Открытый урок по прикладной математике
Тема: Математическое моделирование реальных экономических процессов. Линейные модели.
Цели урока:
Образовательные: систематизировать и обобщить знания учащихся о линейных неравенствах с одной и с двумя неизвестными, графическом решении линейных неравенств и систем линейных неравенств с двумя неизвестными, ввести понятие «математическая модель» и «математическое моделирование», формировать умение строить математические модели некоторых реальных экономических процессов.
Развивающие: развивать познавательную активность, умение работать с математическими текстами, формировать прикладное математическое мышление, экономическое мышление, умение моделировать.
Воспитательные: воспитывать трудолюбие, творческий подход к работе, самостоятельность, сформировать познавательный интерес и мотивацию к предмету.
Метод обучения: проблемный
Форма обучения: урок-презентация с элементами лекции.
Средства: информационно-коммуникационные: учебник, слово учителя, компьютер, интерактивная доска.
Ход урока.
Оргмомент.
Здравствуйте. Сегодня у нас урок прикладной математики. Тема урока «Математическое моделирование реальных экономических процессов. Линейные модели». В уроке принимают участие заведующая лабораторией образовательных технологий Южного математического института Владикавказского научного центра РАН Абатурова Вера Сергеевна и ведущий специалист этой лаборатории, аспирантка кафедры математического анализа Зотова Вера Ивановна.
Актуализация опорных знаний.
Ребята, сегодня математика проникает во все сферы человеческой деятельности и слова математическая модель и математическое моделирование все больше входят в жизнь современного человека.
Математическая модель это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на язык математики. А метод математического моделирования – это процесс решения реальной проблемы с помощью построения, анализа математической модели.
Вообще все объекты математики, которые мы изучаем - это математические модели.
Вы стараетесь закачать в свой телефон красивые картинки и заставки.
А ведь при создании тоже применяется метод математического моделирования.
Или, например, вопрос из другой области. Какой режим полета самолета выбрать для того, чтобы полет был безопасным и экономически наиболее выгодным? Или как составить график выполнения сотен видов работ на строительстве большого объекта, чтобы оно закончилось в максимально короткий срок? Множество таких проблем систематически возникает перед экономистами, конструкторами, учеными и представителями других специальностей. А будущие экономисты, конструкторы и ученые это вы ребята и на этом уроке у нас будет первое знакомство с методом математического моделирования. Мы познакомимся с моделированием реальных экономических процессов и их линейными моделями.
Кстати, мы уже пользовались этим методом при решении текстовых задач.
Существует ряд сюжетных, прикладных задач, математические модели которых сводятся к линейным уравнениям, неравенствам, системам линейных уравнений и неравенств. Такие модели называют линейными.
Стандартная схема математического моделирования
таких задач состоит из трех этапов:
Формализация задачи. Выбор неизвестных и составление уравнений неравенств или систем неравенств, которые соответствуют условию задачи, то есть составление математической модели задачи.
Решение математической модели. На этом этапе решают уравнения, неравенства или системы, т.е. находят неизвестное или нужную комбинацию неизвестных.
Интерпретация. На этом этапе полученное математическое решение переводят на язык исходной ситуации.
Но прежде, чем начнем решать задачи , давайте вспомним определение и алгоритм решения графическим методом неравенств и систем неравенств с двумя неизвестными , который мы изучали на предыдущих уроках для решения прикладных экономических задач.
Устные упражнения.
Какие неравенства называют линейными неравенствами с двумя неизвестными? Что является их решением?(Неравенства вида ах+by ≤(≥ < >)c?
Где a,b,c – фиксированные действительные числа, а x,y – неизвестные,
называют линейным неравенством с двумя неизвестными. )
Алгоритм графического решения линейного неравенства с двумя неизвестными? (решаются задания четырех слайдов)
Алгоритм графического решения системы линейных неравенств с двумя неизвестными.(решаются задании трех слйдов)
А теперь мы рассмотрим сюжетную, прикладную задачу, которая возникла на основе деятельности, наблюдений и опыта фермера некоторой фермы.
Задача.
Фермер выращивает кроликов двух пород – Русский косой и Белый великан для продажи. Причем число кроликов породы Белый великан не меньше утроенного числа кроликов породы Русский косой. Спрос на породу Русский косой не превосходит 20 кроликов за один раз, а спрос на породу Белый великан достаточно высок - за один раз удается продать от 25 до 50 кроликов. Кроликовод обычно везет животных в клетке, которая может вместить не более 60 кроликов. Сколько кроликов каждой породы нужно взять для получения максимальной прибыли от продажи за один раз, если прибыль от продажи одного кролика породы Русский косой составляет 45 руб., а о продажи одного кролика породы Белый великан – 30 руб.
Решение.
Реализуем первый этап математического моделирования – этап формализации, т.е. построение математической модели.
Что нам требуется найти в этой задаче? Давайте тогда введем переменные и
составим систему неравенств.
И так, мы выполнили первый этап моделирования. Мы составили математическую модель задачи. А не встречались ли мы сегодня с похожей системой? Эта система тоже есть математическая модель некоторой задачи. Я вам предлагаю дома составить к ней задачу.
И теперь перейдем ко второму этапу, к решению этой математической модели. Но т.к. мы убедились, что системы неравенств графическим методом вы решать умеете и время на уроке ограничено, то решение этой системы я задаю на дом, а вам предлагаю уже готовое решение. Что является решением системы неравенств?(пятиугольник АВСДЕ) Значит, АВСДЕ есть допустимое множество решений задачи? А как вы считаете, в какой в какой точке допустимого множества 45x+30y принимает наибольшее значение?
Мы пока не знаем ответа на этот вопрос и разобраться в нем нам поможет
Вера Сергеевна.
Далее блок Абатуровой Веры Сергеевны и Зотовой Веры Ивановны.
3. Домашнее задание. 1.Решить систему неравенств графическим методом.
2.Составить свою задачу к одной из рассмотренных
моделей
Мы надеемся, что этот урок вам был интересен, полезен и что мы продолжим курс линейного моделирования на элективном курсе в десятом классе.
Построим прямую заданную уравнением и определим полуплоскость, которая является искомым решением данного неравенства.
Решением системы является пересечение полуплоскостей заданных линейными неравенствами, т.е. выпуклый многоугольник ABCDE.
Решение задачи
Что нам требуется найти в этой задаче? Что мы обозначим за x и y?(количество кроликов разных пород для получения максимальной прибыли)
Т.к. нет разницы, предлагаю обозначить за x- кроликов породы Русский косой, а за y - кроликов породы Белый великан.
Кто пойдет к доске? Читай задачу по частям и попробуй в виде неравенств записать все ограничения.
За кроликов Русской породы можно получить прибыль 45х руб., а за кроликов Белый великан – 30y руб., тогда весь доход 45x+30y и он должен быть наибольшим, можно записать след. образом 45x+30y→max.
