Математика пәнінен

7-сыныпқа конспект

2016-2017 жж

Конспект

7- cынып

Натурал көрсеткішті дәреже ұғымы

Бірнеше тең көбейткіштердің көбейтіндісін табу амалын дәрежеге шығару деп атайды. Мысалы, 5•5•5•5=5⁴.

1-ден үлкен а санының натурал көрсеткішті n дәрежесі деп әрбірі а- ға тең пкөбейткіштердің көбейтіндісіне тең аⁿ өрнегін айтады. а дәреженің негізі, ал п дәреженің көрсеткіші деп аталады.

Мысалы: (-3)¹=-3, (-3)²=(-3)(-3)=9, (-3)³=(-3)(-3)(-3)=-27, т.с.с.

Яғни: (-3)²ⁿ⁺¹<0, (-3)²ⁿ>0.

Көбейтудің қасиеттерінен:

1. нөлдің кез келген натурал дәрежесі нөлге тең;

2. оң санның кез келген дәрежесі оң сан;

3. теріс санның тақ дәрежесі теріс сан, ал жұп дәрежесі оң сан;

4. кез келген санның нөл дәрежесі бірге тең.

Конспект сұрақтар

1. Өрнекті ықшамдаңыз: x⋅x+x⋅x+x⋅xy⋅y⋅y+y⋅y⋅y

2. Санның квадраты түрінде жазыңыз:156169

3. Дәреже түрінде жазыңыз: 5⋅5⋅5⋅a⋅a

4. Дәрежеге шығаруды орындаңыз:(212)3

5. Есептеңіз:(−12)5

6. 4n=256;3k=81екені белгілі, n³ + k³ неге тең?

7. Есептеңіз: (−1)10+(−1)11+(−1)12+...+(−1)21

Дәрежелерді көбейту бөлу

Егер a кез келген сан, m және n натурал сандар болса, онда am⋅an=am+n яғни, бірдей негіздегі дәрежелерді көбейткенде негізін сол қалпында қалдырып, дәреже көрсеткіштерін қосу керек. Мысалы, 210⋅16=210⋅24=214;y9⋅y2⋅y5=y16.

Егер а кез келген сан, m мен n натурал сандар болса, ондаam:an=am−nяғни, бірдей негіздегі дәрежелерді бөлгенде негізін сол қалпында қалдырып, бөлінгіштің дәрежесінен бөлгіштің дәрежесін шегеру керек.

Мысалы, 35:9=35:33=33;a15:a9=a15−9=a6.

Конспект сұрақтар

1. х-ті а-ның дәрежесі түрінде жазыңыз: a5⋅x=a16

2. Өрнекті ықшамдаңыз: 125m⁴p⁵:(–0,125m³p²):25 mp

3. Өрнекті ықшамдаңыз: (a5⋅a3+a8⋅a0):a7

4. Дәреже түрінде жазыңыз:b12:(b4⋅b3)

5. Бөлшектің мәнін табыңыз: 0,3120,34⋅0,35

6. Дәреже түрінде жазыңыз: 0,125⋅0,25⋅0,5

7. Ықшамдаңыз:(−3)n⋅(−3)m⋅81

8. Өрнекті дәреже түрінде жазыңыз: 243⋅3k

9. x¹² өрнегін көбейткіштің бірі x⁵ болатын екі көбейткішке жіктеңіз:

10. Дәреже түрінде жазыңыз: m⋅m2⋅m3⋅m4

11. Есептеңіз:(43)4⋅42⋅46(42)8

12. Жаңа сұрақ

Көбейтіндіні, бөлшекті және дәрежені дәрежеге шығару

Көбейтіндіні дәрежеге шығарғанда көбейткіштердің әрқайсысын сол дәрежеге шығарып көбейтеді, яғни (a⋅b)n=an⋅bn.

Мысалдар:

(2⋅3)4=24⋅34=16⋅81=1296;(x2⋅y3)2=(x2)2⋅(y3)2=x4⋅y6.

Бөлшекті дәрежеге шығарғанда бөлшектің алымын да, бөлімін де сол дәрежеге шығарып бөледі, яғни  (ab)n=anbn.

Мысалдар:

(23)3=2333=827;(xy)4=x4y4.

Дәрежені дәрежеге шығарғанда негізінің өзін қалдырып, дәреже көрсеткіштерін көбейту керек.

Мысалдар:

(23)5=215; (a2)3=a6; (x1.5)2=x3.

Конспект сұрақтар

1. 34⋅kсаны қандай цифрмен аяқталады?

2. a³=p және b³=q болса, онда(a3b2)6өрнегі неге тең болады?

3. Егер а³=2 болса, онда a¹²-нің мәнін табыңыз.

4. Есептеңіз:81⋅36(34)2

5. Көбейтіндіні дәреже түрінде жазыңыз:0,0016⋅p4

6. Есептеңіз:(7⋅10)2

Көбейтіндіні, бөлшекті және дәрежені дәрежеге шығару

Көбейтіндіні дәрежеге шығарғанда көбейткіштердің әрқайсысын сол дәрежеге шығарып көбейтеді, яғни (a⋅b)n=an⋅bn.

