«Математика и сельское хозяйство»

Булгаковский филиал

МБОУ 2 – Гавриловской средней общеобразовательной школы

Элективный курс

«Математика и сельское хозяйство»

9 класс.

Подготовила: Королева О.И.

2014-2015 уч.год

Пояснительная записка

В базовом курсе математики мало места уделяется задачам из сельскохозяйственной практики. В связи с этим целесообразно введение обобщающего, систематизирующего и развивающего элективного курса. Так как сельские школьники, интересующиеся математикой, лишены возможности посещать математические кружки при ВУЗах, учиться в специализированных классах, то изучение ими курса по выбору является большим стимулом в приобретении знаний.

Изучение курса «Математика и сельское хозяйство» органически связывает обучение математике с жизнью, а значит, активизирует математическую деятельность учащихся на уроках. Связь преподавания математики с трудом является действенным средством реализации важнейшего принципа педагогики – единства теории и практики. В осуществлении этой связи особую значимость приобретает производственное окружение школы: именно с ним, как правило, связаны профессиональная ориентация и подготовка, производительный труд учащихся. Связь преподавания математики с сельскохозяйственным трудом двусторонняя. Она предполагает с одной стороны широкое использование трудового и жизненного опыта школьников при формировании математических знаний, с другой – применение знаний в ходе трудового обучения.

Материал, включённый в курс, позволяет показать учащимся, что приобретаемые ими математические знания применяются в повседневной жизни. Это служит мотивом для решения предлагаемых задач.

Во всех разделах курса задачи предлагаются в широком диапазоне сложности: от самых простых, базовых, до достаточно трудных. Учитель подбирает материал, соответствующий возможностям школьников. Такие методы обучения как работа со справочной литературой, составление задач практического содержания на местном материале, построение математической модели активизируют мыслительную деятельность школьников.

В курсе «Математика и сельское хозяйство» предлагаются блоки задач, рассчитанные на 2 – 5 часов. Каждый блок задач подобран таким образом, что он позволяет учащимся применить свои математические знания базового курса в решениях задач практического содержания из отдельно взятой отрасли сельского хозяйства. В решениях задач присутствует элемент исследования. Ученики столкнутся с новыми идеями и методами решения, что, несомненно, расширит их представление о математике и укрепит интерес к предмету. Подобранные задачи формируют у учеников умения и навыки устных и письменных вычислений, умение пользоваться справочной литературой, умение не только решать, но и составлять задачи.

Цели курса:

-показать широкое применение идей и методов математики в различных сельскохозяйственных ситуациях.

-сформировать у школьников потребность в активной познавательной деятельности посредством опоры на их жизненный опыт.

-развить интерес к сельскохозяйственным профессиям.

Задачи курса:

-создать у учащихся представления о сущности математического моделирования и подвести их к овладению каждым его этапом.

-активизировать базовые математические знания учащихся задачами прикладного характера.

-ставить перед учащимися познавательную математическую проблему и обучать самостоятельности её решения.

-способствовать организации продуктивной творческой деятельности учащихся.

-восполнить пробелы школьников в математической подготовке.

-показать необходимость и перспективность сельских профессий.

Основное содержание курса.

1. Применение математики в земледелии.

2 Математика в животноводстве.

3. Математика и механизация сельского хозяйства.

4. Математика в экономических расчётах.

5. Задачи на оптимизацию.

Ожидаемые результаты:

1. Умение выделять существенные факторы, определяющие изучаемое явление, правильно выбирать математический аппарат для решения поставленной проблемы.

2. Осознание того, что результат трудовой деятельности во многом зависит от грамотного проведения необходимых математических расчётов.

3. Достичь повышения уровня самостоятельного переноса ранее усвоенных знаний и умений в новую ситуацию.

4. Сформировать у учащихся навыки составления задач прикладного характера.

5. Выработать умение пользоваться справочной литературой, работать с таблицами, находить информацию в сети Интернет.

6. Содействовать более осознанному выбору направления своей будущей профессиональной деятельности.

Учебно-тематический план.

часов

Форма

проведения

Тема I. Применение математики в земледелии.

4

1). Задачи на дроби, проценты.

1

практикум

2). Использование математического моделирования для решения практических задач.

1

лекция

3). Геометрические задачи на площади.

3

практикум

Тема II. Математика в животноводстве.

2

1). Решение задач на составление уравнений.

1

практикум

2). Составление таблиц.

1

Лекция, практикум

Тема III. Математика и механизация сельского хозяйства.

4

1). Геометрические преобразования (бороздомер, движение бороны).

1

практикум

2). Графическое построение циклоиды (форма прокоса).

1

практикум

3). Подобие треугольников (глубина вспашки).

1

практикум

4). Элементы тригонометрии (предельный угол подъёма трактора)

1

практикум

Тема IV. Математика в экономических расчётах.

3

1). Задачи на прибыль.

1

практикум

2). Задачи на рентабельность.

1

практикум

3). Прогрессии.

1

практикум

Тема V. Задачи на оптимизацию.

4

1. Метод линейного моделирования.

2. Метод динамического программирования.

2

1

лекция

практикум

лекция

практикум

Итоговое занятие.

1

экскурсия

Всего:

17

Литература.

1. И. М. Шапиро. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики - Москва, «Просвещение», 1980.

2. «Преподавание математики в сельской школе» (из опыта работы), книга для учителей, сборник методических статей. Составители: Ю. М. Колягин, О. А. Боковнев. - Москва, «Просвещение», 1984.

3. В. А. Петров. Математические задачи из сельскохозяйственной практики. Пособие для учителей. - Москва, «Просвещение», 1980.

