Олимпиада по математике
10 класс
Общее максимальное количество баллов - 35 (по 7 б. за каждое задание).
Задание №1. Продолжите ряд:
2;5;9;16;27;45;74;121;197;...
Решение. Каждое следующее число получается, как сумма двух предыдущих, увеличенная на 2.
2+5+2=9
5+9+2=16
9+16+2=27
…
121+197+2=320
197+320+2=519…
Ответ: 2;5;9;16;27;45;74;121;197; 320; 519...
Правильность (ошибочность решения)
7
Полное верное решение
4
Верно найдено свойство ряда, но допущена вычислительная ошибка и ряд продолжен верно.
2
Использовался метод подбора.
0
Неверное решение( или нет решения)
Задание №2. Найти p,если известно, что при всех действительных значениях x
(a+bx+c)+(b+ax-7)+(p+cx+3)=-2x-5.
Решение. a+bx+c+b+ax-7+p+cx+3=-2x-5
(a+b+p)+x(b+a+c)+(c-7+3)=-2x-5
a+b+p=1
b+a+c=-2
c-7+3=-5
c=-1
b+a-1=-2
a+b=-1
p=2.
Ответ: p=2.
-во баллов Правильность (ошибочность решения)
7
Полное верное решение
6
Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение. ИЛИ Полное верное решение, но не записан ответ
4
Верно раскрыты скобки и сгруппированы подобные слагаемые
2
Верно раскрыты скобки, но подобные слагаемые сгруппированы не верно.
0
Неверное решение( или нет решения)
Задание №3. Пусть окружность Г описана вокруг треугольника АВС, прямая l касается Г в точке А. На стороне АВ взята точка D, на стороне АС – точка Е так, что AD = 6, АЕ = 5, ЕС=7 и прямая l параллельна DЕ. Найти BD.
Решение. <FAC = 0,5 дуги АС = <ABC; <FAC = <AED как
внутренние накрест лежащие при параллельных
l и DE. Поэтому <AED = <ABC. Аналогично
<ADE = <ACB. Поэтому треугольники ADE и ABC подобны.
Следовательно, = . Т.е
= . Поэтому BD = 4. l А F
Ответ: BD = 4.
B
Правильность (ошибочность решения)
7
Полное верное решение
6
Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение. ИЛИ Полное верное решение, но не записан ответ
5
Ход решения венный, но при составлении пропорции допущена ошибка и получен неверный ответ. Решение может стать правильным после небольших исправлений или дополнений
3
Использовано свойство вписанного угла, но подобие не доказано.
0
Неверное решение (или нет решения)
C
Задание №4. Найти значение f(2), если для любого x≠0 выполняется равенство
f (x)+3f )=
Решение. f(2) +3f )= 4.Аналогично для любого x≠0
f () +3f(2)=, т.к. f )+3f(x)=
3f () +9f(2)= и f(x)= -
8f(2)= – 4= -; f(2)= - Ответ: f(2)= -
Правильность (ошибочность решения)
7
Полное верное решение
6
Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение. ИЛИ Полное верное решение, но не записан ответ
4
Верно выполнена подстановка аргумента, но допущена вычислительная ошибка.
2
При подстановке аргумента допущена ошибка, но дальнейший ход решения верный.
0
Неверное решение( или нет решения)
Задание №5. Вдоль улицы расположено 100 фонарей с переключателями. Их обслуживают 100 гномов. Вечером, с наступлением темноты ( когда все фонари выключены), гномы идут друг за другом и нажимают кнопки переключателей: первый- все кнопки подряд, второй- каждую вторую кнопку, третий – каждую третью и т.д., наконец, сотый гном нажимает только сотую кнопку. Указать номера фонарей, которые оказываются в конце концов выключенными.
Решение. Фонарь с номером m будет переключаться столько раз, сколько у числа делителей. Если d- делитель m, то m/d- тоже делитель. Итак, все делители m распадаются на пары d1 и d2 такие, что d1*d2=m. Нечетное число делителей будет у чисел m, обладающих делителем d таким, что m/d=d, что означает m=d^2. Будут включены фонари с номерами 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.
Ответ: фонари с номерами 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.
Правильность (ошибочность решения)
7
Полное верное решение
6
Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение. ИЛИ Полное верное решение, но не записан ответ
5
Получено верное решение способом перебора.
4
Использовалось свойство деления, но получен неверный ответ
0
Неверное решение (или нет решения)
