Урок Прямоугольные треугольники и некоторые их свойства (геометрия 7 класс)

Сценарий и технологическая карта урока

«Прямоугольные треугольники и некоторые их свойства»,

геометрия 7 класс.

Автор: Корнилова Любовь Александровна,

Учитель МБУ «Лицей № 6» г. Тольятти

Тема: Прямоугольные треугольники и некоторые их свойства.

Класс: 7

Учебно-методическое обеспечение: Учебник: Геометрия, 7-9: учеб.для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.

Урок изучения нового материала.

Педагогические технологии: Технология деятельностного метода обучения. Информационно-коммуникационная технология.

I этап. Мотивация к деятельности

Глава, которую мы изучаем называется «Соотношения между сторонами и углами треугольника».

- Какую фигуру мы рассматриваем в этой главе?

- Треугольник.

Вспомним теоремы и определения, которые характеризуют эту фигуру. Сформулируйте их.

1. Теорема о сумме углов треугольника.

2. Виды треугольников.

3. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

4. Следствия из теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

5. Неравенство треугольника.

6. Вспомним, что еще мы рассматривали углы, которые не являются внутренними углами треугольника. Как они называются?

Дайте определение внешнему углу треугольника. Напомним теперь теорему о внешнем угле треугольника.

А теперь возьмите листочек на парте, сейчас выполним «Мини-тест». Запишите свою фамилию. В столбик запишите номера с 1 до 5. Напротив каждого номера запишите букву верного ответа. Слайд 1.

Засекаем три минуты. Время пошло.

А теперь проведем самопроверку выполненной работы. Поставьте плюсы напротив верно выполненных заданий и минусы напротив неверно выполненных заданий. Оцените вашу работу.

Критерии оценки следующие: «3» - за 3 верно выполненных задания,

«4» - за 4 верно выполненных задания,

«5» - за 5 верно выполненных задания.

Поднимите руки у кого «3», «4», «5». Молодцы.

Сегодня на уроке мы остановимся на рассмотрении прямоугольного треугольника.

Слайд 2.

Еще раз вспомним элементы такого треугольника АВС. Обычно С – прямой, но не всегда.

- Катет, катет, гипотенуза.

Прямоугольный треугольник занимал почетное место уже Вавилонской геометрии, упоминание о нем часто встречается в папирусе Ахмеса.

Термин «гипотенуза» происходит от греческого слова «hypoteinsa» (ипонейнуоза), обозначающее «тянущаяся над чем-либо», «стягивающая».

Термин  «катет» происходит от греческого слова «катетос», которое означало отвес, перпендикуляр

Прямоугольный треугольник обладает, как и любая другая фигура, своими индивидуальными свойствами.

Учитель фиксирует на доске прямоугольные треугольники различного вида.

Изучим их сегодня. В связи с этим сформулируйте тему урока.

Так как же назовем тему сегодняшнего урока?

- Тема: «Свойства прямоугольного треугольника». Запишем ее в тетради.

- Какие перед нами стоят цели?

- выявить свойства прямоугольных треугольников, доказать их, научиться применять их на практике при решении задач.

Нарисуем в тетради прямоугольный треугольник АВС.

II этап Учебно-познавательная деятельность

Рассмотрим Задание № 1. Слайд 3.

Найдите А + В в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С.

Дано: АВС, С=90°. Найти: А + В. [pic]

Решение: А+ В+ С=180° по теореме о сумме углов треугольника.

С=90° по условию => А+ В+ 90°=180°, А+ В=180°- 90°, А+ В=90°.

Ответ: А+ В=90°.

Какой вывод можно сделать о сумме углов прямоугольного треугольника. Каких углов прямоугольного треугольника? Изменится ли результат суммы двух острых углов прямоугольного треугольника другого вида.

- Сформулируем первое свойство прямоугольного треугольника.

Свойство. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Запишем в тетради: 1. А+ В=90°.

Решим устно несколько задач по первому свойству. Слайд 4.

А = ?

№ 2

А = ? В = ?

№ 3

А = ?

Задание № 2. Слайд 5.

Докажите, что в прямоугольном АВС с прямым углом С катет, лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы.

В случае затруднения, дать   подсказку (через 2-3 минуты) о том, чтобы достроить треугольник, равный данному.

[pic]

Дано: АВС, С = 90°, В=30. Доказать: АС=АС=АВ.

Доказательство: 1. Дополнительное построение ВСД =ВСА.

