Олимпиадное задание
школьного этапа всероссийской олимпиады школьников
Ковдорского района в 2010-2011 учебном году
по предмету: математика
параллель: 9 класс
максимальное количество баллов за работу: 25
максимальное время выполнения задания: 2 часа
ответственный за разработку олимпиадного задания:
Гафиятулина Е.Ф.
Ковдорский район
2010 - 2011 учебный год
9 класс
Сократите дробь: (6 баллов)
Решите уравнение: (5 баллов)
В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все внутренние углы при вершинах равны. Известно, что AB = 3, BC = 4, CD = 5 и EF = 1. Найдите длины сторон DE и AF.
(5 баллов)
На острове Чунга-Чанга 80% мужчин женаты, а 40% женщин - замужем. Какая доля населения этого острова состоит в браке? (4 балла)
В Стране Чудес проводилось следствие по делу об украденном бульоне. На суде Мартовский Заяц заявил, что бульон украл Болванщик. Соня и Болванщик тоже дали показания, но что они сказали, никто не запомнил, а запись смыло алисиными слезами. В ходе судебного заседания выяснилось, что бульон украл лишь один из подсудимых и что только он дал правдивые показания. Так кто украл бульон?
(5 баллов)
9 класс ответы
Разложим числитель и знаменатель на множители:
Дробь сокращается на
= =
Ответ: .
Так как числа и неотрицательны, а их сумма равна нулю, то оба эти числа равны нулю. С другой стороны, если оба эти числа равны нулю, то их сумма равна нулю. Следовательно, исходное уравнение равносильно следующей системе:
.
: х=-1
Пусть прямые AF и BC пересекаются в точке K, прямые BC и DE — в точке L, прямые AF и DE — в точке M.
Поскольку сумма внутренних углов выпуклого шестиугольника равна 180o(6 - 2) = 720o и все эти углы равны, то каждый из них равен 120o. Тогда треугольники AKB, CLD, EMF и KLM — равносторонние. [pic]
Поэтому:
AK = KB = AB = 3, CL = LD = CD = 5, EM = MF = EF = 1,
KM = ML = KL = KB + BC + CL = 3 + 4 + 5 = 12.
Тогда:
DE = ML - ME - DL = 12 - 1 - 5 = 6, AF = KM - AK - MF = 12 - 3 - 1 = 8.
Ответ: 6 и 8
Количество мужчин и женщин, состоящих в браке, - одно и то же. Обозначим его х. Тогда мужчин на острове , женщин . Общее число жителей .
Состоящих в браке – 2х. Тогда искомая величина: .
Ответ:
Вором не может быть Мартовский Заяц, потому что вор сказал правду, а Заяц, в этом случае, соврал. Вором не может быть Болванщик, потому что, в этом случае, Заяц сказал правду, а правду сказал только вор. Значит, вор — Соня.