4. Н. П. Ирошников. Организация обучения математике в 4 – 5 классах сельской школы. Пособие для учителей. - Москва, «Просвещение», 1982.

5. Мир профессий. Человек – знаковая система. Составители тома: кандидат психологических наук С. Н. Левиева, кандидат физико – математических наук В. С. Шнейдеров. - Москва, «Молодая гвардия». 1988.

6. Мир профессий. Человек – природа. Составитель тома: кандидат психологических наук С. Н. Левиева. - Москва, «Молодая гвардия». 1985.

Методическая разработка элективного курса

«Математика в сельском хозяйстве»

Применение математики в земледелии.

Основная цель:

Поставить перед учащимися познавательную математическую проблему, активизировать их знания, научить облекать в математическую форму практический материал из области агрономии.

Основное содержание:

1. Краткая справка о профессии агронома.

2. Актуализация знаний по темам «Площади фигур», «Проценты», «Обыкновенные и десятичные дроби».

3. Решение задач из практической деятельности агронома.

4. Построение простейших номограмм.

Методические рекомендации.

Краткая справка о профессии агронома.

Агрономия – наука об использовании солнечной энергии зелёными растениями, о создании и переработке органического вещества, являющегося источником существования человека.

Общая площадь всех возделываемых растений на земле превышает один миллиард гектаров, что составляет более 7% всей поверхности суши. Доля нашей страны в мировом производстве продуктов растениеводства очень велика. Дальнейшее развитие этой отрасли предусматривает эффективное производство и экономически рациональное использование урожая сельскохозяйственных культур на всём пути продукции (поле – комбайн – ток – элеватор – перерабатывающая промышленность – потребитель). Важнейшая роль в выполнении этой задачи принадлежит агроному. Центральное место в его деятельности занимает производство зерна. По расчётам специалистов на одного человека требуется до одной тонны зерна в год. Достичь этого уровня можно за счёт интенсивных факторов: роста урожайности, повышения уровня механизации, внедрения прогрессивных методов возделывания, сокращения потерь, внедрения достижений науки и передового опыта.

Создавать новые сорта пшеницы, способствовать их распространению – обязанность агронома. Он должен не только уметь их выводить, но и уметь управлять жизнедеятельностью растений. А для этого не обойтись без знаний биологии, химии, физики, математики, геодезии, метеорологии, механики и других наук.

На каком бы участке, в какой бы отрасли сельского хозяйства ни работал агроном, он везде имеет дело с природой, с её красотой и многообразием, с растениями, создающими условия жизни человека. Вся его деятельность носит творческий, исследовательский характер, в ней органически сочетаются умственные и физические функции.

Актуализация знаний по темам «Площади фигур», «Проценты», «Обыкновенные и десятичные дроби».

1. Поле прямоугольной формы размером 2х3 км² засеяно озимой пшеницей. Вычислить площадь этого поля в га.

Подсчитать:

а) массу удобрений, которую надо будет внести в почву, если норма 100 ц на 1га;

б) массу семян, которыми надо засеять поле, если норма посева 300 кг на 1га;

в) планируемый сбор зерна с этого участка, если предполагаемая урожайность 30 ц с 1га;

г) время, которое предполагается затратить на уборку урожая, если убирается 2га в час.

Полезно изменить форму поля: рассмотреть поле формы трапеции, любого другого многоугольника.

2. Подсчитать расход горючего, которое необходимо для работы тракторов во время посевной, если в хозяйстве будут работать 20 тракторов, по 12 часов ежедневно в течение 14 дней. Для работы одного трактора «К – 700» в течение одного часа надо 22,7 л горючего.

3. В хозяйстве 5 900 га сельскохозяйственных угодий. Пашня составляет 5 300 га от этой площади. Сколько процентов площади всех угодий составляет площадь пашни?

Решение: [pic] [pic]

4. В сахарной свёкле содержится около 17, 5% сахара. Найти массу сахара в 2 500 кг этого сорта сахарной свёклы.

Решение: [pic] х = [pic] 437,5кг.

5. По плану производство зерна в районе предусмотрено увеличить с 66тыс. тонн до 107 тыс. тонн. На сколько процентов предполагается увеличить производство зерна?

6. Из 526 кг подсолнечника получили 270 кг подсолнечного масла. Какой процент масла содержится в этом сорте семян подсолнечника?

7. Сколько масла можно получить из 200 кг семян белой горчицы, если считать, что этот сорт семян содержит 29% масла?

8. Влажность зерна до просушки 24%, а после просушки 12%. Масса зерна до просушки 380ц. Найдите массу зерна после просушки.

9. Качество сена определяется государственным стандартом. В сене первого класса несъедобных примесей не должно быть более 5%. Выяснить, можно ли отнести к первому классу сено, если в 55кг его содержится 2,5кг несъедобных примесей.

10.Семена огурцов первого класса должны иметь всхожесть не ниже 90%, а влажность 13%. Как проверить, являются ли данные семена огурцов семенами первого класса?

11. В соответствии с требованиями агротехники зерно засыпается на длительное хранение при влажности до 14% ( кондиционное состояние). На сколько процентов уменьшается масса зерна при просушке до кондиционного состояния, если влажность свежеубранного зерна 24%?

Решение.

Пусть m – масса свежеубранного зерна. Сухого вещества в нем содержится 0,76 m. Это сухое вещество составляет 86% массы зерна в кондиционном состоянии. Поэтому масса зерна после просушки будет [pic] , а, значит, масса уменьшилась на [pic] , что составляет [pic] от свежеубранного зерна.

