Занятие 3.
Делимость. Основные свойства.
№1. Делится ли 2ⁿ ∙ 3 на 2? На 3? На 5? На 8? На 9? На 6?
№ 2. Можем ли мы утверждать, что: а) если а делится на 4 и на 3, то а делится на 12; б) если а делится на 4 и на 6 , то а делится на 24; в) если а – чётное, то 3а делится на 6; г) если 15а делится на 6, то а делится на 6; д) если а∙а делится на 8, то а делится на 8?
№ 3. Докажите, что: а) если a2 делится на 3, то а делится на 3
б) если a2 делится на 3, то a2 делится на 9
№ 4. Докажите, что произведение трёх последовательных натуральных чисел делится на 6. Докажите, что произведение пяти последовательных натуральных чисел делится на 60, 120.
№ 5 Можем ли мы утверждать, что: а) если а делится на 4 и ас делится на 6, то ас делится на 24, б) если а делится на 9, ас делится на 10, то ас делится на 90?
Определение: Два натуральных числа называют взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме 1.
№ 6. Можно ли монетами 14 и 35 шиллингов заплатить без сдачи сумму в 1999 шиллингов?
№ 7. Дети, построенные парами, возвращаются с вечернего чая с пряниками в карманах. В каждой паре у одного пряников вдвое больше, чем у другого. Может ли у всех вместе быть ровно 1000 пряников?
№ 8. Количество натуральных делителей некоторого числа – нечётно. Докажите, что это число – полный квадрат.
НОД и НОК чисел. Взаимно простые числа и их свойства.
Определения: Наибольшим общим делителем (НОД) натуральных чисел а и с называется наибольшее из чисел, на которое делятся оба числа а и с. Если а и с – взаимно простые, то НОД(а;с)=1.
Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и с называется наименьшее из натуральных чисел, делящееся на оба числа а и с. Обозначается НОК(а;с)
№ 9. Может ли наименьшее общее кратное двух чисел равняться их сумме?
№ 10. Из монет 6, 9, 15 рублей наберите наибольшую сумму, не превышающую 200 рублей. Объясните, почему сумма наибольшая?
№ 11. Имеет ли уравнение 3х +9у = 202 решение в целых числах?
№ 12. На ферме 20 коров и уток, всего у них 42 ноги. Найдите, сколько коров и сколько уток.
Остатки и их свойства.
Определение: число а делится на число b с остатком r, 0≤ r≤ b, если а = b∙с + r, где с – целое. При этом с – неполное частное при делении а на b.
Говорят, что числа а и b сравнимы по модулю m, если они дают одинаковые остатки при делении на m. Обозначается а ≡ b (mod m)
Теорема о действиях с остатками. Пусть число а1 дает при делении на m остаток r1, число а2 дает при делении на m остаток r2. Тогда:
Число а1 + а2 при делении на m дает тот же остаток, что и число r1 + r2;
Число а1 - а2 при делении на m дает тот же остаток, что и число r1 - r2;
Число а1а2 при делении на на m дает тот же остаток, что и число r1r2.
Таким образом остатки можно складывать, вычитать и умножать.
№ 13. Найдите остаток от деления 25 на 7, 25 на 5, 28 на 5, -15 на 7.
№ 14. Найдите остаток от деления 7100 на 6.
№ 15. Найдите остаток от деления 11100 на 12.
№ 16. Найдите остаток от деления 2100 на 5.
№ 17. Найдите остаток при делении на 7 числа 100100 – 30100 .
№ 18. Докажите, что a5 + 4а делится на 5 при любом натуральном а.
№ 19. Докажите, что a2 + 1 не делится на 3 ни при каком натуральном а.
№ 20. Докажите, что a3 + 2 не делится на 9 ни при каком натуральном а.
Домашнее задание.
№1 Сможет ли Петя разложить 44 монеты по 10 карманам так, чтобы количество монет в каждом кармане было различным?
№ 2. Представьте число 203 в виде суммы нескольких чисел так, чтобы произведение этих чисел было равно 203
№ 3. Может ли наименьшее общее кратное трёх чисел равняться их сумме?
№ 4. Имеет ли уравнение 7х + 21х = 107 решение в целых числах?
№ 5. Найдите остаток от деления 37 на 8, 29 на 5, 44 на 3, -11 на 4
№ 6. Найдите остаток от деления 8100 на 7.
№ 7. Докажите, что a3 + 8а не делится на 5 ни при каком натуральном а.
Решение и ответы к занятию 3.
