Теоремы по геометрии 7 класс

Т. Свойство смежных углов.

Дано: ∟ АОВ и ∟ ВОС – смежные

_________________________ Доказать: ∟ АОВ + ∟ ВОС = 180⁰

Доказательство:

1. По условию ∟ АОВ и ∟ВОС – смежные, значит ∟ АОВ + ∟ ВОС = ∟ АОС

2. ∟ АОС – развернутый (по определению), значит ∟ АОС = 180⁰

Из первого и второго равенств следует, что: ∟ АОВ + ∟ВОС = 180⁰. Вывод.

Т. Свойство вертикальных углов.

Дано: ∟ АОВ и ∟СОД – вертикальные

Доказать: ∟АОВ = ∟СОД

Доказательство:

1. ∟ АОВ и ∟ ВОС – смежные (по определению), значит ∟АОВ + ∟ ВОС = 180⁰.

∟АОВ = 180⁰ - ∟ ВОС

2. ∟ ВОС и ∟ СОД – смежные (по определению), значит ∟ ВОС + ∟СОД = 180⁰.

∟СОД = 180⁰ - ∟ВОС

Из первого и второго равенств следует, что: ∟ АОВ = ∟СОД (если в двух равенствах правые части равны, то и левые части равны). Вывод.

Т. Первый признак равенства треугольников (по СУС).

Дано: Δ АВС, Δ А1В1С1,

АВ = А1В1, АС = А1С1, А = А1

Доказать: Δ АВС = Δ А1В1С1

Доказательство:

1. Наложим Δ АВС на Δ А1В1С1 так: вершину А совместим с вершиной А1, луч АВ с лучом А1В1.

2. По условию ∟А = ∟ А1, значит луч АС совместится с лучом А1С1.

3. По условию отрезок АВ = А1В1, значит точка В совместится с точкой В1,

отрезок АС = А1С1, значит точка С совместится с точкой С1.

Значит, весь Δ АВС полностью совместился с Δ А1В1С1, значит Δ АВС =Δ А1В1С1(по опр). Вывод.

Т. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

Дано: Δ АВС – равнобедренный с основанием АС

Доказать: ∟ А = ∟ С

Доказательство:

1)Дополнительное построение: проведем биссектрису ВД.

2)Рассмотрим Δ АВД и Δ СВД: а) АВ = ВС (это боковые стороны равнобедренного треугольника),

б) ВД – общая сторона,

в) ∟ АВД = ∟ СВД (так как ВД – биссектриса ∟АВС)

__________________________________________

Значит, Δ АВД = Δ СВД (по СУС), тогда ∟ А = ∟ С, так как в равных треугольниках соответственные элементы равны. Вывод.

Т. Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника,

проведенной к основанию.

Дано: Δ АВС – равнобедренный с основанием АС,

ВД – биссектриса

Доказать: 1) ВД – медиана, 2) ВД – высота

Доказательство:

1)Рассмотрим Δ АВД и Δ СВД: а) АВ = ВС (это боковые стороны равнобедренного треугольника),

б) ВД – общая сторона,

в) ∟ АВД = ∟ СВД (так как ВД – биссектриса ∟ АВС)

__________________________________________

Значит, Δ АВД = Δ СВД (по СУС). 2) В равных треугольниках соответствующие элементы равны:

а) АД = ДС, значит ВД – медиана ( по определению),

б) ∟ АДВ = ∟СДВ = 180⁰: 2 = 90⁰ ( так как они смежные ), значит ВД | АС и ВД – высота ( по определению)

Вывод.

Следствия из аксиомы параллельных прямых

Т1

_______________а Дано: а || в, с ∩ в = М

Доказать: с ∩ а

____М___________в

с

Доказательство (методом от противного):

1) Предположим, что с ∩ а, тогда с || а (по определению), в || а (по условию).

2) Получили, что через точку М проходит две прямых: с и в, обе || а.

3) Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит предположение, что с ∩ а неверно. Тогда с ∩ а. Вывод.

Т 2

______________ а Дано: а || с, в || с

______________ в Доказать: а || в

______________с

Доказательство (методом от противного):

1) Предположим, что а || в, тогда а ∩ в = М. ______________а

2) Получили, что через точку М проходит две прямых: а и в, обе || с.

3) Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит ______________с

предположение, что а || в неверно. Тогда а || в. Вывод.

Т Сумма углов в треугольнике.

_____________В____а Дано: Δ АВС, обозначим: ∟ А = ∟1, ∟В = ∟2, ∟С = ∟3.

Доказать: ∟1 + ∟2 + ∟3 = 180⁰

А С

Доказательство: 1) Дополнительное построение: через точку В проведем прямую а || АС,

обозначим ∟4 и ∟5.

2) ∟4 + ∟2 + ∟5 = 180⁰, так как они образуют развернутый угол.

3) ∟4 = ∟1, так как это накрест лежащие углы для а || АС и секущей АВ (по свойству)

∟5 = ∟3, так как это накрест лежащие углы для а || АС и секущей ВС (по свойству)

Значит ∟4 + ∟2 + ∟5 = ∟1 + ∟2 + ∟3 = 180⁰. Вывод: ∟А + ∟В + ∟С = 180⁰.

Т Свойство внешнего угла треугольника.

В Дано: Δ АВС, ∟ВСД - внешний

обозначим: ∟ А = ∟1, ∟В = ∟2, ∟АСВ = ∟3, ∟ВСД =4.

Доказать: ∟ВСД = ∟А + ∟В

___________________________

А С Д Доказательство:

1. ∟4 + ∟3 = 180⁰ (смежные), значит ∟4 = 180⁰ - ∟3

2. ∟1 + ∟2 + ∟3 = 180⁰ (по Т о сумме углов в треугольнике), значит ∟1 + ∟2 = 180⁰ - ∟3

3. Если в равенствах правые части одинаковые, то и левые части равны: ∟4 = ∟1 + ∟2 .

Вывод: ∟ВСД = ∟А + ∟В

Т Свойство прямоугольного треугольника с углом 30⁰.

В

Дано: Δ АВС, ∟С = 90⁰, ∟В = 30⁰.

Доказать: АС = ½ АВ

А Д Доказательство:

С

1. ∟А + ∟В = 90⁰ (по свойству прямоугольного Δ), значит ∟А = 90⁰ - ∟В = 90⁰ – 30⁰ = 60⁰

2. Д. п.: приложим к Δ АВС ΔВСД = ΔВСА.

3. В равных треугольниках соответственные элементы равны, значит ∟Д = ∟А = 60⁰, ∟ДВС = ∟АВС = 30⁰. Тогда ∟АВД = 30⁰ + 30⁰ = 60⁰ .

4. Следовательно ΔАВД – равносторонний, значит АВ = ВД = АД (по определению)

АС = СД = ½ АД, но АД = АВ, значит АС = ½ АВ.

(соответст) Вывод.

Т Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому

углу.

А А1Дано: Δ АВС, ΔА1В1С1, ∟С = 90⁰, ∟С1 = 90⁰

АВ = А1В1, ∟А = ∟А1

С В С1 В1Доказать: Δ АВС = Δ А1В1С1

Доказательство:

1. Сумма острых углов в любом треугольнике равна 90⁰, значит

∟А + ∟В = 90⁰, следовательно ∟В = 90⁰ - ∟А

∟А1 + ∟В1 = 90⁰, следовательно ∟В1 = 90⁰ - ∟А1

Если в двух равенствах правые части равны, то и левые части равны, значит ∟В = ∟В1

2. Тогда Δ АВС = Δ А1В1С1 (по УСУ). Вывод.