12. Поле имеет вид треугольника. Требуется заменить его равновеликим полем, имеющим форму пятиугольника.

[pic]

Решение. Пусть дан треугольник АВС. Возьмём на его основании АВ две произвольные точки D и Е. Соединим их с вершиной С. Затем через вершины А и В проведем соответственно прямые АМ II CD и BN II CE. Возьмём на прямых АМ и BN соответственно произвольные точки M и N и соединим их с вершиной С. Затем соединим точку М с точкой D и точку N с точкой Е. Полученный пятиугольник DMCNE является искомым

Действительно, SABD=SCDM , так как CD – общее основание, а вершины А и М лежат на прямой АМ параллельной прямой CD. Аналогично SBCE = SCEN . Поэтому SABC = SDMCNE (треугольник CDE - общая часть), что и требовалось доказать.

13. Поле имеет в плане вид выпуклого четырёхугольника. Необходимо выделить участок, имеющий вид параллелограмма и равновеликий половине площади всего четырёхугольника.

. [pic]

Решение.

Пусть ABCD – данный выпуклый четырёхугольник. Возьмём середины сторон четырёхугольника A1B1C1D1 и соединим их последовательно. Докажем, что получившийся четырёхугольник A1B1C1D1 – искомый параллелограмм.

Для этого проведём диагональ АС четырёхугольника ABCD. Она разбивает четырёхугольник ABCD на два треугольника АВС и ACD. Кроме того, мы имеем ещё два треугольника А1ВВ1 и C1DD1. Так как АА1 = А1В и ВВ1 = В1С, то А1В1 II АС и А1В1 = [pic] АС. Аналогично C1D1 = [pic] АС.

Поэтому А1В1 = C1D1 и А1В1II C1D1. Следовательно, четырёхугольник A1B1C1D1 - параллелограмм.

Далее, проведём ВМ [pic] АС и DN [pic] AC. Отсюда имеем: SABC = [pic] АС· ВМ,

SA1BB1 = [pic] А1В1 ВМ1. Но ВМ1 = [pic] ВМ, т.к. А1В1 - средняя линия

треугольника АВС. Поэтому SA1BB1 = [pic] · [pic] АС · [pic] ·ВМ = [pic] АС· ВМ.

Следовательно, SABC : SA1BB1 =( [pic] АС· ВМ) : ( [pic] АС· ВМ) = 4, т.е. SA1BB1 = [pic] SABC.

Аналогично можно доказать, что SC1CD = SA1AD = SA1CC1 = [pic] SABC

Отсюда получается, что SA1B1C1D1 = SABCD - 4 SA1BB1 = SABCD - SABC = [pic] SABCD.

Таким образом, четырёхугольник A1B1C1D1 искомый.

Решить самостоятельно.

1. Пруд имеет форму квадрата. В вершинах его растут четыре дерева . Как можно увеличить вдвое площадь пруда, сохранив его форму, не уничтожая и не затопляя деревья?

2. Поле имеет форму прямоугольника, основание которого равно 250м, а высота 100м. Через поле под прямым углом к основанию проходит просёлочная дорога шириной 5м. Найти посевную площадь этого поля.

3.Сколько нужно взять растений влажности 85% и растений влажности 35%, чтобы получить 1 т зелёной массы для силосования влажности 75%?

Решение. Силосуемая масса должна иметь некоторую оптимальную влажность. Для получения такой массы смешивают в определённом отношении растения с разным содержанием воды.

Обозначим через х массу взятых растений влажности 85% и, определив количество воды, которое будет в таком случае содержаться во всей зелёной массе, получим уравнение

0,85х + 0,35(1 – х) = 0,75. Ответ: 8ц и 2ц.

Математика в животноводстве.

Основная цель: Актуализировать знания учащихся в решениях задач животноводства. Познакомить с принципом составления расчётных таблиц.

Основное содержание:

1. Краткая справка о профессии зоотехника и зооинженера.

2. Решение задач из сельскохозяйственной практики: жирность молока; надои молока; продуктивность коровы; расчётная таблица.

Методические рекомендации.

Зоотехник и зооинженер по производству молока и говядины на промышленной основе.

Разведением, кормлением, содержанием и использованием сельскохозяйственных животных занимается наука зоинженерия. Её теория и практика направлены на развитие наиболее экономичной технологии производства продуктов животноводства и сырья для промышленности.

Основной проблемой зооинженерии в производстве молока и говядины является определение путей увеличения поголовья наиболее продуктивных видов и пород сельскохозяйственных животных. Добиться этого возможно, используя классические методы зоотехнической науки – отбор и подбор животных, внутрипородное разведение и различные формы скрещивания животных. В процессе племенной работы ведутся специальные карточки, таблицы, журналы и Государственная племенная книга. Критерием всесторонней деятельности зооинженера являются экономические показатели руководимого им производства – производительность труда и себестоимость продукции. Эти показатели зависят от племенного состава поголовья, его продуктивности, продления срока хозяйственного использования животных на комплексе.

Под руководством зооинженера работают зоотехники, операторы машинного доения, операторы цехов по приготовлению кормов и многие другие специалисты животноводства. Он поддерживает деловые контакты с ветеринарным врачом, механиками, электриками, строителями. Непосредственным помощником зооинженера является зоотехник – специалист со средним специальным образованием. Зоотехник осуществляет практическое руководство заготовкой кормов, подготовкой их к скармливанию, ведением зоотехнического учёта.

Решение задач.

Сельскохозяйственная продукция не однородна по своему составу и качеству. Это обстоятельство порождает большое количество интересных задач, которые приходится решать в животноводстве.

