Открытый урок по алгебре и началам анализа в 10 классе
Нахождение функции, обратной данной, заданной аналитически.
Богданов А. И.
Г. Санкт-Петербург
2014--2015 [pic] учебный год
Тема урока: «Нахождение функции обратной данной, заданной аналитически».
Цели урока:
Обучающие: вырабатывать навык нахождения обратных функций
а) для линейных функций (I уровень);
б) дробно-линейных функций (II уровень);
в) функций вида [pic] [pic] (II уровень);
г) функция вида [pic] (III уровень);
д) квадратичной функции на промежутке её возрастания или убывания (III уровень).
Решение уравнений вида [pic] где [pic] и [pic] возрастающие, взаимообратные функции.
Развивающие цели:
а) развивать умение кратко, логично, последовательно излагать свои мысли, развивать способность аргументировать свои утверждения;
б) развивать творческие способности учащихся: беглость мышления, умения классифицировать, сравнивать, анализировать и т.д.
Воспитательные цели:
а) воспитывать трудолюбие, умение доводить начатое дело до конца, целеустремлённость, воспитывать умение правильно оценивать свои возможности, результаты своей деятельности, развивать умение общаться с окружающими.
Ход урока:
Проверка домашнего задания (10 минут)
№ 531 (г) (I уровень – записать на доске)
[pic] [pic] [pic]
[pic]
Пусть [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Заменим x на y, а y на х, получим
[pic]
Ответ: [pic]
№ 532 (в) (II уровень – записать на доске)
[pic] [pic]
[pic]
Пусть [pic] у – параметр
[pic]
[pic]
Заменим х на у, а у на х, получим
[pic]
Ответ: [pic] [pic]
(III уровень, спросить к доске)
[pic]
Пусть [pic]
[pic]
Заменим х на у, а у на х
[pic] если [pic]
Ответ: [pic]
II. Работа в парах.
1. Какая функция называется обратимой?
2. Верно ли, что всякая линейная функция обратима?
3. Может ли нечётная функция быть обратимой?
4. Может ли функция, имеющая экстремум быть обратимой?
5. Сформулируйте достаточное условие обратимости функции.
6. Какие функции являются обратимыми на своей области определения?
[pic] [pic] [pic]
7. Найдите область определения и область значения функции:
[pic] [pic]
Подведение итогов.
Ребята! Обратите внимание, как важна роль теории при выполнении этих упражнений: нужно знать свойства возрастающих и убывающих функций, знать свойства линейной, квадратичной, обратно-пропорциональной, дробно-линейной функции, знать область определения и область значения данных функций.
III. Изучение нового материала.
Найти функцию, обратную данной.
[pic] при [pic] (самостоятельно)
Затем коллективное обсуждение решения.
[pic] при [pic]
[pic]
[pic] квадратичная функция, её ветви направлены вверх, т.к. а=1, [pic]
[pic]
При [pic] [pic] [pic] возрастает, следовательно, имеет обратную функцию.
Выразим х через у.
[pic]
[pic]
Т.к. [pic] ,то [pic] , следовательно, уравнение [pic] имеет 2 корня.
[pic] или [pic]
Условию [pic] удовлетворяет уравнение [pic]
Заменим х на у, а у на х, получим
[pic] или [pic]
Ответ: [pic]
IV. Подведение итогов урока (таблицы).
Мы познакомились с понятием обратной функции и понятием взаимно обратных функций.
Примеры взаимно обратных функций
[pic] [pic]
[pic]
Если n-чётное, то при [pic] , при [pic] .
Если n-нечётное, то [pic]
Примеры из физики и геометрии.
а) S = а2, а – сторона квадрата, S – его площадь.
[pic] ;
б) V = a3, а – длина ребра куба, V – его объём
[pic] ;
в) [pic] S –площадь круга, R – длина его радиуса
[pic]
г) V(t) = at +V0
[pic] , где а – ускорение, t – время, V(t) – скорость при равноускорённом прямолинейном движении.
Мы продолжим изучение взаимно обратных функций, в 10 классе мы познакомимся с обратными тригонометрическими функциями, в 11 классе изучим показательную и логарифмическую функции.
VI. Задание на дом:
№ 535 (г) (II уровень)
[pic] при [pic]
Решить уравнение:
[pic] (III уровень).
VII. Выборочное выполнение заданий (самостоятельная работа на оценку).
I вариант
1. Найти функцию, обратную данной
а) [pic] (Iуровень)
б) [pic] (II уровень)
в) [pic] (II уровень)
г) [pic] (II уровень)
д) [pic] (III уровень)
е) [pic] при [pic] (III уровень)
2. Решить уравнение:
[pic]
II вариант
1. Найти функцию, обратную данной
а) [pic] (I уровень)
б) [pic] (II уровень)
в) [pic] (II уровень)
г) [pic] (II уровень)
д) [pic] (III уровень)
е) [pic] при [pic] ( III уровень)
2. Решить уравнение:
[pic] (III уровень)
