МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 9»
_________________________________________________________________
Фигурные числа в жизни человека
Секция МАТЕМАТИКА
Работу выполнила:
Ткаченко Екатерина, ученица 6Б класса
Руководитель: Остап Ирина Игорьевна,
учитель математики
БЕРДСК – 2016
Аннотация
Исследовательская работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, приложения.
Во введении обосновывается актуальность темы, определяются проблема, цель и задачи, объект и предмет, методы исследования, практическая значимость.
В первой главе я рассмотрела вопросы из истории возникновения фигурных чисел, виды эти чисел, применение фигурных чисел (плоских и пространственных).
Во второй главе использовала опытно-экспериментальные методы исследования.
В заключении изложены основные выводы по проведенному исследованию.
Введение ………………………………………………………………………..4
I. Теоретическая часть…………………………………………………….…5
1.1 Из истории фигурных чисел …………………………….…..…….5
1.2 Определение и виды фигурных чисел ……………………………7
II. Практическая часть ………………………………………………...…8
2.1 «Выкладывание» фигурных чисел ……………………………..…8
2.2 Применение фигурных чисел в жизни человека ………....…. 9
Заключение …………………………………………………………...……11
Список литературы …………………………………………………………11
Приложения…………………………………………………………………..12
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность:
Во время изучения обыкновенных дробей я обратила внимание на то, что в учебнике математики (автор - Виленкин Н.Я.) есть небольшая историческая сводка о фигурных числах. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало показать, что фигурные числа встречаются в окружающей жизни, просто люди об этом не задумываются.
Давным-давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, мы обнаружим, что получаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три. Всякое число, которое на что-нибудь делится, можно представить таким прямоугольником, и только простые числа не могут быть "прямоугольными". Оказывается, что существуют числа, которые можно выкладывать в виде геометрических тел. Это – телесные числа (пространственные фигурные числа). В связи с актуальностью проблемы мною сформулирована тема исследования: «Фигурные числа в жизни человека».
Цель исследования:
Выяснить, действительно ли существуют числа, которые можно с помощью камешков выкладывать в виде плоских геометрических фигур, геометрических тел.
Объект исследования: числа
Предмет исследования: фигурные числа
В соответствии с целью, объектом, предметом исследования нами сформулированы следующие задачи:
Задачи:
Узнать, какие числа называются фигурными, телесными;
Изучить историю возникновения фигурных и телесных чисел;
Выяснить, на какие виды эти числа делятся, узнать применение фигурных и телесных чисел;
Научиться самой «выкладывать» фигурные числа;
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1.1. Из истории фигурных чисел.
«Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счётной доске – абаке. По этой причине грек не знали нуля, так как его невозможно было «увидеть». Но и единица ещё не была равноправным числом, а представлялась как некий «числовой атом», из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу «границей между числом и частями», т.е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней «семя и вечный корень». Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как «числового атома» роднило её с точкой, считавшейся «геометрическим атомом». Вот почему Аристотель писал: «Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения». Итак, пифагорейские числа в современной терминологии – это натуральные числа».
Давным – давно, помогая себе при счёте камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, то получаются все чётные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получаются числа, делящиеся на три и т.д.
[pic]
Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трёх на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это развитие счёта на камушках. Множество закономерностей, возникших при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учёными при изучении чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. В 5-4 веках до нашей эры учёные, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование. С их помощью можно выложить правильные геометрические фигуры: треугольники, квадраты, пирамиды и т.д.
Увлеклись, причём независимо друг от друга, нахождением таких чисел Блез Паскаль и Пьер Ферма.
[pic] [pic]
Блез Паскаль Пьер Ферма
1.2. Определение и виды фигурных чисел.
Числа- камушки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.
Линейные числа (простые) – числа, которые делятся на единицу и на самих себя, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию. [pic]
Плоские числа – числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (плоское число 6=2∙3). [pic]
Телесные числа, выражаемые произведением трёх сомножителей (телесное число 8=2∙2∙2). [pic]
[pic]
Треугольные числа (3, 6, 10).
[pic]
Квадратные числа (4,9,16).
[pic]
Пятиугольные числа (5, 12, 22)
[pic]
Именно от фигурных чисел пошло выражение:
«Возвести в квадрат или куб».