Получили АВД. В = Д = 60° => АД=АВ, но по свойству равнобедренного треугольника биссектриса ВС является также и медианой. Тогда АС= АД= АВ. [pic]

Значит, АС= АВ. ЧТД.

- На основании этого задания давайте сформулируем следующее свойство прямоугольного треугольника.

Свойство. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Верна и обратная теорема. Давайте попробуем её сформулировать.

Свойство. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенуз, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Рассмотрим устно несколько задач по первому свойству. Слайд 6.

№ 6

АС = ?

Задание № 3. Слайд 7.

Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. [pic]

Дано:АВС, С = 90°, СМ – медиана.

Доказать: СМ = АВ.

Доказательство: 1. Дополнительное построение СМ = МD.

2. Рассмотрим АВС и СDВ.

1) ВМ = МА, т. к. СМ – медиана,

2) СМ = МD по построению,

3) СМА = DМВ по теореме о вертикальных углах.

Значит, СМА = DМВ по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно, АС = ВD.

3. Рассмотрим СDВ и АВС.

1) ВС – Общая сторона,

2) АС = ВD по доказанному выше,

3) СВ = DВС= 90°, так как АСВ – прямой по условию, а АВD = САВ из СМА = DМВ и DВС = СВА+ АВD=СВА+САВ= 90º по свойству углов прямоугольного треугольника.

Значит, СDВ =АВС по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно, АВ = СD.

4. М – середина отрезков АВ и СD. => АМ = МВ = СМ = МD.

Значит, СМ = АВ. ЧТД.

Сформулируем следующее свойство прямоугольного треугольника.

Свойство. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Верна и обратная теорема. Давайте попробуем его сформулировать.

Свойство. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник – прямоугольный.

Рассмотрим устно несколько задач по первому свойству. Слайд 8.

№ 9

ВСМ = ?

Решим теперь, используя изученные свойства, задачу. Слайд 9.

Сдвиньте парты, чтобы сесть парами. Следующие задачи решаем совместно с соседом. Желающие к доске есть. Пожалуйста.

№ 1

В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла проведена высота СD. Найдите отрезок АD, если СВА = 30°, а гипотенуза АВ = 8 см. [pic]

Дано:АВС, С = 90°, СD – высота, СВА = 30°, АВ = 8 см.

Найти: АD.

Решение: 1. АС = 4 см по свойству угла в 30° прямоугольного треугольника.

2. А = 60° по свойству острых углов прямоугольного треугольника.

3. АСD = 30° по свойству острых углов прямоугольного треугольника.

4. АD = АС = 2 см по свойству угла в 30° прямоугольного треугольника.

Ответ: 2 см.

Решим ещё одну задачу. Слайд 10.

№ 2 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена высота ВН = 6 см, а точка М – середина боковой стороны ВС. Найдите отрезок МН, если [pic]

АВС = 120°.

Дано:АВС – равнобедренный, ВН = 6 см – высота, ВС = 120°, ВМ = МС.

Найти: МН.

Решение: 1. АВН = ВНС=60°, так как ВН –биссектриса В, по свойству высоты равнобедренного треугольника.

2. ВСН=30°по свойству углов прямоугольного треугольника

=> ВН = ВС, ВС = 12 см.

3. МН = ВС = 6 см, по свойству медианы прямоугольного треугольника.

Ответ: 6 см.

III этап. Контроль и оценка результатов деятельности

Сегодня мы изучили свойства прямоугольного треугольника. Оцените результаты своей работы сегодня на уроке геометрии.

• Я всё понял и могу доказать все свойства.

• Я всё понял и могу доказать некоторые свойства.

• Для полного понимания  мне необходимо повторить тему дома.

• Я ничего не понял.

Я надеюсь, что вы хорошо все усвоили. Откройте дневники и запишите домашнее задание. Домашнее задание. Слайд 12.

Выбрать  задание  одного  из  уровней:

1. Пункт 34: выучить все свойства и доказательство любых двух.  №  255.

      2.  Пункт 34: выучить все свойства и  их  доказательство.   № 258

3. Пункт 34: выучить все свойства и   их  доказательство.   № 260

Творческое задание(пожеланию):  придумать  и  решить  задачу  на  применение  всех  свойств  прямоугольного треугольника.

Технологическая карта

Тема: Прямоугольные треугольники и некоторые их свойства

Научить школьников применять свойства прямоугольного треугольника при решении задач; проверить свои знания в ходе выполнения заданий.

Основное содержание темы, термины и понятия

Треугольник. Виды треугольников. Прямоугольный треугольник, катет, гипотенуза. Свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

4. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Планируемый результат

Предметные

Познавательные

Регулятивные

Коммуникативные

Личностные

Сформировать умение применять свойства прямоугольного треугольника при решений задач.