Мысалдар:

(2⋅3)4=24⋅34=16⋅81=1296;(x2⋅y3)2=(x2)2⋅(y3)2=x4⋅y6.

Бөлшекті дәрежеге шығарғанда бөлшектің алымын да, бөлімін де сол дәрежеге шығарып бөледі, яғни (ab)n=anbn.

Мысалдар:

(23)3=2333=827;(xy)4=x4y4.

Дәрежені дәрежеге шығарғанда негізінің өзін қалдырып, дәреже көрсеткіштерін көбейту керек.

Мысалдар:

(23)5=215;(a2)3=a6;(x1.5)2=x3.

Конспект сұрақтар

1. 34⋅kсаны қандай цифрмен аяқталады?

2. a³=p және b³=q болса, онда(a3b2)6өрнегі неге тең болады?

3. Егер а³=2 болса, онда a¹²-нің мәнін табыңыз.

4. Есептеңіз:81⋅36(34)2

5. Көбейтіндіні дәреже түрінде жазыңыз:0,0016⋅p4

6. Есептеңіз:(7⋅10)2

Бүтін теріс көрсеткішті дәреже ұғымы. Бүтін көрсеткішті дәреженің қасиеттері

Нөлге тең емес кез келген а санының (-n) дәрежесі деп а санының n-ші дәрежесіне кері санды айтады, яғни​​​​​​​ a−n=1an.

Мысалдар:

2−3=123=18;5−1=151=15;(13)−1=113=3.

Нөлдің теріс дәрежесінің мағынасы болмайды.

Мысалы:0−2=102=10мұның мәні табылмайды.

(санды нөлге бөлуге болмайды).

Бүтін көрсеткішті дәреженің қасиеттері

Кез келген бүтін n және m сандары үшін мына теңдіктер орындалады:

1.an⋅am=an+m,

мысалы, (−2)5⋅(−2)−3=(−2)5+(−3)=(−2)2=4.

2.an:am=an−m,

мысалы, (12)−7:(12)−10=(12)−7−(−10)=(12)3=18.

3.(am)n=am⋅n,

мысалы, ((−1,5)2)3=(−1,5)6.

4.(a⋅b)n=an⋅bn,

мысалы, (2⋅3)−4=2−4⋅3−4=116⋅181=11296.

5.(ab)n=anbn,

мысалы, (34)−3=3−34−3=127164=6427=21027.

Конспект сұрақтар

1. a20 (a=0) өрнегін негізі 1a−4 болатын дәреже түрінде жазыңыз.

2. x≠0 болса, n-нің қандай бүтін мәндерінде теңдік тура болады: (x−3)n⋅x3=x6

3. Негізі 3 болатын дәреже түрінде жазыңыз: 3:3n+1⋅31−n

4. Есептеңіз: 102⋅(150)−1

5. Өрнектің мәнін табыңыз:0,5−2+(14)−1

6. Есептеңіз: 3−6⋅(3−2)−4

7. Негізі 2 болатын дәрежеге келтіріңіз:163:(4−2)−3

8. Өрнекті ықшамдаңыз:12n22n−1⋅3n+1

9. Өрнекті ықшамдаңыз: 3⋅2n+2n

10. Өрнекті ықшамдаңыз:(3n+3n−1)29n−1

Санның стандарт түрі

Өте үлкен мәнді немесе өте кіші мәнді сандарды a⋅10ⁿ түрінде, (мұндағы 1≤a<10) жазуға болады. Санның осы түрде жазылуы стандарт түрі деп аталады.

Мысалдар: күн диаметрі: 1 390 000 000м = 1,39 • 10⁹м;

cу молекуласы: 0,00000003см = 3 • 10 ^-8см.

Конспект сұрақтар

1. Көбейтуді орындаңыз:(9⋅102)⋅(1,5⋅10−5)

2. Санды стандарт түрінде жазыңыз: «Жерден Күнге дейінгі қашықтық 149 500 000 км»

3. 17⋅10−5санын стандарт түрінде жазыңыз.

4. 0,0019 санын стандарт түрде жазып, ретін (дәрежесін?) табыңыз:

5. 27 760 000 000 санын стандарт түрінде жазыңыз.

6. 0,000125 санын стандарт түрде жазыңыз.

Бірмүшелер және көпмүшелер

Бірмүше және оның стандарт түрі

Сандардан, айнымалылардан және олардың дәрежелерінен көбейту амалы арқылы құрастырылған өрнекті бірмүше деп атайды.

Мысалдар: ab⋅ba; 2x3⋅(3ax); −7; x; y5т.с.с.

Бірінші орында сан көбейткіш, ал оған жалғастырылған айнымалылар мен олардың дәрежелері жазылған бірмүшенің түрін стандарт түрі деп атайды.

Мысалдар: 3x2y; −112a3b2; −x; xy2.

Бірмүшенің алдындағы санды бірмүшенің коэффициенті деп атайды.

Мысалдар: −6a2bx3бірмүшесінің коэффициенті -6.

Бірмүше құрамындағы айнымалылардың дәрежелерінің қосындысын бірмүшенің дәрежесі деп атайды.

