= е^kx(c1 +c2x)

2

[pic] [pic]

Если k1 и k2 – комплексные числа, то у=е^ах(с1cosbx +c2sinbx)

3

[pic]

Заменить у¹¹, у¹, у на k², k,1

4

5

Составить характеристическое уравнение вида: k²+px+q=0

III. Формирование практических умений и навыков:

1) Найти ошибку в решении дифференциального уравнения третьего порядка:

[pic] = 9х²+4-2 cos4x

[pic] = 3x³+4x- [pic] sin4x+c1

[pic] = [pic]

y= [pic]

2) Найти пары: «Уравнение-его решение»

у=е [pic] (с1+с2х)

Б

у=с1е [pic] +с2е^-6х

В

у=е [pic] (с1+с2х

Г

у=с1+с2е^9х

1

[pic] +8 [pic] +16у=0

+

2

[pic] - [pic] + [pic] у=0

+

3

[pic] -9 [pic] =0

+

4

[pic] +5 [pic] -6у=0

+

3) Решить дифференциальные уравнения с комплексными корнями:

а) [pic] +4 [pic] +8у=0 б) [pic] -2 [pic] +2у=0

k²+4k+8=0 k2 -2k+2=0

Д=16-32=-16 Д= -4

Д¹=Д/4= -4 k1/2= - [pic] Д¹=Д/4= -1

k1/2= -2 [pic] k1/2= 1 [pic]

y=e^-2x(c1cos2x+c2sin2x) y=e^x(c1cosx+c2sinx)

IV. Выполнение теста

1 вариант

1. Уравнение [pic] -4у-3=0- это уравнение:

А) с разделяющимися переменными; Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;

В) однородное уравнение 1-го порядка; Г) диф. уравнение 2-го порядка;

2. Уравнение (х²-у²)dy-(xy-y²)dx=0 - это уравнение:

А) с разделяющимися переменными; Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;

В) однородное диф. уравнение ; Г) диф. уравнение 2-го порядка;

3. Найти общее решение диф. уравнения: [pic]

А) у=е^х(c1cos2x+c2sin2x) Б) у=е^4х(с1cosx+c2sinx) В) у=е^2х(c1cos3x+c2sin3х) Г)у=е^4х(с1cos2x+c2sin2x)

4. [pic]

А) у=е^х(c1+c2x) Б) у=е^-х(с1+c2x) В) у=е^2х(c1+c2x) Г) у=е^4х(с1+c2x)

5. [pic]

А) у=е^х(c1cos2x+c2sin2x) Б) у=е^4х(с1cosx+c2sinx) В) у=е^2х(c1cos3x+c2sin3x) Г) у=е^-3х (с1cosx+c2sinx)

2 вариант

1. Уравнение [pic] - [pic] - это уравнение:

А) с разделяющимися переменными; Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;

В) однородное уравнение 1-го порядка; Г) диф. уравнение 2-го порядка;

2. Уравнение [pic] - это уравнение:

А) с разделяющимися переменными; Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;

В) однородное уравнение ; Г) диф. уравнение 2-го порядка;

2. Найти общее решение диф. уравнения: [pic]

А) у=е^х(c1cos2x+c2sin2x) Б) у=е^-4х (с1cos2x+c2sin2x) В) у=е^2х(c1cos3x+c2sin3х) Г)у=е^4х(с1cos2x+c2sin2x)

2. [pic]

А) у=е^х(c1+c2x) Б) у=с1е^2х+c2е^4х В) у=c1е^х+c2е^-4х Г) у=е^4х(с1+c2x)

2. [pic]

А) у=е^х(c1cos2x+c2sin2x) Б) у=е^4х(с1cosx+c2sinx) В) у=е^-х(c1cos [pic] x+c2sin [pic] x )

Г) у=е^-3х (с1cosx+c2sinx)

Ключи к тесту:

1

2

3

4

5

1

Б

В

В

Б

Г

2

Б

А

Б

В

В

V. Домашнее задание:

1. Составить три диф. уравнения третьего порядка и три диф. уравнения четвертого порядка;

2. Решить эти уравнения;

1. 6. Рефлексия, итоги урока