Программа элективного курса Алгебраические дроби

Программа элективного курса «Алгебраические дроби»

Пояснительная записка

Данный элективный курс адресован учащимся 8 классов, а также может служить дополнительным курсом при подготовке к ГИА по математике в 9 классе и вступительным экзаменам. В школьном курсе алгебры алгебраическим дробям уделяется значительное время. Однако, как показывает практика, именно преобразование и сокращение алгебраических дробей и выражений, как само по себе, так и при решении рациональных уравнений и неравенств, вызывает значительное затруднение у учащихся основной, да и нередко, старшей школы. Кроме того, следует отметить, что эта тема служит базой для преобразования рациональных выражений, содержащих квадратные трехчлены, степени с отрицательными показателями, а также выражений, содержащих корни. Задачи такого типа нередко используются в заданиях ГИА и ЕГЭ, вступительных экзаменов. В дальнейшем знания и навыки решения задач по этой теме используются при вычислении пределов последовательностей и функций, производных и интегралов как в курсе профильной школы, так и в курсе высшей математики высших учебных заведений.

Целями изучения курса являются: закрепление, расширение и углубление знаний и навыков действий с алгебраическими дробями, преобразования рациональных выражений, необходимых для дальнейшего практического применения и изучения смежных тем, развитие интереса учащихся к математике, формирование способности учащихся рационально использовать умения и навыки, полученные на уроке; формирование ясности и точность мысли, логического мышления, общей математической культуры.

Задачи элективного курса:

– формирование у учащихся целостного представления о теме, ее значении в математике, связи с другими темами;

– закрепление у учащихся умений и навыков решения упражнений на действия с алгебраическими дробями и их преобразования, в том числе и повышенной трудности;

– формирование аналитического мышления, умения преодолевать трудности при решении сложных задач;

– создание условий для формирования и развития навыков анализа и систематизации полученных ранее знаний, подготовка к итоговой аттестации;

– сформировать представления об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники;

– помочь учащимся осознанно выбрать дальнейший профильный уровень обучений в старшей школе.

Программа элективного курса рассчитана на 17 часов занятий, которые желательно проводить во 2-м полугодии 8 класса. Курс предполагает компактное и четкое изложение вопросов теоретического характера, решение типовых примеров и задач, самостоятельную и творческую работу. Предлагаемые практические задания различаются по уровню сложности. Последнее занятие планируется провести в форме зачета.

Требования к уровню усвоения учебного материала

В результате изучения курса, учащиеся научатся:

– оперировать понятиями «алгебраическая дробь», «допустимое значение переменной», «тождественное преобразование», работать с формулами;

– используя правила действий над многочленами и алгебраическими дробями выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;

– выполнять разложение многочленов на множители с помощью формул сокращенного умножения.

Учащиеся получат возможность научиться:

– выполнять многошаговые преобразования рациональных выражений с применением широкого набора способов и приёмов;

– применять тождественные преобразования для решения задач из различных разделов курса.

Контроль знаний и умений. Текущий контроль уровня усвоения материала осуществляется в результате выполнения учащимися контрольных и самостоятельных работ, самооценке и взаимооценке, тестов.

Формы организации учебных занятий. Занятия организуются в форме уроков. Тип уроков: лекция, практическая работа, семинар. В ходе изучения проводятся краткие теоретические опросы на знание формул и основных понятий. Наряду с тренингом используется принцип беспрерывного повторения, что улучшает процесс запоминания и развивает потребность в творчестве. В ходе курса учащимся предлагаются различного типа сложности задачи.

Содержание программы

Тема 1. Понятие одночлена и многочлена. Формулы сокращенного умножения. Понятие алгебраической дроби, допустимых значений переменных. Основное свойство дроби.

Тема 2. Действия с алгебраическими дробями. Преобразование и сокращение дробей.

Тема 3. Деление многочленов. Разложение алгебраической дроби на элементарные.

Таблица № 1. Примерный учебно-тематический план

Критерии оценки и самооценки:

«Отлично» – учащийся демонстрирует сознательное и ответственное отношение к учебе; освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными домашними заданиями продемонстрировал умение работать самостоятельно.

«Хорошо» – учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартными заданиями; выполняет домашние задания прилежно; наблюдаются определенные положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании общих умений учащегося.

«Удовлетворительно» – учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему достаточно успешно выполнять простые задания.

Литература

Алимов Ш. А. Алгебра. 8 класс. Учебник / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров. – М.: Просвещение, 2012

Александрова Л. А. Алгебра. 8 класс: самостоятельные работы /
Л. А. Александрова; под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2011.

Ершова А. П. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса / Ершова А. П., Голобородько В. В., Ершова А. С. – М.: Илекса, 2010.

Жохов В. И. Дидактические материалы. Алгебра 8 класс / Жохов В. И., Макарычев Ю. Н. – М.: Просвещение, 2013.

Райхмист Р. Б. Задачник по математике для учащихся средней школы и поступающих в вузы: Учеб. пособие / Р. Б. Райхмист. – М.: Московский Лицей, 2002. – 304 с.

Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре: Учеб. пособие для 8-9 кл. с угл. изучением математики / М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. – М.: Просвещение, 2001. – 271 с.

