Бутко Сергей Васильевич. Киялинская средняя школа.
Аккайынский район, Северо-Казахстанская область.
Прикладные задачи экономического содержания
Глубокие связи, существующие между математикой и экономикой на научном уровне, должны найти адекватное отражение в связях между соответствующими учебными дисциплинами, особенно при подготовке учащихся для поступления в учебные заведения, где изучают экономику. Поэтому учителю математики при изучении различных математических понятий и фактов целесообразно предлагать учащимся задачи, иллюстрирующие приложение изучаемой теории для решения экономических задач. Решение таких задач позволит учащимся на конкретных примерах увидеть, как абстрактные математические понятия и факты можно эффективно применять в профильной для них дисциплине, что будет способствовать развитию положительной мотивации учащихся в математической подготовке.
Приведу несколько примеров прикладных задач экономического содержания, которые можно предлагать учащимся, как на уроках математики, так и на внеклассных занятиях.
1. При цене билета на футбольный матч в 450 тг. на стадион вместимостью 40 тысяч человек пришло 5 тысяч зрителей. При снижении цены билета до 200 тг. на матч с участием тех же команд число болельщиков, решивших посетить матч, увеличилось до 30 тысяч человек. На основе анализа статистических данных было установлено, что спрос на билеты задается линейной функцией. Определите, какую цену на билет должна установить администрация стадиона, чтобы во время игры данных команд стадион был заполнен полностью.
Решение. Перед составлением математической модели данной задачи учащиеся должны вспомнить из курса экономики, что функцией спроса на данный товар называют сложившуюся на определенный момент времени зависимость между ценой товара р. и величиной спроса на него q
Перейдем теперь к составлению математической модели ситуации, описанной в задаче.
Пусть q (тыс. шт.) — количество купленных билетов, а р (р.) — цена одного билета. По условию задачи зависимость количества купленных билетов от цены характеризуется линейной функцией, поэтому функция спроса на билеты имеет вид: q = kp + с.
Т [pic] ак как при р = 450 q = 5, а при р = 200 q = 30, то для нахождения k и с имеем систему 450k + с = 5,
200k + с = 30.
Решением системы являются k = -0,1 и с = 50.
Следовательно, спрос на билеты описывается следующей функцией:
q = -0,1р + 50.
Теперь можем ответить на вопрос задачи.
Для этого составим уравнение -0,1р + 50 = 40, решив которое, заключаем, что q = 40 при р = 100.
Итак, болельщики заполняют стадион полностью, если администрация установит за билет цену в размере 100 тг.
Рассмотрим теперь примеры задач, позволяющих оценить возможные последствия и направления регулирования цен на различных рынках (на валютном рынке, на рынке товара и рынке труда), если известны соответствующие функции спроса и предложения.
Начнем с рассмотрения мероприятий, связанных с регулированием валютного рынка.
2. На валютном рынке сложилась следующая ситуация: при курсе 100 тг../долл. объем рыночного предложения валюты равен нулю, а величина спроса составляет 300 млн. долл. Кроме того, известно, что при курсе 150 тг./долл. рынок находится в равновесии и равновесный объем продаж валюты составляет 40 млн. долл. Исследования финансовых аналитиков показали, что зависимости величины спроса и объема предложения валюты от ее цены характеризуются линейными функциями. Определите, какой объем валюты должен продать или купить Центральный банк, чтобы снизить равновесный курс до 125 тг./долл.?
Решение. Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо знать объемы спроса и предложения при курсе 125 тг./долл., то есть нужно определить значения функций спроса и предложения при данном валютном курсе. Для этого потребуется общий вид функций спроса и предложения.
Здесь учащимся необходимо вспомнить некоторые экономические понятия и факты.
Как было отмечено выше, функция спроса на товар характеризует зависимость между ценой товара и величиной спроса на него. Аналогично определяется и функция предложения товара — это функция ,
описывающая сложившуюся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и количеством товара, предлагаемого к продаже. Состояние: равновесия на рынке характеризуют такие цена и количество, при которых объем спроса на товар совпадает с величиной его предложения.