Мысалдар: −6a2bx3бірмүшесінің дәрежесі 2 + 1 + 3 = 6.

Конспект сұрақтар

1. Бірмүше түрінде жазыңыз:(–2x4y2)3

2. Өрнекті ықшамдаңыз: xy⋅(–7xy2)⋅4x2y

3. Бірмүшені стандарт түрде жазыңыз: (-3x²y)³

4. Бірмүшенің дәрежесін анықтаңыз:(212xy2)2

5. Бірмүшенің коэфициентін табыңыз:

Бірмүшелерді көбейту. Бірмүшелерді дәрежеге шығару

Бірмүшелерді көбейткенде коэффициенттерін көбейтіп коэффициент етіп жазып, бірдей айнымалылардың дәрежелерін көбейтіп, сол айнымалалардың дәрежелерімен берілген бірмүшеге келтіреміз.

Мысалы,​​​​​​​​​−2a2b3c⋅3a3b2c2d=(−2⋅3)⋅(a2⋅a3)⋅(b3⋅b2)⋅(c⋅c2)⋅d==−6a5b5c3d.

Бірмүшені дәрежеге шығарғанда әрбір көбейткішті осы дәрежеге шығарып, нәтижелерін көбейтеміз.

Мысалы, (2ab2y3)5=25⋅a5⋅(b2)5⋅(y3)5=32a5b10y15.

Конспект сұрақтар

1. Өрнектің мәнін табыңыз:2m⋅3n−1−2m−1⋅3n2m⋅3n

2. Өрнекті ықшамдаңыз3n⋅a2⋅bn+1)2⋅(ab)n(3n⋅a2⋅bn)2

3. Бөлшекті қысқартыңыз4n+4n−1)242n−2

4. Өрнекті ықшамдаңыз: 52n+3⋅52n−1252n+1

5. Бірмүше стандарт түрінде жазыңызx2y3z2)4⋅(x3y)3(xy2z4)2

6. Бірмүшенің кубы түрінде жазыңыз: –0,008x6y9

7. Бірмүшенің квадраты түрінде жазыңыз: 0,01a6b4

8. Өрнекті ықшамдаңыз: (–a3b3c)2

9. Дәрежеге шығаруды орындаңыз: 10ab2⋅(–a2b)⋅0,5b3

10. Көбейтуді орындаңыз:

Көпмүше және оның стандарт түрі

Бірмүшеліктердің қосындысы көпмүше деп аталады. Ал оның құрамындағы бірмүшелер мүшелері деп аталады.

Мысалы, 2x+3y2+5мұндағы2x,3y2,5мүшелері.

Көпмүшедегі бірдей немесе коэффициенттері ғана өзгеше мүшелері ұқсас мүшелер деп аталады.

Мысалы, 2ab2−3a2b+ab2+2a2b=3ab2−a2b.

Көпмүшедегі ұқсас мүшелерді біріктіру теңбе-тең түрлендіру болады.

Мысалы, 2x4−3x+4x3−x4+4x=(2x4−x4)+(−3x+4x)+4x3==x4+x+4x3;

Көпмүшенің дәрежесі деп оның құрамындағы бірмүшелер дәрежесінің ең үлкенін айтады.

Мысалы, 3xy3−2xy+4x3−5y3. Дәрежесі: 4

Егер көпмүшенің құрамында ұқсас мүшелер жоқ болса, онда оны стандарт түрдегі көпмүше дейді.

Конспект сұрақтар

1. Теңдеуді шешіңіз: 3,8−1,5x+(4,5x−0,8)=2,4x+3

2. Теңдеуді х айнымалысына қатысты шешіңіз: (x+5m)−(3m−2x)=17m

3. Ұқсас мүшелерін біріктіріңіз: 2ax-x²+3ax-y²+2x²

4. Дәрежесін табыңыз: 3a⁴-5a³-2a⁵

5. Көпмүшені стандарт түрге келтіріңіз:2m2n3−mn3−m4−m2n3+mn3+2m4

6. P(x)=2x3−6x2−5x+4көпмүшесі берілсе, Р(1) – ны есептеңіз.

Көпмүшелерді қосу және азайтуМа

Көпмүшелерді қосу үшін жақшаларды ашып ұқсас мүшелерін біріктіреміз.

Мысалы, (15x+2y)+(4x−3y)=15x+2y+4x−3y=19x−y.

Көпмүшелерді азайту үшін жақшаларды ашып ұқсас мүшелерді біріктіреміз.

Мысалы, ​​​​​​(2a−3b)−(−b−a)=2a−3b+b+a=3a−2b.(?)

Көпмүшелерді қосу және азайту кезінде жақша ашу ережесін қатаң сақтау керек:

1. егер жақшаның алдында «+» таңбасы болса, онда көпмүше мүшелерін өз таңбаларымен жақшасыз жазамыз;

2. егер жақшаның алдында «-» таңбасы болса, онда көпмүше мүшелерін қарама-қарсы таңбаларымен жақшасыз жазамыз.

Конспект сұрақтар

1. 4,6x2y−2,2xy+7y2−(7,8xy−3,4x2y+7y2)көпмүшесінің мәнін х=2, у=5 болғанда табыңыз.

