Коллекция задач на перекраивания фигур

Коллекция задач на перекраивание фигур

Задачи на перекраивание фигур возникли в глубокой древности. В их основе лежат задачи о равновеликих и равносоставленных фигурах. Уже в VII–V вв. до н.э. в Индии в книге «Правила верёвки» рассматриваются задачи на перекраивание фигуры, состоящей из двух квадратов, в равновеликий ей квадрат и перекраивание прямоугольника в квадрат. Позднее, примерно во II в. до н.э. в «Началах» Евклида приводится решение тех же задач, но уже с использованием метрических отношений в прямоугольном треугольнике. Первый трактат, в котором исследовались способы решения задач на перекраивание, написал знаменитый арабский астроном и математик из Хорасана Абу-Л-Вефа (940-998). В начале XX века благодаря бурному росту периодических изданий решение задач на разрезание фигур на то или иное число частей и последующее составление из них новой фигуры привлекает внимание как средство развлечения широких слоев общества.

Сегодня задачи на перекраивание фигур встречаются на математических факультативах и кружках, в олимпиадных заданиях, в основном в 5-8 классах, в доказательствах некоторых теорем.

При решении задач на перекраивание необходимо: смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения.

Все задачи на перекраивание можно разделить на несколько групп:

1. Задачи на перекраивание путем разреза фигуры по линиям сетки.

• Разделите фигуру на 2 равные части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

[pic] [pic]

Решение:

[pic] [pic]

• Разрежьте фигуру на 4 равные части и сложите из этих частей квадрат с квадратным отверстием посередине.

[pic]

Решение:

[pic]

• Разрежьте изображенную на рисунке фигуру на четыре одинаковые части так, чтобы из них можно было сложить квадрат размером 6×6 с шахматной раскраской.

[pic]

Решение:

[pic]

2. Задачи на перекраивание фигур путем произвольного разреза.

• Разрежьте прямоугольник, a×2a на такие части чтобы из них можно было составить равновеликий ему: прямоугольный треугольник; квадрат.

• Разрежьте два квадрата 1х1 и 3х3 на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий им квадрат.

• Перекроите трапецию в треугольник, треугольник в параллелограмм.

[pic]

[pic]

3. Головоломки «Танграм» и «Пентамино».

• «Танграм» - представляет собой квадрат, разрезанный на 7 частей определенным образом (рис 1), из которых можно сложить огромное количество фигур. При решении головоломки требуется соблюдать два условия: первое — необходимо использовать все семь фигур танграма, и второе — фигуры не должны перекрываться между собой.

[pic]

Рис 1

Задание: составить из всех частей танграма треугольник, прямоугольник, трапецию.

• «Пентамино» - набор из 12 фигур, каждая из которых состоит из 5 квадратов (рис 2)

[pic]

Рис 2

Самая распространённая задача о пентамино — сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20. Каждую из этих головоломок можно решить вручную (рис 3)

[pic]

Рис 3

Более сложными считаются задачи на выкладывание квадрата 8×8 с 4 отверстиями в определенно заданных местах.

[pic]

Рис 4