Урок № 44-45
Логика 5 класс
Тема: «Обратные задачи. Решение обратных задач»
Цель:
познакомить ребят с понятиями задача, прямая задача и обратная задача;
научить их решать такие задачи;
научить их придумывать такие задачи;
способствовать развитию умений анализировать, сравнивать, обобщать, выделять главное; развивать осознанную математическую речь; развитие познавательного интереса учащихся;
содействовать воспитанию таких качеств как: самостоятельность, целеустремленность, настойчивость, целенаправленность, трудолюбие, аккуратность, ответственность
Задачи:
- Продолжить формирование навыков контроля результатов деятельности.
- Способствовать развитию коммуникативных навыков. Развивать умение анализировать, обобщать материал, выступать перед аудиторией, развивать интеллектуальные, творческие и исследовательские способности, активизировать интерес к учебным предметам.
- Формирование логического, абстрактного, эвристического, системного мышления.
Оборудование: проектор, экран, компьютер, презентации
План.
Организационные моменты
Что такое задача, обратная задача.
В науке существует понятие прямой и обратной задачи.
Прямая задача состоит в определении, каким станет состояние объекта в какой-то момент времени, исходя из имеющихся в начальный момент времени исходных данных, начальных и граничных условий, известных закономерностей его поведения.
Прямая задача есть по сути определение причино-следственной зависимости в поведении изучаемого объекта.
Обратная задача противоположна прямой - нужно, исходя из требуемого в какой-то момент времени (в будущем) состояния объекта, определить - какими должны быть исходные данные, начальные условия и закономерности, чтобы объект приобрел в будущем нужное состояние, то есть – зная следствие, нужно узнать причину, совокупность причин, которые приведут к данному следствию.
Обратные задачи в математике считаются некорректными и не имеют единственного решения. Прямые же задачи имеют, как правило, корректное и однозначное решение. Так, снаряд, выпущенный из пушки из определенной точки пространства, с определенной скоростью, под определенным углом, при известной силе и направлении ветра, через определенное число секунд будет в однозначно определяемой точке пространства и ни в какой другой.
Если же мы попытаемся определить, откуда и с какой скоростью и под каким углом и при какой силе и направлении ветра тот же снаряд должен быть выпущен, чтобы в определенный момент времени он попал в нужную нам точку пространства, то получится, что такая задача имеет неопределенность в решении: снаряд может быть выпущен из разных точек, с разными начальными скоростями, по разным траекториям и он будет и в том, и в другом, и в третьем случаях - в нужном месте, в нужное время. Вот такая незадача.
С учетом современных подходов к математическому образованию возрастает социальная значимость математики, как средства повышения интеллектуального уровня человека; усиливается гуманитарная ориентация, происходит переориентация с увеличения количества информации на формирование умения анализировать ее, продуцировать, использовать; математика рассматривается как главное средство развития абстрактного мышления человека.
Поэтому, главная функция обучения математике – формирование умения решать задачи:
задачи являются главным средством индивидуализации обучения;
в ходе самостоятельного размышления над задачей происходит развитие обучающегося;
умение решать задачи является главным критерием успешности обучения математике;
в ходе решения задач идет диалог обучающегося с учителем;
самостоятельная деятельность по решению задач ограничивает сферу пассивных форм обучения.
В процессе многолетней педагогической практики сложилась система работы с задачами, в которой реализуются современные подходы к преподаванию математики.
В основе системы лежат идеи технологии укрупнения дидактических единиц (УДЕ) П.М.Эрдниева.
1. “ Метод обратных задач ” - в его основе идея обращения упражнений.
Суть метода: работу с задачей нецелесообразно завершать получением ответа; надо приемом обращения составлять и решать новую, обратную задачу, извлекая тем самым дополнительную информацию, заключающуюся в связях между величинами решенной исходной задачи.
Схема составления обратной задачи: исключая одно из чисел условия и делая его искомым, ответ исходной задачи вводим в обратную задачу в качестве известного.
Например, из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали автобус и легковой автомобиль. Скорость автобуса 55км/ч, а легкового автомобиля на 15км/ч больше. Найти расстояние между пунктами A и B, если автобус и автомобиль встретились через 3 часа. Ответ: 375км.
Составляем таблицу данных для исходной и обратных задач:
Формулируем и решаем обратные задачи. Задача 1. Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали автобус и легковой автомобиль. Скорость автобуса 55км/ч, а легкового автомобиля на 15км/ч больше. Расстояние между пунктами A и B равно 375км. Через сколько времени автомобиль и автобус встретились?
Задача 2. Из пунктов A и B, расстояние между которыми 375км, одновременно навстречу друг другу выехали автобус и легковой автомобиль и встретились через 3 часа. Скорость автобуса 55км/ч. На сколько скорость автобуса меньше скорости автомобиля?