2. А-ның орнына қандай көпмүше қойғанда теңдік теңбе-теңдікке айналады: A+(6x2−3xy)=8x2+7xy−y2

3. ҚандайкөпмүшенікөпмүшесінеқосқандақосындыгетеңболадыҚандай көпмүшені 5xn−x3–x+7 көпмүшесінеқосқанда қосынды x3−3x+2–ге тең болады.

4. Көпмүшенің ең кіші мәнін табыңыз:1+2x2+(x4−x2+1)

5. Теңдеуді х айнымалысына қатысты шешіңіз: x2−(x+m)−(x2−2x−3m)=0

6. Көпмүшенің мәнін табыңыз:

мұндағы5x2y−xy2−4x2y+xy2−xy+7,мұндағы x=−1, y=2.

7. Үшбұрыштың бір қабырғасы a+b-ға тең, екіншісі біріншісінен a-6-ға үлкен, ал үшіншісі 2b+6-ға тең. Үшбұрыштың периметрін табыңыз.

8. БірқосылғышыболатындайетіпкөпмүшесінекіқосылғышқажіктеңізБір қосылғышы x3+4 болатындай етіп,3x3−2x2−x+4 көпмүшесін екі қосылғышқажіктеңіз.

9. Өрнекті ықшымдаңыз:(2m4−5m3n2−3m2n2−mn3)+(3m4−5m3n2+3m2n2)

10. Өрнектің айырмасын табыңыз:(34x2−1,4xy−2,5y+4)−−(2y2−75xy+0,75x2)

11. жәнекөпмүшелеріберілгенөрнегінтабыңызP1(x)=6x2−4 және P2(x)=5x2−10 көпмүшелеріберілген. P1(x)−P2(x) өрнегін табыңыз.

Бірмүше мен көпмүшенің көбейтіндісі. Бірмүшені көпмүшеге көбейту

Бірмүшені көпмүшеге көбейту үшін бірмүшені көпмүшенің әрбір мүшесіне көбейтіп, шыққан көбейтінділерді қосады.

Мысалы, −4x⋅(2x2−5x+3)=−8x3+20x2−12x.

Конспект сұрақтар

1. Теңдеуді шешіңіз: 0,6(x–0,6)+0,8(x–0,4)=1

2. Көпмүше түрінде жазыңыз: 10⋅(m+5)+2⋅(−2m+3n)

3. Теңдеуді шешіңіз: x(x+6)2−x(x+14)3−x2+16=0

4. Өрнекті ықшамдаңыз: 4y−2(y−3)−3(y−3(4−2y)+8)

5. Теңдеуді шешіңіз: 0,5(2y−1)−(0,5−0,2y)+1=0

6. Өрнекті ықшамдап, мәнін табыңыз:

мұндағы12(2−3m)+35m−9(m+1) мұндағы m=2.

7. Көпмүше түріне келтіріңіз:

2a2−a(2a−5b)−b⋅(2a−b)

8. Өрнекті ықшамдаңыз:

−2b(a3−2b2)−b(a3+4b2)

9. Көпмүше түріне келтіріңіз: a(a+b)−b(a−b)+2(b−a)

10. Көбейтуді орындаңыз:4a2b2⋅(2a3−3a2+3a−1)

Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару

Көпмүшені екі немесе бірнеше көпмүшенің көбейтіндісі түріне келтіруді көпмүшені көбейткіштерге жіктеу деп атайды.

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеудің бір тәсілі ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару деп атайды.

Мысалы, 6ax−9a2+15ax2=3a⋅2x−3a⋅3a+3a⋅5x2==3a⋅(2x−3a+5x2).

Конспект сұрақтар

1. Теңдеуді шешіңіз: y2+6y=0

2. Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығaрыңыз: (3x+6)3

3. 2 негізінің тізбектес үш дәрежесінің қосындысы қандай сандарға бөлінеді?

4. Көпмүшелердің көбейтіндісі түрінде жазыңыз: 8(x−1)+(x−1)2

5. Көбейткіштерге жіктеңіз:5x(2a−3b)+2y(2a−3b)+z(2a−3b)

6. ЕгерболсаондаөрнегініңмәнінтабыңызЕгер b−2aa2−b=2 болса, онда 3b−6aa2−bөрнегінің мәнін табыңыз:

7. Есептеңіз: 

Көпмүшені көпмүшеге көбейту және бөлу

Көпмүшені көпмүшеге көбейту үшін бірінші көпмүшенің әрбір мүшесін екінші көпмүшенің әрбір мүшесіне көбейтіп, шыққан көбейтіндіні қосу керек.

Мысалы,(2x+1)(x+4)=2x⋅x+2x⋅4+1⋅x+1⋅4=2x2+8x+x+4=2x2+9x+4.

Конспект сұрақтар

5. Көбейтуді орындаңыз:(a+1)(a−3)

6. Өрнекті ықшамдаңыз:(2x+1)(x+4)

7. Көпмүше түрінде жазыңыз:(5−a)(4−a)

8. Көбейткіштерге жіктеңіз:2a(x+y)−x−y

9. Көпмүше түріне келтiріңіз:(x−2)(x+3)+(x+2)(x−3)

10. Өрнектің мәнін табыңыз: мұндағы(x−4)(x−2)−(x−1)(x−3), мұндағы x=134.