1. Благодаря внедрению новой технологии доения жирность молока в хозяйстве достигла 3, 79%, в результате чего хозяйству зачтено молока на 111 т больше, чем фактически надоено. Можно ли по этим данным определить фактические надои молока в хозяйстве?

Решение.

Принятое от хозяйств молоко засчитывают в выполнение плана в пересчёте на установленную для данной местности базисную жирность, приравнивая его такому количеству молока базисной жирности, из которого можно получить столько же молочного жира. Формула пересчёта [pic] , m кг молока жирности p%, которое засчитано как М кг молока базисной жирности Р%.

Итак, М = [pic] .

Существенным условием в данной задаче является указание области. По справочнику можно найти базисную жирность молока данной местности. Пусть базисную жирность 3,60%. Обозначив фактические надои через х, получим уравнение 3,79 х = 3,6 (х + 111), х [pic] 2103 т.

2. Среди коров сычевской племенной породы лучшие результаты показали Лежебока, давшая за год 10 074 кг молока жирности 3,88%, и Мудрая, давшая 10 260 кг молока жирности 3,50%. Какую из этих коров следует считать рекордисткой?

Решение.

Найдя количество молочного жира, которое можно получить из молока той и другой коровы, замечаем, что продуктивность Лежебоки выше. Её и считают рекордисткой.

3.Сколько кг молока ежедневно даёт ферма, если среднесуточный удой одной коровы 22 л, а на ферме 250 коров?

4. Сколько надо смеси концентратов на корм 40 коровам, если среднесуточный удой каждой коровы 20кг? Работа по таблице.

5. Сколько надо клеверо – тимофеечного сена, овсяной соломы и кукурузно – люпинового силоса на корм 40 коровам, если среднесуточный удой коровы 5кг?

Работа по таблице.

Сколько кормовых единиц содержится в питании одной коровы, которое она получает в течение 180 дней, если в питании одного дня содержится 12,17 кормовых единиц. Составьте рацион для одной коровы.

Примерный суточный рацион для группового кормления коров с различной продуктивностью в стойловый период

Питательность кормов

корм

В килограмме корма содержится

кормовых

Сено:

Люцерновое

Клеверо-злаковое

0, 45 - 0,54

0,40 – 0,50

Силос:

Кукурузный

вико - овсяной

0,20 -0,26

0,18 -0,30

Сенаж:

Из люцерны

Из клеверо – злаковых трав

0,35

0,30 – 0,37

Гранулы:

Из зернофуражных культур в фазе молочно – восковой спелости

0,65

Комбикорм

1,0

Солома

0,22 – 0,36

Травяная мука

0,6 – 0,8

Зерновая смесь

1,15 – 1,30

Решить самостоятельно.

1. Передовая телятница хозяйства в январе месяце добилась среднесуточного привеса на 30г больше плана от каждой коровы молодняка, что составляет [pic] намеченного плана. Каков привес молодняка в январе месяце был у телятницы?

2. Масса четырёхмесячного бычка 120кг, что составляет [pic] массы десятимесячного бычка. Эта масса составляет 60% шестнадцатимесячного бычка, сдаваемого на мясо. Определите эту массу бычка.

Математика и механизация сельского хозяйства.

Основная цель:

1. Показать необходимость математических знаний в практической деятельности механизатора.

2. Познакомить учащихся с приёмами математического моделирования и конструирования сельскохозяйственных задач.

3. Показать с помощью задач роль машинного труда в производстве сельскохозяйственной продукции.

Основное содержание:

1. Кратко о профессии техника и инженера – механика сельскохозяйственного производства.

2. Решение задач: бороздомер; конструкция бороны, форма прокоса, глубина вспашки, предельный угол подъёма трактора.

Методические рекомендации.

Все основные производственные процессы – от вспашки земли до уборки урожая – выполняются машинами. Внедрение высокоурожайных сортов требует новой техники. Создаются более энергонасыщенные машины, особенно для крупных зерновых районов. Рационально использовать сложную технику могут только хорошо подготовленные, специально обученные механизаторы, мастера своего дела, а создавать машины завтрашнего дня, руководить механизаторами, управлять всей механизацией сельского хозяйства – только высококвалифицированные инженеры и техники – механики. В сельскохозяйственных вузах, на факультетах, в институтах механизации сельского хозяйства готовят инженеров – механиков по трём специальностям: механизация земледелия, механизация животноводства, технология ремонта машин. Больше всего требуются сейчас специалисты по механизации земледелия, и потому их подготовка проводится во всех вузах этого профиля. Задачи в области механизации земледелия очень разнообразны. Ведь важно не просто вспахать или посеять, а выполнить это так, чтобы получить наибольший урожай. Сельскохозяйственное производство в значительной мере зависит от климатических и погодных условий, которыми мы не можем управлять. На вспашке, посеве, уходе за растениями, уборке и т.д. механизаторы работают на различных машинах довольно часто, иногда по нескольку раз в день, меняется характер их деятельности и требуется переналадка машин. Техники и инженеры – механики следят за исправностью машин, за соответствующим их подбором, обеспечивают своевременный и качественный ремонт, подготовку машин к работе в любых условиях.

В области механизации инженер и техник – механик встречаются также с большим разнообразием задач. В зависимости от вида животных, от вида кормов, условий содержания скота и т. п. применяются различные машины и механизмы. Зачастую приходиться приспосабливать существующее оборудование к местным условиям с учётом характера кормов и условий содержания животных.

Сельскохозяйственное производство не терпит шаблона. Лучшие результаты получают те специалисты, которые творчески учитывают специфику зоны, микро- и макроклимат, условия года, особенности сорта растений, пород животных и т.д.