Так как по условию задачи спрос и предложение задаются линейными функциями, то можно записать, что функция спроса имеет вид
q =k1р+с1, а функция предложения q =k2р + с2, где р — цена валюты в тг./долл., q— объем покупки/продажи валюты в млн долл.
У [pic] [pic] читывая условие задачи, для нахождения значений k1 , k2, с1 и с2 составим две системы:
100k1 + c1 = 300, 100k2 +c2 = 0,
150k1 + c1 = 200; 150k2 + c2 = 200;
Решив первую систему, получим, что k1 = -2. c1 = 500. Таким образом, функция спроса на валюту имеет следующий вид: q = -2р +500.
Решением второй системы является пара k2 = 4, с2 = -400.
Таким образом, предложение валюты задается функцией q = 4р - 400.
Рассчитаем объем спроса и объем предложения при курсе валюты 125 тг./долл.
Если р =125, то, подставив данное значение р в функцию спроса, имеем q = 250, то есть величина спроса на валюту при данном курсе составит 250 млн долл. Аналогично, подставив р=125 в функцию предложения, получаем q = 100, то есть объем предложения валюты равен 100 млн долл.
Таким образом, при курсе 125 тг./долл. величина спроса на валюту превышает объем ее предложения на 150 млн долл., то есть на рынке валюты наблюдается избыточный спрос. Откуда заключаем, что для того, чтобы снизить равновесный курс доллара до 125 тг./долл., Центральному банку необходимо увеличить предложение валюты, продав для этого 150 млн долл.
Рассмотрим теперь примеры оценки последствий государственного регулирования рыночных цен на рынке товара.
3. В сентябре спрос на персики в городе М. задается следующей функцией: q = 700 - 2р, а предложение — функцией q = 100+ 4р, где р — цена 1 кг персиков тенге, q — количество персиков в килограммах.
а) Определите параметры рыночного равновесия на
рынке персиков.
б) Что произойдет на рынке данного товара, если
акимат города М., заботясь о здоровье граждан, решит
стимулировать потребление населением персиков и с:
этой целью зафиксирует верхний предел цены персиков на уровне 75тг. за 1 кг?
Решение. Параметры рыночного равновесия определяем из системы
[pic]
q =700 – 2р,
q= 100 + 4р.
Решением системы являются р =100, q = 500.
Таким образом, равновесная цена персиков равна 100 р. за 1 кг, а равновесный объем продаж составляет 500 кг.
б) Понижение цены до 75 р. за килограмм приведет к стимулированию потребительского спроса до 550 кг и к одновременному снижению величины предложения до 400 кг. Другими словами, при снижении цены потребители действительно захотят увеличить потребление персиков до 550 кг, но купить смогут ровно столько, сколько продавцы им продадут, то есть 400 кг. При этом величина спроса на персики превысит величину их предложения на 150 кг, то есть снижение цены приведет к тому, что в городе М. возникнет дефицит персиков в размере 150 кг.
4. Функция спроса на некоторый товар имеет вид q = 1200 - Зр, а предложение данного товара задается функцией q = 7р - 800, где р — цена единицы товара в тенге, q — количество товара в штуках.
а) Чему равны равновесные значения цены и количества?
б) Допустим, что государственными органами контроля рыночных цен установлен верхний предел цены на данный товар в размере 150 тг. Охарактеризуйте последствия данной меры качественно и в количественном выражении.
Решение, а) Для определения равновесных значений количества товара и цены единицы товара составляем систему
[pic] q = 1200 – 3p.
q = 7p -800;
решив которую получаем, что р = 200, q = 600.
Итак, имеем, что равновесие достигается при цене 200 тг. за единицу товара и количестве товара 600 шт.
б) Для ответа на второй вопрос задачи вычислим величину спроса и величину предложения при цене 150тг.: если р = 150, то потребители готовы купить 750 шт., а производители готовы продать 250 шт.
Таким образом, в результате действий со стороны государства возникнет дефицит данного товара в количестве 500 шт.
5