11. Өрнекті ықшамдаңыз: (x−5)(x+8)−(x+4)(x−1)

12. Теңдеуді шешіңіз:(2x−1)(3x+4)−6x2=16

13. Тізбектес екі санның көбейтіндісі келесі тізбектес екі санның көбейтіндісінен 38-ге кем. Осы сандарды табыңыз.

14. Өрнекті ықшамдаңыз: (x−3)(x+7)−(x+5)(x−1)

15. Амалдарды орындаңыз: (x2−1)(x2+x+1)(x2−x+1)

16. Теңдеуді шешіңіз: 7+2x2=2(x+1)(x+3)

17. Көпмүше түрінде жазыңыз: (x−1)(x−2)+(x−3)(x−4)

18. ЕгерболсаондаөрнегініңмәнінегетеңЕгер ab+c2=5 болса, онда(a+c)(b+c)+(a−c)(b−c) өрнегінің мәнінеге тең?

19. Теңдеуді шешіңіз:(y+4)(y+1)=y−(y−2)(2−y)

Көпмүшені топтау тәсілімен көбейткіштерге жіктеу

Көпмүшені топтау тәсілімен көбейткіштерге жіктеу үшін:

1. көпмүшенің ортақ көбейткіштері бар мүшелерін топтау керек;

2. әрбір топтағы ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару керек;

3. әр топтағы жақша ішіндегі көпмүшелер бірдей және ортақ көбейткіш болады;

4. осы көпмүшені ортақ көбейткіш ретінде жақша сыртына шығарамыз. Көпмүше екі көпмүшенің көбейтіндісіне келеді.

Мысалы,

6by−15bx−4ay+10ax=(6by−15bx)−(4by−10ax)==3b(2y−5x)−2a(2y−5x)=(2y−5x)(3b−2a).

Конспект сұрақтар

1. Теңдеуді шешіңіз: x2+7x+12=0

2. Үшмүшені көбейткішке жіктеңіз:x2+2x−15

3. Өрнекті ықшамдап, көбейтінді түрінде жазыңыз: x(1−x)+x(x2−1)

4. Көбейткіштерге жіктеңіз: 1−bx−x+b

5. Өрнектің мәнін табыңыз: мұндағы5a2−5ax−7a+7x, мұндағы a=4, x=–3

6. Көбейткіштерге жіктеңіз: x2−xy+x−xy2+y3−y2

7. Теңдеуді шешіңіз: x² – 4x – 5 = 0

8. Үшмүшені көбейткіштерге жіктеңіз: x2+5x+6

9. Көбейткіштерге жіктеңіз: x3+3x2+3x+9

10. Көбейткіштерге жіктеңіз: ax+ay+bx+by

y = x^2, y = x^3 функциялары және олардың графиктері

y = x² функциясының графигі координаталар басы арқылы өтетін парабола деп аталатын қисық сызық болады және абсцисса осьінен жоғары орналасады, яғни тармағы жоғары қарайды. Тармақтары І, ІІ ширекте орналасады.

y = x³ функциясының графигі координаталар басына қатысты симметриялы болатын кубтық парабола деп аталатын қисық сызық болады. Оның графиктері І, ІІІ ширекте орналасады.

Конспект сұрақтар

1. Кубтың көлемі 64 есе өсуі үшін оның қырын қалай өзгерту керек.

2. Егер квадраттың қабырғасын 4 есе ұзартса, онда квадраттың ауданы қалай өзгереді?

3. А (а; b) нүктесі y = x³ функциясының графигіне жататыны белгілі В(–а; b), С(а; ̶b), D (–а;–b) нүктелерінің қайсысы осы графикке тиісі болады.

4. y = – x² функциясында y = – 36 мәніне сәйкес келетін х-тың мәнін табыңыз.

5. A (−0,3;−0,9),   B (112;214),   C (−313;619)нүктелерінің қайсысы y = x²функциясының графигіне тиісті болады?

6. y = x² функциясында у-тің мәні 1-ден үлкен, бірақ 10-нан кіші болатындай х-тің бірнеше бүтін мәнін табыңыз.

y = ax^2 және y = ax^3 функцияларының графиктері

y = ax² функциясының графигі төбесі координаталар басында жатқан парабола болады.

1. a > 1 болса, онда у = x² функциясының графигін 0у осьіне параллель бағытта а есе «созу» арқылы шығады;

2. 0 < a < 1 болса, онда у = x² функциясының графигін 0х осьіне қарай а есе «сығу» арқылы шығады;

3. a < 0 болса, онда ол y = ax² функциясының графигіне Ох осьіне қарағанда симметриялы болады.

y = ax³ функциясы графигі координаталар басы арқылы өтетін кубтық парабола болады.

1. a > 1 болса, онда у = x³ функциясының графигін Оу осьіне параллель бағытта а есе «созу» арқылы шығды;

2. 0 < a < 1 болса, онда у = x³ функциясының графигін Ох осьіне қарай а есе «сығу» арқылы шығады;

3. a < 0 болса, онда ол у = ax³ функциясының графигіне Оу осьіне қарағанда симметриялы болады.

