Логико-математический и дидактический анализ правила решения неравенств с одним неизвестным, сводящихся к линейным
I. Логико-математический анализ.
1. Правило. Для решения неравенства с одним неизвестным, которое сводится к линейному, нужно:
перенести члены, содержащие неизвестную, в левую часть неравенства, а члены, не содержащие неизвестную – в правую;
приведя подобные члены, разделить обе части неравенства на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю.
2. Форма представления – словесная.
3. Алгоритм:
перенести члены, содержащие неизвестную, в левую часть неравенства;
перенести члены, не содержащие неизвестную, в правую часть неравенства;
привести подобные члены;
проверить, равен ли нулю коэффициент при неизвестной:
если коэффициент при неизвестной не равен нулю, то обе части неравенства разделить на него (учтя его знак);
если коэффициент при неизвестной равен нулю, то:
если получилось верное числовое равенство, то решение не равенства – любое значение переменной;
если получилось неверное числовое неравенство, то неравенство не имеет решений.
Действия I , II, IV формально не являются новыми для учеников – аналогичные действия выполнялись при решении уравнений, линейных неравенств. Новой является ситуация применения шагов I , II, IV.1 и доказательство их обоснованности, а так же новый вид неравенства. Приведение подобных членов уже выполняется автоматически.
4. Другие формы представления алгоритма.
1. Символьная форма.
ax+b cx+d, где - любой из знаков <, >, <,>.
Этапы решения:
I. ax – cx+b d
II. ax – cx d – b
III. (a – c)x d – b
IV. (a – c) = 0?
1. a – c = 0 x (d – b)/(a – c):
если (a – c) >0, то знак совпадает со знаком ;
если (a – c) <0, то знак - противоположный для знака .
2. . a – c = 0 :
если 0 d – b – верное числовое равенство, то решение не равенства – любое значение переменной;
если 0 d – b – неверное числовое равенство, то неравенство решений не имеет.
2. В виде блок-схемы.
[pic]
5. Теоретическая основа алгоритма: свойства неравенств (о переносе членов неравенства из одной части в другую, деление и умножение обеих частей неравенства на число, не равное нулю), решение линейных неравенств.
6. Решение неравенств связано с решением уравнений, текстовых задач, геометрических задач и т.п. Будет использоваться при решении многих текстовых задач
II. Дидактический анализ.
1. Упражнения для актуализации.
1. Сформулируйте определение линейного неравенства с одним неизвестным.
2. Что мы понимаем под членом неравенства?
3. Дайте определение решению неравенства.
4. Что значит, решить неравенство?
5. Как решаются линейные неравенства с одним неизвестным?
6. Решите следующие неравенства или уравнения:
1. x – 6x > 5,
2. -8x + 8x <-4,
3. 7х + 3х < 11,
4. x – x > 9,
5. 4x + 1 = x – 2.
2. Мотивация.
6. 4х + 1 < х - 2.
3. УЗ: найти способ решения неравенств, сводящихся к линейным, и зафиксировать его.
Планирование решения:
Выяснить, чем отличается неравенство №6 от неравенств №1 – 4.
Проанализировать решение уравнения №5.
Сформулировать свойства уравнений, использовавшихся при решении задачи №5.
Провести аналогию между свойствами уравнений и неравенств: выделить сходства и особенности.
Сформулировать свойства неравенств о переносе членов неравенства из одной части в другую, деление (умножение) обеих частей неравенства на число, отличное от нуля.
По аналогии с решением уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным, опираясь на полученные свойства неравенств, вывести способ решения неравенств, сводящихся к линейным (при этом необходимо учесть случай, когда коэффициент при неизвестном равен нулю ( №2, 4)).
Выделить несколько форм представления правила.
4. Система вопросов, заданий для выделения общего способа действий.
1. Чем отличается неравенство №6 от неравенств №1 – 4?
2. Есть ли что-то общее между неравенством №4 и уравнением №5?
3. Расскажите подробно ход решения уравнения №5.
4. Чем мы пользовались при решении уравнения №5?
5. Сформулируйте основные свойства уравнений.
6. Можем ли мы сформулировать аналогичные свойства для неравенств? Почему? (исходя из свойств числовых неравенств).
Далее формулируются и записываются в тетрадь полученные свойства.
7. По аналогии с ходом решения уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным, и опираясь на полученные свойства неравенств, попробуйте решить неравенство №6.
8. Выделите общие шаги в решении неравенства.
Далее выделяется способ решения неравенств.
9. Давайте проверим, все ли возможные случаи мы учли при нахождении способа решения неравенств. Пользуясь полученным способом, решите неравенство: x -1 > 8 + х.
10. Какой случай мы не рассмотрели?
Далее, анализируя №2 и №4, выделяется случай, когда коэффициент при неизвестном равен нулю и формулируется правило в виде алгоритма, а затем формулируется словесно.
5. Правило фиксируется как алгоритм (п.3 логического анализа) и в словесной (п.1 логического анализа) форме. Даётся название нового вида неравенств.
Затем по алгоритму составляется блок-схема (п.4 логического анализа).
После этого класс разбивается на несколько групп (по 4 - 5 человек). Каждой группе выдаётся задание: используя полученные формы представления правила, преобразовать его в символьную форму:
ax+b cx+d, где - любой из знаков <, >, <,>.
Этапы решения: …
Затем одна из групп представляет свою запись, а другие группы дополняют и исправляют ошибки.
6. Система упражнений на осознание.
1. Решите неравенства:
а) 2x + х + 2 > x – 1;
б) 2x – x + 2 < x – 1;
в) 2x – x +2 > x – 1.
2. Найти все значения t, удовлетворяющие условию:
а) 5t + 1 > 3(t – 2);
б) 4t – 5 < 2(2t + 1);
в) 0,5(4t + 5) < 3( t – 3).