При сложной энергонасыщенной технике необходимы точный , вовремя выполненный диагноз состояния машин и их техническое обслуживание с применением сравнительно сложной электронной аппаратуры.

Решение задач.

Получение высоких урожаев невозможно без механизации сельскохозяйственных работ, без технического перевооружения на базе новой техники. Задачи, которые предлагаются по этой отрасли сельского хозяйства, не являются очень сложными для учащихся основной школы, но требуют исследовательского подхода к их решению.

От чего зависит средняя урожайность зерновых культур?

Зависит от качества обработки посевов, от сорта семян, от погодных условий и т.д.

Проверку глубины вспашки наиболее быстро и надежно производить с помощью бороздомера, который состоит из двух линеек одинаковой длины: неподвижной l, оканчивающейся угольником, и подвижной m. Для замера глубины пахоты бороздомер устанавливают вертикально угольником на непаханую землю, а подвижную линейку опускают на расчищенное дно борозды. Верхний конец подвижной линейки показывает глубину борозды по шкале, нанесенной от верхнего конца неподвижной линейки.

[pic]

1. Докажите, что длина отрезка АВ неподвижной линейки бороздомера равна глубине борозды.

Решение.

Т. к. AC = BD, то отрезок BD – образ отрезка AC при параллельном переносе Т. Поэтому В = Т(А), D = T(C), а это в силу самого определения параллельного

переноса, и означает, что AB = CD.

Агротехнические условия требуют, чтобы бороздки, проводимые зубьями бороны, располагались на одинаковом расстоянии друг от друга. В то же время зубья бороны должны быть удалены друг от друга значительно дальше, чем расстояние между бороздками (иначе борона будет работать как грабли), и никакие два зуба не должны идти по одному следу. Всем этим условиям удовлетворяет борона «Зигзаг». Конструкция такой бороны проста и довольно остроумна.

Рассмотрим параллелограмм ОАВС, в котором высота АС делит сторону ОС в отношении 2:3. Разобьём сторону ОС на 5 равных отрезков и через точки деления проведём прямые, параллельные ОА. Сторону ОА также разобьём на 5 равных отрезков и через точки деления проведём прямые, параллельные ОС. Образовавшаяся сеть прямых и порождает контур бороны «Зигзаг», причём точки пересечения прямых показывают места расположения зубьев бороны.

[pic]

2. Докажите, что при движении бороны «Зигзаг» в направлении AD её зубья проводят борозды (сколько их) так, что расстояние между любыми соседними бороздами одно и то же.

Решение.

Пусть OD = d. Обозначим через аk координату проекции (в направлении движения бороны) точки Аk (k = 1,2,3,4) на числовую ось Ох. Т.к. ОА1 = [pic] ОА, то по теореме Фалеса а1 = [pic] . Аналогично находим, что а2 = [pic] d, a3 = [pic] d, a4 = [pic] d.

Обозначим через Sk (k = 1, 2, 3, 4,…,20) зуб, который проводит (считая слева направо) k –ю борозду, а через sk – координату его проекции на ось Ох. Пусть Т – параллельный перенос в направлении Ох на расстояние [pic] . Поскольку S1 = T(A1), S2 = A4, S3 =T(A2), S4 = D, S5 = T(A3),S6 = T(S1), то

s1 = a1 + [pic] = [pic] d,

s2 = a4 = [pic] d,

s3 = a2 + [pic] = [pic] d,

s4 = d,

s5 = a3 + [pic] = [pic] d,

s6 = s1 + [pic] = [pic] d.

Мы доказали, что расстояние между соседними бороздами, оставляемыми первым «зигзагом» бороны, а также между последней бороздой первого [pic] «зигзага» и первой бороздой второго «зигзага» равно [pic] . Ясно, что таким же свойством обладают и остальные три «зигзага», поскольку каждый из них получается из предыдущего с помощью параллельного переноса Т.

Режущий аппарат так называемой ротационной косилки представляет собой горизонтальный диск с укреплёнными по его ободу ножами. Примером ротационной косилки служит газонная косилка. Такая косилка будет работать без огрехов, если ножи на ободе диска расположены определённым образом и окружная скорость ножа в несколько раз больше поступательной скорости движения косилки. Для определения необходимых соотношений важно знать, какой формы прокос (траекторию) оставляет точка ножа при перемещении косилки.

[pic]

3. Сделайте графическое построение прокоса, оставляемого точкой ножа ротационной косилки при условии, что линейная скорость ножа больше скорости поступательного движения самой косилки.

Решение.

Ясно, что достаточно изобразить часть прокоса, соответствующую времени полного оборота ножа по своей окружности, т.к. в дальнейшем форма прокоса будет повторяться.

Изобразим окружность, на которой расположен нож косилки, и разобьём её на 12 равных частей. Пусть точка А – начальное положение ножа, а t – время, в течение которого нож пробегает [pic] длины окружности. Пусть вектор [pic] изображает перемещение косилки за время t.

За время t нож А в результате вращения диска переходит в точку А1 , которая в результате поступательного движения косилки за то же время переходит в такую точку В1, что [pic] = [pic] . Значит, в результате сложного движения нож А займёт положение точки В1. За время 2t нож А займёт положение точки В2, что А2В2 = 2 [pic] . Аналогично находим положение ножа через 3t, …,12t. Оно определяется соответственно точками В3, …,В12.

Соединив построенные точки плавной кривой, получим примерный вид прокоса. Полученная кривая называется циклоидой.