Конспект сұрақтар

1. ныңқандаймәндеріндефункциясыныңграфигіСнүктесіарқылыөтедіa−ның қандай мәндерінде y=ax3 функциясыныңграфигі С(13;19) нүктесі арқылы өтеді?

2. нүктелерініңқайсысыфункциясыныңграфигіндежатадыA=(2;4),B(–2;4),C=(–2;–4),D=(2;–4)нүктелерінің қайсысы y=12x3 функциясыныңграфигінде жатады?

3. y = 2x² және y = – 2x³ функцияларының неше қиылысу нүктесі болады?

4. y = a²x және y = b²x³ функциялары неше нүктеде қиылысады?

5. ныңқандаймәндерінденүктесіфункциясыныңграфигіндежатадыa−ның қандай мәндерінде A(3;a) нүктесіy=15x2 функциясының графигінде жатады?

6. y=ax² функциясының графигі А(2; – 8) нүктесінен өтетіні белгілі болса, а-ның мәнін табыңыз:

Қысқаша көбейту формулалары

Екі өрнектің қосындысының квадраты

Екі өрнектің қосындысының квадраты бірінші өрнектің квадратына, плюс екі еселенген бірінші және екінші өрнектердің көбейтіндісіне, плюс екінші өрнектің квадратына тең.

яғни, (a+b)2=a2+2ab+b2.

Мысалы, (2x+3y)2=(2x)2+2⋅(2x)⋅(3y)+(3y)2=4x2+12xy+9y2.

Конспект сұрақтар

1. Теңдеуді шешіңіз: 3y + (5y + 2)² = 25(2 + y²)

2. Өрнекті ықшамдаңыз: (m + 4)² – 4(m + 1)²

3. Екімүшенің квадраты түрінде жазыңыз: 25x² + 49y² + 70xy

4. Өрнекті түрлендіріңіз: (bⁿ + b)²

5. Көпмүше түріне келтіріңіз: (0,2а – 5y)²

Екі өрнектің айырмасының квадраты

Екі өрнектің айырмасының квадраты бірінші өрнектің квадратына, минус екі еселенген бірінші және екінші өрнектердің көбейтіндісіне, плюс екінші өрнектің квадратына тең, яғни: (a–b)2=a2–2ab+b2.

Мысалы, (3m–5x)2=(3m)2–2⋅(3m)⋅(5x)+(5x)2=9m2–30mx+25x2.

Конспект сұрақтар

1. Теңдеудің түбірін табыңыз: 0,5⋅(x−6)2+2x⋅(8−x4)=−2

2. Өрнектің мәнін табыңыз: a² – 2a + 1, мұндағы a = 101.

3. Амалдарды орындаңыз: ((3a + b)² – (a + 3b)²)·2ab

4. Өрнекті ықшамдаңыз: 3(2 – y)² + 4(y – 5)²

5. Теңдеуді шешіңіз: 4x² – (2x – 1)² = 15

6. Үшмүшені екімүшенің квадраты түріне келтіріңіз:14a2+4b2−2ab

7. Екімүшенің квадраты түрінде жазыңыз: m² + 4n² – 4mn

8. Көпмүше түріне келтіріңіз: ( –b – 3)²

9. Көпмүше түрінде жазыңыз: (3a – b)²

Екі өрнектің айырмасы мен қосындысының көбейтіндісі

Екі өрнектің айырмасының олардың қосындысына көбейтіндісі осы өрнектердің квадраттарының айырмасына тең, яғни (a–b)⋅(a+b)=a2–b2.

Мысалы, (8a+9b)⋅(9b–8a)=(9b–8a)⋅(9b+8a)=(9b)2–(8a)2=81b2–64a2.

Конспект сұрақтар

1. Көбейтуді орындаңыз: (yn + xn)(xn – yn)

2. Есептеңіз: 4,01·3,99

3. Бөлшектің мәнін табыңыз: 2,1⋅1,910+60,1100

4. Теңдеуді шешіңіз: 4y³ – 3y² – 4y + 3 = 0

5. Өрнектің мәнін табыңыз: (5a² – 3b)·(5a² + 3b) мұндағы a = – 1, b = – 1

6. Теңдеуді шешіңіз: (y + 6)² – (y + 5) ·(y – 5) = 85

7. Көбейтіндіні табыңыз: (a – 2)²·(a + 2)²

8. Көбейтуді орындаңыз: (5 – x)(x + 5) (x² + 25)

9. Көбейтуді орындаңыз: (a² + b²)·(a² – b²)

10. Амалдарды орындаңыз: (4 – 3xy)·(3xy + 4)

Екі өрнектің квадраттарының айырмасын көбейткіштерге жіктеу

Екі өрнектің квадраттарының айырмасы осы өрнектердің айырмасы мен қосындысының көбейтіндісіне тең, яғни a2–b2=(a–b)⋅(a+b).

Мысалы, 9a2–25b2=(3a)2–(5b)2=(3a–5b)⋅(3a+5b).