Представление чисел в виде правильных геометрических фигур помогало пифагорейцам находить различные числовые закономерности. Например, чтобы получить общее выражение для n-го треугольного числа, которое есть не что иное, как сумма n натуральных чисел 1+2+3+…+ n, достаточно дополнить это число до прямоугольного числа n(n+1) и увидеть (именно увидеть глазами!) равенство 1+2+3+…+ n = n(n+1).
Написав последовательность квадратных чисел, опять легко увидеть глазами выражение для суммы n нечётных чисел 1+3+5+…+(2 n-1) = n2 . [pic]
[pic]
Разбивая n-е пятиугольное число на три (n-1) треугольных, (после чего остаётся ещё n камешков»), легко найти его общее выражение 1+4+7+…+3 n-2= n+3=.
Разбиением на треугольные числа получается и общая формула для n- го k-угольного числа: =n+(k-2).
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
2.1 «Выкладывание» фигурных чисел
Кроме изучения теоретического материала я выполнила ряд «проб» выкладывания фигурных чисел с помощью обыкновенных камушек и счётных палочек (Приложение 1) [pic] [pic]
Линейное число Треугольное число - 3
[pic] [pic]
Треугольное число – 6 Квадратное число – 4
[pic] [pic]
Квадратное число – 9 Телесное число - 8
Почему числа 2*2*2*2=16, 3*3*3*3=81, 4*4*4*4=256 и т.д. не имеют своего названия, хотя у квадратов и кубов чисел такие названия есть? А дело в том, что мы живем в мире трех измерений (длина, широта и высота). Квадрат получился, когда мы выложили фигуру с одинаковой длиной и шириной: куб - фигура с одинаковыми длиной, шириной и высотой. Но нет четвертого измерения, чтобы выложить такую же красивую фигуру из 2*2*2*2 камушков.
2.2 Применение фигурных чисел в жизни человека
Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с фигурными числами. А ведь это так просто и интересно.
При изучении формулы площади прямоугольника используется понятие плоского числа, которое представляется виде произведения двух сомножителей – длины и ширины.
При вычислении объёма прямоугольного параллелепипеда применяется понятие телесного числа, выражаемого произведением трёх сомножителей – длины, ширины и высоты.
Упаковка конфет в форме линейного числа
На параде солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты или прямоугольники (плоские числа). (Приложение 2)
Во время различных праздников мы видим показательные выступления лётчиков. Самолёты в воздухе образуют треугольные или другие фигурные числа.
Треугольные числа можно встретить в самых обычных местах. (Приложение 3)
Фигурные числа встречаются при упаковке различных товаров в коробки и другие ёмкости.
Телесные числа используются при упаковке конфет, консервных банок, блокнотов, тетрадей, ручек и др. в различные ёмкости. (Приложение 4)
Плоские числа тоже часто используются при упаковке конфет, растительного масла, лимонадных бутылок … (Приложение 5)
К фигурным числам можно отнести пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидкой. Как раньше складывались ядра у около пушки. (Приложение 6)
Используя различные фигурные числа как телесные, так и пирамидальные, укладывают товар на прилавке, конфеты в различные упаковки, украшают праздничный стол и т.д. (Приложение 7)
Фигурные числа на улицах и в магазинах города Бердска. (Приложение 8)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В процессе работы по данной проблеме я добилась цели, поставленной в начале исследования: изучила и исследовала фигурные числа - одно из понятий математики.
Подводя итог работы, пришла к выводу об актуальности данной темы:
- Фигурные числа, действительно, существуют: они выкладываются в виде геометрических фигур;
- Фигурное представление чисел помогло «открыть» ряд математических законов.
Невозможно представить современную жизнь без фигурных чисел, они вокруг нас, мы живем среди них, они нам нужны, как солнце, воздух и вода.
Список литературы
1. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции.
2. Бендукидзе А. Фигурные числа. Физико-математический журнал, Квант,, 1974г., №6.
3. Детская энциклопедия: Я познаю мир. Математика. Сост. А.П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова
4. Энзенбергер Х.М. Дух числа. Математические приключения. Харьков. 2005
Приложения
Приложение 1
[pic] [pic]
[pic] [pic] [pic]
Приложение 2
[pic] [pic]
Приложение 3 [pic]
[pic]
Приложение 4 [pic]
[pic] [pic] [pic]
Приложение 5
[pic] [pic]
Приложение 6
[pic]
Приложение 7
[pic]
[pic]
Приложение 8
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic]
[pic]