Оборот пласта корпусом плуга (без предплужника) при вспашке можно условно представить себе как последовательное перемещение прямоугольника ABCD, предполагая при этом, что пласт не деформируется и его основные размеры ВС = а (глубина вспашки) и АВ = b (ширина захвата плуга) не изменяются.

Отрезанный пласт ABCD под действием плуга сначала поворачивается вокруг вершины А до вертикального положения AB1C1D1, а затем – вокруг вершины D1 до соприкосновения с ранее отваленным пластом.

Увеличение глубины вспашки при фиксированной ширине (увеличение стороны D1A2 прямоугольника D1A2B2C2) приведёт к тому, что центр массы О пласта спроектируется левее точки D1, и пласт после прохождения плуга отвалится обратно в борозду.

[pic]

4. Найдите предельно допустимое отношение глубины вспашки к ширине захвата плуга.

Решение.

На рисунке как раз изображён случай предельно допустимого отношения [pic] (обозначим его через k). Это случай неустойчивого равновесия – точка О проектируется в точку D1.

Для отыскания k заметим, что BD1 = AD1^’, а значит, DD1^’ = AB = b. Так как далее, [pic] как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, то прямоугольные треугольники B2C2D1 и D1A2^’D1^’ подобны. Поэтому

[pic] ; [pic] ; ( [pic] )² + 1 = ( [pic] )²;

k² + 1 = [pic] ; k⁴ + k² - 1 = 0; k = [pic] 0,786.

Итак, глубина вспашки не должна быть больше 0,78 ширины захвата плуга. Для стандартного плуга с шириной захвата 35см глубина пахоты не должна превышать 27см.

Важными эксплутационными характеристиками работающего на склоне трактора, показывающими его устойчивость, являются угол продольного наклона и угол поперечного крена и предельный угол подъёма трактора.

Предельным углом подъёма трактора называется наибольший допустимый угол [pic]

наклона склона, вдоль которого может стоять , не опрокидываясь назад, заторможенный трактор.

[pic]

5. Какие параметры трактора достаточно знать для определения предельного угла подъёма, как найти этот угол?

Решение.

Из курса физики известно, что для устойчивости тела на наклонной плоскости необходимо, чтобы вертикаль, проведённая через центр массы А, не выходила за пределы опоры BD.

Рассмотрим предельный случай, когда эта вертикаль АВ проходит через границу опоры. Проведём АС [pic] BD и рассмотрим прямоугольный треугольник АСВ. Так как [pic] , то tg [pic] .

Итак, для определения предельного угла наклона достаточно знать длины отрезков АС и ВС. Как охарактеризовать эти величины?

АС – это расстояние от центра массы до плоскости движения или высота центра массы. ВС = АВ^’ - расстояние от центра массы до вертикальной (в случае горизонтально стоящего трактора) плоскости, проходящей через заднюю ось.

Например, у трактора МТЗ – 50 интересующие нас параметры таковы: АС = 89см, ВС = 85см. Поэтому для него tg [pic] 0,95 и, следовательно, предельный угол подъёма [pic] .

Математика в экономических расчётах.

Основная цель:

Познакомить учащихся с экономическими расчётами в практической деятельности специалиста сельского хозяйства.

Основное содержание:

1. Коротко о профессии экономиста.

2. Актуализация знаний по теме «Прогрессии».

3. Математические задачи на экономические расчёты.

Методические рекомендации.

Словом «oiconomia» древние греки обозначали управление хозяйством. Буквально слово «экономика» обозначает бережливость, рачительность, хозяйственность.

Профессия экономиста, естественно, предъявляет свои требования к избравшему эту специальность. Этот человек должен быть широко образованным, иметь глубокие знания в области математики, общественных наук, статистики, техники. Экономист имеет дело с цифрами, которые он должен уметь анализировать. Справочники, нормативные материалы, данные, отражающие различные параметры функционирования каждого звена экономики – всё это составляет исходный материал, с которым должен работать экономист. На предприятиях, заводах, в колхозах, в строительных организациях и др. трудится большая армия инженеров – экономистов. Они участвую в составлении планов выпуска продукции, в определении номенклатуры изделий, планируют основные показатели производственного цикла, рассчитывают затраты, расход материалов, топлива, электроэнергии, себестоимость продукта, прибыли, фонды экономического стимулирования, занимаются повышением производительного труда. Квалифицированные экономисты – люди энергичные, инициативные, находчивые. Их работа нешаблонна, она в любых обстоятельствах носит творческий характер. Меняются непрерывно условия производства, технология, производимая продукция, вводится в строй новое оборудование. Всё это необходимо учесть и отразить в плановых и итоговых показателях. Экономист должен спрогнозировать и рассчитать, как будут меняться экономические параметры с внедрением того или иного нововведения.

Подготовка инженеров – экономистов ведётся в финансово – экономических, инженерно – экономических, планово – экономических, институтах народного хозяйства и на специальных инженерно – экономических факультетах вузов, готовящий экономистов для определённой отрасли народного хозяйства.

Математические задачи на экономические расчёты.

1. От одной коровы в колхозе получено за год в среднем 5 432 кг молока. Себестоимость центнера молока за год снизилась с 770 рублей до 680 рублей. Какую прибыль от снижения себестоимости молока получил колхоз, имеющий 1 400 коров?

2. Хозяйство получило картофеля по 254 ц с 1 га. Всего было занято под картофелем 95 га. Себестоимость 10 кг картофеля составляла 36 рублей. Сколько рублей дохода получило хозяйство, если цена на картофель составляла 8,5 рубля?

3. В колхозах района среднесуточный привес на одно животное крупного рогатого скота составляет 530 г, а в межколхозном комплексе по откорму скота за счёт лучшего ухода и кормления среднесуточный привес на одно животное составляет 880 г. Какой дополнительный привес получит комплекс за счёт лучшего ухода и кормления от 1200 животных за 90 дней?