№1. да, да, нет, да, нет, да
№ 2. а) да, б) нет, например 12, в) да, г) нет, например а=2, д)нет, например а=4
№ 3. а) У чисел а и a2 одинаковые простые множители, но в числе a2 степень каждого простого множителя в 2 раза больше. Если бы а не делилось на 3, то и a2 также не делилось бы на 3.
б) если a2делится на 3, то а делится на 3, то есть у числа а есть множитель 3. Значит, у числа
a2 множителей 3 хотя бы два, тогда a2 делится на 9, так как 9=3∙3.
№ 4. Так как каждое второе число делится на 2, а каждое третье – на 3, то произведение трёх последовательных чисел делится и на 2 и на 3, значит на 6. Так как каждое четвёртое число делится на 4, а каждое пятое на 5, то произведение пяти последовательных чисел делится на 3х4х5=60. Заметим, что среди последовательных чисел хотя бы два чётные, одно из которых делится на 4, получаем, что их произведение делится на 2х3х4х5=120.
№ 5. а)нет, б) да
№ 6. Нет, числа 14 и 35 делятся на 7, значит ими можно оплатить только сумму, которая делится на 7. Легко проверить, что 1999 не делится на 7.
№ 7. Нет, в каждой паре общее количество пряников делится на 3, значит сумма всех пряников делится на 3. Число 1000 на 3 не делится.
№ 8. У числа а – не являющегося полным квадратом, все делители разбиваются на пары (с; а:с), то есть их количество чётно. У полного квадрата а = х2
Все делители, кроме числа х, разбиваются на пары, то есть у полного квадрата – нечётное количество делителей. Если у некоторого числа нечётное число делителей, то они не могут разбиться на пары, значит такое число не может не быть полным квадратом.
№ 9. Нет. Предположим, что НОК(а;с) = к и а+с = к. Так как а делится на а и к делится на а, то обязательно с делится на а, следовательно НОК(а;с) = с.
№ 10. 198. Так как числа 6,9,15 делятся на 3, то ими можно набрать только сумму делящуюся на 3. Наибольшее число, не больше 200 и делящееся на 3, равно198. Сумму 198 набрать можно, например, взять 33 монеты по 6 рублей.
№ 11. Нет. Левая часть уравнения делится на 3, а правая – нет.
№ 12. 1 корова и 19 уток. Пусть на ферме х коров, тогда уток (20- х). Учитывая, что у коров по 4 ноги, а уток по 2 ноги, получаем уравнение: 4х + 2(20-х) = 42, откуда получаем х = 1.
№ 13. 4; 0; 3; 6
№ 14. 7 ≡1 (mod 6), тогда 7100 ≡ 1100 ≡ 1(mod 6).
№ 15. 11 ≡ - 1 (mod 12), тогда 11100 ≡ (- 1)100 ≡ 1(mod 12).
№ 16. 21 ≡2 (mod 5), 22 ≡4 (mod 5), 23 = 8≡3 (mod 5), 24 = 23 ∙ 2 ≡3 ∙ 2 = 6 ≡1 (mod 5),
2100 = 24∙25 ≡ 125 = 1(mod 5).
№ 17. 100 ≡2 (mod 7), 30 ≡ 2(mod 7), 100100 – 30100 ≡ 2100 - 2100= 0 (mod 7)
№ 18. Найдём какие остатки при делении на 5 может давать выражение a5 + 4а, в зависимости от остатков числа а при делении на 5. Составим таблицу.
0
1
2
3
4
a5
0
1
2
3
4
4а
0
4
3
2
1
a5 + 4а
0
0
0
0
0
Из таблицы видно, что какой бы остаток при делении на 5 ни давало число а, число a5 + 4а даёт остаток 0, что и означает требуемое.
№ 19. Найдём какие остатки при делении на 3 может давать выражение a2 + 1, в зависимости от остатков числа а при делении на 3. Составим таблицу.
0
1
2
a2
0
1
2
a2 + 1
1
2
2
Из таблицы видно, что при любых значениях а, число a2 + 1 даёт ненулевой остаток при делении на 3.
№ 20. Найдём какие остатки при делении на 9 может давать выражение a3 + 2 в зависимости от остатков числа а при делении на 9. Составим таблицу.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
a3
0
1
8
0
1
8
0
1
8
a3 + 2
2
3
1
2
3
1
2
3
1
Из таблицы видно, что при любых значениях а, число a3 + 2 даёт ненулевой остаток при делении на 9.