3.3. Методика изучения элективного курса

Перед изучением материала курса «Алгебраические дроби» преподаватель должен четко знать, каков уровень знаний, учащихся по данной теме. Это особенно актуально, если курс проводится для учащихся 9 классов, которые успели основательно подзабыть материал. Поэтому на первом занятии рекомендуется провести диагностическую контрольную работу, примерные задания которой приведены в Приложении 1. Задания контрольной работы содержат разноуровневые практические задания на действия с арифметическими дробями и преобразования дробей [14, 40].

Правильное выполнение пункта «а» заданий 1-4 свидетельствует о среднем уровне учебных достижений учащегося. Если же ученик выполнил любые 7 пунктов заданий 1-4, то его достижения соответствую достаточному уровню. Высокий уровень достижений имеют те, кто правильно выполнил любые 7 пунктов заданий 1-4 и одно из заданий пункта 5.

Далее, в зависимости от выявленного уровня знаний, учащихся следует на дальнейших практических занятиях напомнить основные теоретические моменты, связанные с действиями над дробями и преобразованиями арифметических дробей – формулы сокращенного умножения, основное свойство дроби, правила сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень алгебраических дробей. Никаких принципиально новых знаний в первой части элективного курса, учащиеся не получают, весь материал основан на базовых понятиях и знаниях, которые изучались в первом полугодии 8 класса.

Практические задания также следует подбирать, учитывая уровень подготовки основной части учащихся, а для тех учеников, которые имеют высокий уровень знаний можно использовать индивидуальные задания повышенного уровня сложности [8, 10, 34, 36] (Приложение 2).

Уровень закрепления и обобщения знаний может быть продиагностирован с помощью двух самостоятельных работ по соответствующим темам. Задания для этих работ следует также подбирать с учетом начального уровня знаний учащихся, чтобы выявить динамику усвоения знаний и внести соответствующие коррективы.

В конце первой части курса рекомендуется посвятить несколько занятий решению задач повышенной сложности, типовые примеры которых приведены в пп.1 и 2 Приложения 2. Одно из занятий можно провести в форме семинара, при подготовке к которому заранее можно предложить учащимся разобрать самостоятельно сложные примеры и продемонстрировать на занятии найденные решения. Также можно предложить найти или составить такие задания самостоятельно.

Вторая часть курса посвящена новому материала из раздела «Алгебраические дроби» – делению многочленов на многочлен, выделению целых и дробных частей алгебраических дробей, разложению на элементарные дроби.

В начале каждого занятия рекомендуется проводить мини-лекцию, где изложить основные понятия теории и продемонстрировать примеры решения заданий [8, 10].

При изложении темы «Деление многочлена на многочлен» надо напомнить учащимся, каким образом они выполняли в младших классах деление натуральных чисел «уголком» и по аналогии рассмотреть деление многочленов:

[pic]

Таким образом, частное (целая часть) равно [pic] , а остаток равен [pic] .

Результат деления может быть записан в таком виде:

[pic]

или

[pic] .

При разложении алгебраической дроби на элементарные используются правила сложения дробей с разными знаменателями. В заданиях необходимо найти неизвестные коэффициенты разложения:

[pic] .

Преобразуем правую часть равенства в дробь:

[pic] .

Найденное значение числителя по условия должно быть равно 2, т.е.

[pic] .

Отсюда получим следующую систему:

[pic]

Таким образом,

[pic]

Следует отметить, что данный прием нахождения разложения носит название «метод неопределенных коэффициентов» и широко используется при интегрировании рациональных выражений.

Два последних занятия курса следует посвятить систематизации и обобщению полученных знаний, а также контролю освоенности изученного материала. Задания контрольной работы следует подбирать с учетом уровня и сложности, разработать соответствующие критерии оценивания.

Приложение 1

Примерные задания диагностической контрольной работы

1. Выполните действия:

а) [pic] ; б) [pic] .

2. Представьте в виде дроби выражение:

а) [pic] ; б) [pic] .

3. Упростите выражение

а) [pic] ; б) [pic] .

4. Найдите значение выражения

а) [pic] , если [pic] ;

б) [pic] , если [pic] .

5. Докажите, что для всех допустимых значений переменной значение выражения постоянное.

а) [pic] ;

б) [pic] .

Приложение 2

Задачи повышенной трудности

1. Упростить выражение, вычислить его при заданном значении параметра

а) [pic] при [pic] ;

б) [pic] при [pic] ;

в) [pic] при [pic] ;

г) [pic] при [pic] ;

д) [pic] при [pic] ;

е) [pic] при [pic] .

2. Упростить выражение, вычислить его при заданных значениях параметров

а) [pic] при [pic] ;

б) [pic] при [pic] ;

в) [pic] при [pic] ;

г) [pic] при [pic] ;

д) [pic] при [pic] ;

е) [pic] при [pic] ;

ж) [pic] при [pic] .

3. Выделить целую часть

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] ; д) [pic] .

4. Найти числа А, В и С, при которых справедливо равенство:

а) [pic] ;

б) [pic] ;

в) [pic] ; г) [pic] ;

д) [pic] ; е) [pic] .