4. В первом колхозе общий удой молока за год составил 3 500 тыс. л, а во втором – на 750 тыс. л меньше, хотя коров в нём было на 100 голов больше, чем в первом колхозе. За счёт применения научных методов содержания коров годовой удой молока от одной коровы в первом колхозе на 1 тыс. л больше, чем во втором колхозе. Определить поголовье скота (коров) в первом и втором колхозах; вычислить средний годовой удой молока на корову в каждом колхозе; найти себестоимость 1 л молока в каждом колхозе, если стоимость содержания одной коровы с учётом зарплаты рабочих фермы и всех других расходов обходится в 18000 рублей в год (расходы на реализацию молока не учитывать).

На задачах с экономическим содержанием учащиеся тренируются в действиях с различными числами, отрабатывают методы решений уравнений и т.д. Такие задачи содействуют выработке активной жизненной позиции, показывают практическую направленность обучения математике, учат бороться с иждивенческими настроениями.

Следующая задача поможет учащимся уяснить такие экономические понятия, как «прибыль», «рентабельность».

Прибыль – разница между затратами на производство продукции и ценой , по которой эта продукция реализуется.

Рентабельность – обобщающий показатель экономической эффективности работы хозяйства за определённое время. Он характеризует степень прибыльности, доходности хозяйства. Рентабельность исчисляют путём деления годового размера прибыли на среднегодовую стоимость основных производственных фондов и оборотных средств.

5. Колхоз продал государству 2,8 тыс. т молока по цене 15 000 р. за тонну. Увеличив затраты на 150 тыс. р., он получил дополнительно 0,4 тыс. т молока, и уровень рентабельности производства повысился на 4%. Какую прибыль получил колхоз от производства молока, если за сверхплановую продажу была установлена надбавка 30% к закупочным ценам?

Решение.

Найдём прибыль, полученную от реализации сверхплановой продукции.

( [pic] + 15 000) · 400 – 150 000 = 7 650 тыс. р.

Уровень рентабельности производства есть отношение получаемой прибыли к затратам.

По условию разность между старым уровнем рентабельности и новым равна 4%. Обозначим затраты на производство 2,8 тыс. л молока через х. Получим уравнение:

[pic] 0,04.

Найдя значение х из полученного уравнения, вычислим прибыль, полученную колхозом по формуле

2800·15000 + 7650 000 – х.

6. Для определения необходимого количества горючего нужно знать, какое расстояние пройдёт комбайн, убрав урожай с данного поля. Комбайн, как правило, движется вкруговую, т. е. по маршруту, который при некоторой идеализации (несущественной в приближённых расчётах) можно представить в виде ломаной, изображенной на рисунке жирной линией.

[pic]

1. Пусть комбайн с шириной захвата h убирает урожай с прямоугольного поля площади S, причём ширина поля кратна удвоенной ширине захвата (равна 2hn, где n – натуральное число).Какое расстояние пройдёт комбайн, убрав всё поле?

Решение.

Ломаную ABCDEF называют первым объездом, ломаную FGHJKL – вторым объездом и т.д. Участок, обрабатываемый при k- м объезде, называют k- м гоном. На рисунке выделен второй гон.

Площадь k- го гона равна произведению длины k- го объезда хk на ширину захвата h, сумма площадей всех гонов равна площади исходного участка:

hx1 + …+ hxn= S или hx = S, где х – длина всего маршрута. Отсюда получаем формулу: x = [pic] , которая и используется на практике.

Решить самостоятельно.

1. Трактор ДТ – 54 расходует в сутки при двухсменной работе на 1,5 кг автола больше, чем трактор «Беларусь». Определите среднесуточный расход автола каждым трактором, если ДТ – 54 израсходовал 94 кг автола, а трактор «Беларусь», проработав на двое суток больше, 75 кг. (Решение задачи сводится к решению квадратного уравнения.)

2. Себестоимость товарной продукции хозяйства составила 3,4 млн. р., а денежная выручка от её реализации – 4,2 млн. р. Найдите уровень рентабельности товарной продукции по её себестоимости. (23,5%)

3.Среднегодовой объём валовой продукции хозяйства возрос за три года на 6% и достиг 2,31 млн.р. Каков был объём валовой продукции сначала?

Валовая продукция – статистический показатель, характеризующий в денежном выражении общий объём производства предприятия, отрасли за определённый период времени. ( если а – первоначальный объём валовой продукции, то в конце третьего года составит а· 1,06³ = 2,31 млн. р. Решение задачи сводится к нахождению первого члена геометрической прогрессии, если известны знаменатель, число членов и последний член прогрессии.)

V. Задачи на оптимизацию.

В сельском хозяйстве непрерывно протекают разнообразные экономические процессы, в результате которых складываются определенные производственные результаты, формируются экономические явления.

Большое число планово-производственных и экономических задач связано с распределением каких-либо, как правило, ограниченных ресурсов.

Методы линейного и динамического программирования позволяют наиболее рациональным способом распределить ограниченные ресурсы, рассчитать максимальную выгоду или минимальные затраты.

Метод линейного моделирования.

Рассмотрим математическую суть метода линейного моделирования на примере:

Найти числа х1 и х2, которые удовлетворяют системе ограничений:

[pic] 2х1+5х2 ≤ 10

2х1+х2 ≤ 6

х1+х2 ≤ 3

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0 при которых функция F(х1;х2)=2х1+3х2 принимает максимальное значение.