Поиск и выделение необходимой информации, осуществление анализа объектов с выделением существенных и несущественных свойств

планировать решение учебной задачи

организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками

Формирование познавательного интереса к изучению нового, способам систематизации и обобщения знаний

Организация пространства

Учебник: Геометрия, 7-9: учеб.для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.

Методическое пособие: Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: Метод. Рекомендации к учеб.: Кн. Для учителя / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю. А. Глазков и др.

Наглядный и раздаточный материал: Дидактические материалы по геометрии для 7 кл. / Б. Г. Зив, В. М. Мейлер

I этап. Мотивация к деятельности

Проблемная ситуация

Глава, которую мы изучаем называется «Соотношения между сторонами и углами треугольника». Вспомним теоремы, которые мы уже изучили из этой главы.

1. Теорема о сумме углов треугольника.

2. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

3. Неравенство треугольника.

4. Повторим виды треугольников.

Диагностика (мини-тест: Задание 1)

Сегодня мы остановимся на рассмотрении прямоугольного треугольника. Назовите элементы такого треугольника.

- Катет, катет, гипотенуза.

Прямоугольный треугольник обладает, как и любая другая фигура, своими индивидуальными свойствами.

Изучим их сегодня.

Так как же назовем тему сегодняшнего урока?

- Тема: «Свойства прямоугольного треугольника».

II этап Учебно-познавательная деятельность

Изучения

Учебные задания

Универсальные учебные действия

Диагностические

задания

Познавательные

Регулятивные

Коммуникативные

Личностные

Цель – мотивировать учащихся на вывод свойств прямоугольного треугольника

Задание № 1

Найдите А + В в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С.

Общеучебные: структурирование знаний;

моделирование;

Логические: анализ, синтез, подведение под понятие, построение логической цепи рассуждений

Целеполагание, коррекция, саморегуляция

Выдвижение гипотез и их обоснование

Карточка 2

Работа с готовыми чертежами

Задание № 2

В прямоугольном АВС с прямым углом С А=30. Докажите, что катет, лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы.

Общеучебные: структурирование знаний;

моделирование;

Логические: анализ, синтез, подведение под понятие, построение логической цепи рассуждений

Целеполагание, коррекция, саморегуляция

Выдвижение гипотез и их обоснование

Карточка 2

Работа с готовыми чертежами

Задание № 3

Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Общеучебные: структурирование знаний;

моделирование;

Логические: анализ, синтез, построение логической цепи рассуждений

Целеполагание, коррекция, саморегуляция

Выдвижение гипотез и их обоснование

Карточка 2

Работа с готовыми чертежами

№ 256

Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Общеучебные: структурирование знаний;

моделирование;

Логические: анализ, синтез, подведение под понятие, построение логической цепи рассуждений

Целеполагание, коррекция, саморегуляция

Выдвижение гипотез и их обоснование

Задание № 4

На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС взята точка Е, внутри треугольника – точка Д. Перпендикуляр ЕМ к прямой АС делит катет АС пополам, В=45º, СДА=90º, ДСА=60º. Докажите, что ЕМ = ДС.

Общеучебные: структурирование знаний;

моделирование;

Логические: анализ, синтез, построение логической цепи рассуждений

Целеполагание, коррекция, саморегуляция

Диагностика качества учебно-познавательной деятельности

Цель

Самостоятельная

Работа

Предметные результаты

УУД

Познавательные

Регулятивные

Коммуникативные

Личностные

Задание 1

Актуализация опорных знаний учащихся

Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий

Целеполагание, коррекция, саморегуляция

Работа в парах

Задание 2

Работа с готовыми чертежами

Сформировать умение применять свойства прямоугольного треугольника при решений задач.

Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий

Целеполагание, коррекция, саморегуляция

IIIэтап. Интеллектуально-преобразовательная деятельность

Карточка 2

Продуктивные задания. Формируется продуктивное мышление

№ 256

Импровизационное задание

Задание № 3

Эвристическое задание

Задание № 4

IV этап. Контроль и оценка результатов деятельности

направлен на самостоятельный поиск учащимися новых понятий и способов действия.

Предполагает последовательное и целенаправленное выдвижение перед учащимися познавательных проблем, разрешая которые, они под руководством учителя активно усваивают новые знания.

Набор учебных задач поставлен в соответствие с дидактической целью урока, по таксономии учебных задач Д.Толлингеровой максимально приближен к 1.