Конспект сұрақтар

1. Көбейткіштерге жіктеңіз: (2a + 5)² – 49

2. Көбейткіштерге жіктеңіз: (4a – b)² – (2a + 3b)²

3. Бөлшектің мәнін есептеңіз: 632−272832−792

4. Көбейткіштерге жіктеңіз:m20−1649m18

5. Көбейткіштерге жіктеңіз: 81x² + 6ab – 9a² – b²

6. Есептеңіз: 72132−112

7. Теңдеуді шешіңіз: y2−214=0

8. Есептеңіз: 37² – 23²

9. Көбейткіштерге жіктеңіз: 2564−p2

10. Өрнекті ықшамдаңыз:(2n+3)2−(2n−1)28

11. Амалдарды орындаңыз:(x2−9):(x+3)

12. Өрнекті ықшамдаңыз: (1+x)(1−x)(1+x2)

Екі өрнектің кубтарының қосындысын көбейткіштерге жіктеу

Екі өрнектің кубтарының қосындысы осы өрнектердің қосындысын олардың айырмасының толымсыз квадратына көбейткенге тең, яғни a3+b3=(a+b)⋅(a2–ab+b2).

Мысалы, m3n3+8=(mn)3+23=(mn+2)⋅(m2n2–2mn+4).

Конспект сұрақтар

1. Көбейткіштерге жіктеңіз: 8x³ + y³

2. Көбейткіштерге жіктеңіз: – a³ – b³

3. Екі өрнектің кубтарының қосындысы түрінде жазыңыз: (x + 2y)(x² – 2xy + 4y²)

4. Өрнекті ықшамдаңыз: (1 + c)(1 – c + c²)

5. b⁹ + 27 өрнегін көбейткіштерге жіктеңіз:

6. 13³ + 11³ саны 49 – ға бөлгендегі мәнін табыңыз:

7. Көбейтінді түрінде жазыңыз: 12am³ + 12an³

8. Көбейткіштерге жіктеңіз: a³ + b³ – 2ab(a + b)

9. (2n+3)3−(2n−1)3+416 өрнегін ықшамдаңыз:

10. Көбейтінді түрінде жазыңыз: 8a³ + 6a² + 3a + 1

Екі өрнектің кубтарының айырмасын көбейткіштерге жіктеу

Екі өрнектің кубтарының айырмасы осы өрнектердің айырмасын олардың қосындысының толымсыз квадратына көбейткенге тең, яғни a3–b3=(a–b)⋅(a2+ab+b2).

Мысалы, 27a3–64b3=(3a)3–(8b)3=(3a–8b)⋅(9a2+24ab+64b2).

Конспект сұрақтар

1. Көбейткіштерге жіктеңіз: 27 – (x – 2)³

2. Есептеңіз: 173−113199

3. Көпмүше түріне келтіріңіз: (3x³ – 1)(9x⁶ + 3x³ + 1)

4. Көбейтінді түріне келтіріңіз: x³ – 4x² + 20x – 125

5. Көбейткіштерге жіктеңіз: x³ – y³ + 8x²y – 8xy²

6. Көбейткіштерге жіктеңіз: (a + b)³ – (a – b)³

7. Өрнекті ықшамдаңыз: (m – 4)(m² + 4m + 16)

8. Көбейткіштерге жіктеңіз: 27a³ – 64b³

9. Екі өpнектің кубтарының айырмасы түрінде жазыңыз: (a – 2)(a² + 2a + 4)

10. Көбейткішке жіктеңіз: n³ – 27

Екі өрнектің қосындысының кубы

Екі өрнектің қосындысының кубы бірінші өрнектің кубына, плюс бірінші өрнектің квадраты мен екінші өрнектің үш еселенген көбейтіндісіне, плюс бірінші өрнек пен екінші өрнектің квадратының үш еселенген көбейтіндісіне, плюс екінші өрнектің кубына тең, яғни (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.

Мысалы, (a+2b)3=a3+3⋅a2⋅2b+3⋅a⋅(2b)2+(2b)3=a3+6a2b+12ab2+8b3.

Конспект сұрақтар

1. Теңдеуді шешіңіз: (x + 2)³ = x³ + 8

2. Көбейткіштерге жіктеңіз: (a – b)³ – a² + 2ab – b²

3. Өрнектің мәнін табыңыз: 3(m – 1)² + (m + 2) ( m² – 2m + 4) – (m + 1)³, мұндағымұндағы m=–13

4. Теңдеуді шешіңіз: 6(x + 1)² + 2(x – 1)( x² + x + 1) – 2(x + 1)³ = 32

5. Дәрежеге шығарыңыз: (2a³ + 3b²)³

6. Өрнектің мәнін табыңыз: 0,027x³ + 1,08x²y + 14,4xy² + 64y³. Мұндағы: x = – 10, y = 1.

7. Өрнекті ықшамдаңыз: 27 + 54a + 36a² + 8a³

8. Көпмүшені екі өрнектің қосындысының кубы түрінде жазыңыз: 8 + 12x + 6x² + x³

9. (a + 2b)³ өрнегін көпмүше түрінде жазыңыз:

10. Көпмүше түріне келтіріңіз: (p + q)³

Екі өрнектің айырмасының кубы

Екі өрнектің айырмасының кубы – бірінші өрнектің кубына, минус бірінші өрнектің квадраты мен екінші өрнектің үш еселенген көбейтіндісіне, плюс бірінші өрнек пен екінші өрнектің үш еселенген квадратының көбейтіндісіне, минус екінші өрнектің кубына тең, яғни (a–b)3=a3–3a2b+3ab2–b3.