Решение: Допустимым решением приведенной задачи называется пара чисел, удовлетворяющая всем ограничениям задачи. Оптимальным решением называется решение, при котором функция F принимает максимальное значение.

Построим область допустимых решений задачи.

Обозначим M1L график 2х1+5х2 ≤ 10.

Отрезком M2E график 2х1+х2 ≤ 6

О

х1

М2

М3

М1

1

х2

K

•

О 1 Е L

Областью допустимых решений задачи является четырехугольник ОМ1КЕ. Нужно на этой области найти пару чисел х1 и х2, при которых функция F(х1;х2) принимает максимальное значение:

2х1+3х2=0

х2=-2/3х1

Осуществим параллельный перенос этого графика вдоль оси ОХ2 вверх. Это будет равносильно увеличению значений выражения 2х1+3х2. Последней точкой, которая будет общей у переносимого графика и у четырехугольника ОМ1КЕ будет точка К, которая является точкой пересечения таких прямых, как:

2 [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] х1+5х2 = 10 и х1+х2 = 3. Найдем координаты точки K, решив систему:

2х1+5х2=10 2х1+5х2=10 3х2=4 х2=4/3 х2=4/3

х1+х2=3 •(-2) -2х1-2х2=-6 х1+х2=3 х1=3 - 4/3 х1=5/3

Найдем теперь значение искомой функции: F (х1; х2) = 2•5/3 + 3•4/3 = 10/3 + 12/3 = 22/3

В практических задачах функция F называется целевой или производственной, а многоугольник типа ОМ1КЕ – многоугольником ограничений.

Задача .

Пусть в колхозе требуется распределить

площадь пашни между двумя культурами с учетом ограничений, указанных в таблице.

Получить максимальную прибыль и максимум рентабельности.

Затраты человеко-дней на 1га

1

х

10

50

6

0,1

2

2

у

15

80

8

0,24

10

Даны ресурсы производства: 1) количество земли – 1800га; 2) тракторо-смен – 300; 3) человеко-дней – 8000; 4) потребность в культуре №1 – 10000ц; 5) в культуре №2 – 7500ц.

Задачу необходимо решить по оптимизации 2-х различных критериев, а именно: а) по максимуму прибыли; б) по максимуму рентабельности

Решение:

Ограничение задачи имеет следующий вид:

1. х + у ≤ 1800 (ограничение по S)

2. 0,1х + 0,24у ≤ 300 (ограничение по тракторо-сменам)

3. 2х + 10у ≤ 8000 (ограничение по человеко-дням)

4. 10х ≤ 10000 (ограничение по потребности в 1-ой культуре)

5. 15у ≤ 7500 (ограничение по потребности во 2-ой культуре)

Кроме того, ясно, что х ≥ 0, у ≥ 0.

По формуле П = Мп – З получаем:

П = 6•10х + 8•15у – 50х – 80у.

П = 60х + 120у – 50х – 80у.

П = 10х + 40у.

П = 10(х + 4у).

Для рентабельности имеем формулу: R = П

З

R

=

=

50х + 80у 10(5х + 8у) 5х + 8у

Д

=

х +у

Построим многоугольник ограничений:

[pic] [pic] [pic]

х + у ≤ 1800 х + у ≤ 1800 х + у ≤ 1800

0,1х + 0,24у ≤ 300 10х + 24у ≤ 30000 5х + 12у ≤ 15000

2х + 10у ≤ 8000 х + 5у ≤ 4000 х + 5у ≤ 4000

10х ≥ 10000 х ≥ 1000 х ≥ 1000

15у ≥ 7500, х ≥ 0, у≥ 0 у ≥ 500, х ≥ 0, у≥ 0 у ≥ 500, х ≥ 0, у≥ 0

у

[pic]

2400

2000

1600

1200

800

400

400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 х

[pic]

а). Решение по максимуму прибыли.

П = 10(х + 4у); х + 4у = max; у = -1/4х

Если х = 800, то у = -200; если х = 1600, то у = -400.

С [pic] [pic] овершаем параллельный перенос прямой у = -1/4 х вдоль оси ОУ вверх до тех пор, пока она не выйдет из многоугольника ограничений. По рисунку видно, что решению соответствует точка Е. Точка Е является точкой пересечения прямых х + у = 1800 и х + 5у =4000.

Решим систему уравнений: х + у = 1800 х = 1800 – у

х + 5у = 4000 1800 – у + 5у = 4000

х [pic] [pic] [pic] = 1800 – у х = 1800 – у х = 1250

4у = 2200 у = 550 у = 550

Вывод:

Значит, чтобы получить максимальную прибыль, необходимо под культуру №1 занять 1250га, а под культуру №2 – 550га.

б). Решение по максимуму рентабельности.

R

=

5х + 8у

R•5х – х = 4у – R•8у; х (5R – 1) = у( 4 – 8R); у = х (5R – 1)

4 – 8R

или иначе, у = kx, где k = 5R – 1

4(1 – 2R)

Уравнение представляет собой уравнение пучка прямых, проходящих через начало координат.

Увеличение k влечет за собой увеличение R. А так как нам нужно, чтобы R достигло наибольшего значения, то для этого достаточно поворачивать луч у = kx, выходящий из начала координат, против часовой стрелки до тех пор, пока он не выйдет за пределы «многоугольника ограничений». Решение (как мы видим по рисунку) в точке F.

Т [pic] [pic] ак как точка F является точкой пересечения прямых х = 1000 и х + 5у = 4000, то, решая систему уравнений, находим координаты точки

х = 1000 х = 1000

х + 5у = 4000 у = 600

Ответ: х = 1000га, у = 600га.

37