Задача 3. Из пунктов A и B, расстояние между которыми 375км, одновременно навстречу друг другу выехали автобус и легковой автомобиль и встретились через 3часа. С какой скоростью ехал автобус, если известно, что его скорость на 15км/ч меньше скорости автомобиля?
Итак, при решении взаимно обратных задач обучающийся выявляет и использует взаимно обратные связи между величинами, перестраивает суждения и умозаключения, использованные при решении прямой задачи. Обратные задачи – это продукт творчества обучающегося, логическое продолжение прямой задачи. Составление и решение обратной задачи – один из путей саморазвития обучающегося.
2. Второй прием работы с задачами – самостоятельное составление школьниками упражнений на основе сравнения и обобщения, индукции и аналогии.
3. Рассмотрим еще один эффективный прием работы с задачей:
- составление задачи;
- решение задачи;
- проверка решения с помощью обратной задачи;
- переход к родственному, но более сложному упражнению.
В качестве примера рассмотрим фрагмент урока в 5 классе.
Учитель. Составьте задачу, которая решалась бы выражением 15*4 + 20*5.
Ученик. В магазин завезли 4 ящика яблок по 15кг в каждом ящике и 5 ящиков по 20кг в каждом. Сколько килограммов яблок завезли в магазин?
Учитель. Составьте обратную задачу.
Ученик. В магазин завезли 4 ящика яблок по 15кг в каждом ящике и несколько ящиков по 20кг в каждом. Сколько ящиков по 20кг завезли в магазин?
Учитель. Используя данные первой задачи, составьте более сложную задачу.
Ученик. В магазин завезли 4 ящика яблок по 15кг в каждом ящике и 5 ящиков по 20кг в каждом. К концу дня в магазине осталась четвертая часть яблок. Сколько килограммов яблок было продано?
Решение задач – шуток и задач на смекалку.
Использование презентаций 1-17
Примеры прямых и обратных задач.
1 задача.
1.Туристы прошли 16 км , что составило 8/10 всего пути .Найти весь путь , который должны пройти туристы.
2.Туристы отправились в поход их путь составлял 20 км. За два дня они прошли 8/10 пути. Сколько километров туристы прошли за два дня ?
2 задача.
1.Коля съел 4 яблока , что составляет 2/5 всех яблок лежащих на столе. Сколько яблок было на столе?
2.На столе лежало 10 яблок. Коля съел 2/5 всех яблок . Сколько яблок съел Коля.
К задачам на нахождение дроби от числа составить обратные задачи
Когда мы составляем краткое условие задачи на нахождение дроби от числа, то в нем число и дробь, относящаяся к числу, стоят в разных строках. По этому признаку можно отличить задачи на нахождения дроби от числа. Рассмотрим конкретные задачи.
1) У мальчика было 280 рублей. На покупку книги он потратил 5/7 денег. Сколько денег у него осталось?
[pic]
Решение:
Поскольку число и относящаяся к нему дробь стоят в разных строках, это задача на нахождение дроби от числа. Чтобы найти дробь от числа, надо число умножить на эту дробь:
[pic]
Чтобы умножить дробь на число, надо числитель умножить на это число, а знаменатель оставить тем же. 280 и 7 сокращаем на 7. После умножения получаем, что книга стоит 200 рублей. Остается выяснить, сколько денег у мальчика осталось после покупки:
[pic]
Ответ: 80 рублей.
2) За три дня туристы на велосипедах преодолели 324 километра. В первый день они проехали 5/18 всего пути, во второй — 15/26 остатка. Сколько километров они проехали в третий день?
[pic]
Решение:
Сначала найдем, сколько туристы проехали в первый день пути. Число 324 и относящаяся к нему дробь 5/18 стоят в разных строках, значит, это задача на нахождение дроби от числа. Чтобы найти дробь от числа, число умножаем на дробь:
[pic]
Теперь найдем, сколько километров осталось после первого дня пути:
[pic]
Дробь 15/26 относится к оставшемуся пути, то есть к найденным 234 километрам. Дробь и число стоят в разных строках, значит, снова надо найти дробь от числа, а поэтому умножаем число на дробь:
[pic]
Осталось выяснить, сколько километров приходится на третий день пути. Для этого из оставшегося после 1-го дня пути вычитаем путь, пройденный во второй день:
[pic]
Ответ: 99 км.
Итоги урока
Подобная динамика работы с задачами, основанная на идеях укрупнения дидактических единиц, раскрывает и приводит в действие большие резервы человеческого мозга, развивает интеллектуальную сферу ученика.
Очень важно подобрать посильные для обучающихся задания, соответствующие их возможностям, развитию. Ведь часто бывает, что даже смышленый обучающийся не хочет просто прочитать задачу, не то что решать ее, а поэтому целесообразно использовать внешнюю занимательность текстов. Цель может быть достигнута, если условие задачи будет похоже на сказку.
Домашнее задание.
Придумать математическую задачу и обратную ей задачу.
6