Мысалы, (x–3y)3=x3–3⋅x2⋅3y+3⋅x⋅(3y)2–(3y)3=x3–9x2y+27xy2–27y3.

Конспект сұрақтар

20. Өрнектің мәнін табыңыз: мұндағы(m+2n)3−(m2−4n2)2, мұндағы m=4,n=−2.

21. Теңдеуді шешіңіз:5x(x−3)2−5(x−1)3+15(x+2)(x−2)=5

22. Теңдеуді шешіңіз: (3x−1)3=27x3−1

23. Көбейткіштерге жіктеңіз:(x+3y)2−x3−9x2y−27xy2−27y3

24. Өрнекті ықшамдаңыз: a3+3ab(a+b)+b3

25. Өрнектің мәнін табыңыз:0,008a3−0,6a2b+15ab2−125b3,

мұндағы а = 10, b = 0,2

26. Өрнекті ықшамдаңыз: 125x³ – 225x²y + 135xy² – 27y³

27. Көпмүшені екі өрнектің айырмасының кубы түрінде жазыңыз:

x³ – 3x²y + 3xy² – y³

28. Көпмүшеге түрлендіріңіз: (x – 2)³

29. Көпмүше түріне келтіріңіз: (c – d)³

Бүтін өрнекті көпмүшеге түрлендіру

Қосу, азайту, көбейту, дәрежеге шығару және нөлге тең емес санға бөлу амалдарының көмегімен, сандар мен айнымалылардан құралған өрнекті бүтін өрнектер дейміз.

Мысалдар:

т

с

с

−45ax2; x−y3; x2+2xy+y2 т.с.с

Бүтін өрнектерді көпмүшеге түрлендіру үшін сол өрнектердегі амалдарды орындап, шыққан өрнекті ықшамдау керек.

Мысал: x · (1 – 2x)2 – (x2 – 2) · (2 – x) + 4x3· (3x – 1) = x·(1 – 4x + 4x2) – (2x2 – x3 – 4 + 2x) + (12x4 – 4x3) = x – 4x2 + 4x3 – 2x2 + x3 + 4 – 2x + 12x4 – 4x3 = 12x4 + x3 – 6x2 – x + 4.

Мысал:

x⋅(1–2x)2–(x2–2)⋅(2–x)+4x3⋅(3x–1)=x⋅(1–4x+4x2)–(2x2–x3–4+2x)+(12x4–4x3)=x–4x2+4x3–2x2+x3+4–2x+12x4–4x3=12x4+x3–6x2–x+4.

Конспект сұрақтар

Есептеңіз: (973+833180−97⋅83):(352−282)

Өрнекті ықшамдаңыз:(3−2a)2+(2a+5)2+(6−4a)(2a+5)

Ықшамдаңыз: (a+8)2−2(a+8)(a−2)+(a−2)2

Өрнектің мәнін табыңыз:872−174⋅67+672

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеудің әр түрлі тәсілдерін қолдану

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу үшін ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару тәсілін, топтау тәсілін, қысқаша көбейту формулаларын қолдану керек.

Мысалы, m³ – m²n – mn² + n³ көпмүшесін көбейткішке жіктеу керек:

1) топтау тәсілін қолдансақ: (m3–m2n)–(mn2–n3).

2) ортақ көбейткіштерді жақша сыртына шығарсақ: m2(m–n)–n2(m–n)=(m–n)⋅(m2–n2).

3) екінші жақшаға қысқaша көбейту формулаларын (2.2) қолдансақ: яғнижіктеледі(m–n)⋅(m–n)⋅(m+n), яғни m3–m2n–mn2+n3=(m–n)⋅(m–n)⋅(m+n) жіктеледі.

Конспект сұрақтар

1. Көбейткіштерге жіктеңіз:x4−8x2+4

2. үшмүшесінкөбейткіштергежіктеңізx3−7x−6 үшмүшесін көбейткіштерге жіктеңіз:

3. Теңдеуді шешіңіз:2x3−3x2=2x−3

4. Көбейтінді түрінде жазыңыз:a3+a2+4

5. Көбейткіштерге жіктеңіз:x8+x4+1

6. Есептеңіз: 272−132272+27⋅26+132

7. Теңдеуді шешіңіз: 9x−x3=0

8. Өрнекті ықшамдаңыз:(a4+b4)(a2+b2)(a+b)(a−b)

9. Көбейткіштерге жіктеңіз:ab2−a−b3+b

10. Теңдеуді шешіңіз: x3+3x2−4x−12=0

Рационал өрнектер

Рационал өрнектер және оларды түрлендіру

Құрамында айнымалысы бөлімінде кездесетін бөлшектерді бөлшек өрнектер деп атайды. Ал жалпы бүтін өрнектермен бөлшек өрнектерді рационал өрнектер деп атайды.