Конспект уроков Числовая окружность на координатной плоскости

Название предмета Алгебра и начала математического анализа

Класс 10

УМК Алгебра и начала математического анализа, 10-11 классы. В 2 . Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений(базовый уровень) /А.Г. Мордкович. – 10-еизд., стер.- М.: Мнемозина,2012. Ч.2. Задачник для общеобразовательных учреждений(базовый уровень) /[А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-еизд., стер.- М.: Мнемозина,2012.

Уровень обучения. Базовый

Тема урока Числовая окружность на координатной плоскости (3 часа)

Урок №1

Цели: ввести понятие модели числовой окружности в декартовой и криволинейной системе координат.

Задачи: формировать умение находить декартовы координаты точек числовой окружности и выполнять обратное действие: зная декартовы координаты точки, определять её числовое значение на числовой окружности.

Развивать вычислительные навыки, правильную математическую речь, логическое мышление учащихся.

Прививать самостоятельность, внимание и аккуратность. Воспитывать ответственное отношение к обучению.

Планируемые результаты:

Знать, понимать: - числовая окружность.

Уметь: - находить на окружности точки по заданным координатам; - находить координаты точки, расположенной на числовой окружности.

Уметь применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы.

Техническое обеспечение урока Компьютер, экран, проектор, учебник, задачник.

Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: Мордкович А. Г. М79 Алгебра и начала математического анализа. 10— 11 классы (базовый уровень) : методическое пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — М. : Мнемози- на, 2010. — 202 с. : ил

Ход урока

Организационный момент.

Психологический настрой учащихся.

Проверка домашнего задания 1. № 4.17 (в; г), № 4.18 (в; г), № 4.19 (в; г), № 4.20 (в; г).

Разобрать решение заданий вызвавших затруднение.

II. Устная работа.

(На слайде)

1. Назовите координаты точек плоскости:

[pic]

2. Назовите число, соответствующее заданной точке на числовой окружности.

[pic]

III. Объяснение нового материала.

1. Объяснение проводить согласно пункту учебника. Разместив числовую окружность в декартовой системе координат, следует подробно разобрать свойства точек числовой окружности, находящихся в различных координатных четвертях. Дело в том, что, изучая данную модель, учащиеся сталкиваются с определенными трудностями. Им необходимо учиться работать одновременно в двух системах координат – криволинейной и декартовой.

Для преодоления этой трудности авторы учебника применяют следующий методический прием: для точки М числовой окружности используют запись М(t), если речь идет о криволинейной координате точки М, или запись М (х; у), если речь идет о декартовых координатах точки.

(Мордкович А. Г. М79 Алгебра и начала математического анализа. 10— 11 классы (базовый уровень) : методическое пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — М. : Мнемози- на, 2010. — 202 с. : ил.)

2. Проводим 7-ю методическую «игру» – отыскание декартовых координат «хороших» точек числовой окружности. Речь идет о переходе от записи М(t) к М (х; у).

Можно организовать работу в парах с последующей самопроверкой (верные ответы в таблице 1 со с. 38 учебника).

3. Проводим 8-ю методическую «игру» – отыскание знаков координат «плохих» точек числовой окружности. Если, например, М(2) = М (х; у), то х 0; у  0. В процессе этой «игры» школьники фактически учатся определять знаки тригонометрических функций по четвертям числовой окружности.

Динамическая пауза

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 5.1 (а; б), № 5.2 (а; б), № 5.3 (а; б).

Данная группа заданий направлена на формирование умения отыскивать декартовы координаты «хороших» точек на числовой окружности.

Решение:

№ 5.1 (а).

[pic]

2. № 5.4 (а; б), № 5.5 (а; б).

Эта группа заданий направлена на формирование умений находить криволинейные координаты точки по её декартовым координатам.

Решение:

№ 5.5 (б).

[pic]

3. № 5.10 (а; б).

Данное упражнение направлено на формирование умения находить декартовы координаты «плохих» точек.

V. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Что собой представляет модель – числовая окружность на координатной плоскости?

– Как, зная криволинейные координаты точки на числовой окружности, найти её декартовы координаты и наоборот?

Домашнее задание: , стр. 36. № 5.1 (в; г) – 5.5 (в; г), № 5.10 (в; г).

Урок №2

Цель: закрепить понятие модели числовой окружности в декартовой и криволинейной системе координат

Задачи: продолжить формирование умения переходить от криволинейных координат точки на числовой окружности к декартовым координатам; формировать умение отыскивать на числовой окружности точки, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению или неравенству.

Развивать вычислительные навыки, правильную математическую речь, логическое мышление учащихся.

Прививать самостоятельность, внимание и аккуратность. Воспитывать ответственное отношение к обучению.

Планируемые результаты:

Знать, понимать: - числовая окружность.

Уметь применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы.

Техническое обеспечение урока Компьютер, экран, проектор, учебник, задачник.

Ход урока

Организационный момент.

Психологический настрой учащихся.
Проверка домашнего задания № 5.1 (в; г) – 5.5 (в; г), № 5.10 (в; г).

Разобрать решение заданий вызвавших затруднение.

Устная работа.

(на слайде)

1. Назовите криволинейные и декартовы координаты точек на числовой окружности.

[pic]

2. Сопоставьте дугу на окружности и её аналитическую запись.

[pic]

III. Объяснение нового материала.

1. На этом уроке учащиеся, по замыслу авторов учебника, отрабатывают две последние дидактические «игры», связанные с изучаемой моделью.

2. 9-я «игра» – отыскание на числовой окружности точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.

Рассматриваем примеры 2 и 3 со с. 41–42 учебника.

Важность этой «игры» очевидна: учащиеся готовятся к решению простейших тригонометрических уравнений вида [pic] Для понимания сути дела следует прежде всего научить школьников решать эти уравнения с помощью числовой окружности, не переходя к готовым формулам.

При рассмотрении примера на нахождение точки с абсциссой [pic] обращаем внимание учащихся на возможность объединения ддвух серий ответов в одну формулу:

[pic]

3. 10-я «игра» – отыскание на числовой окружности точек, координаты которых удовлетворяют заданному неравенству.

Рассматриваем примеры 4–7 со с. 43–44 учебника. Решая подобные задачи, мы готовим учащихся к решению тригонометрических неравенств вида [pic]

После рассмотрения примеров учащиеся могут самостоятельно сформулировать алгоритм решения неравенств указанного типа:

1) от аналитической модели [pic] переходим к геометрической модели – дуга МР числовой окружности;

2) составляем ядро аналитической записи МР; для дуги получаем

[pic]

3) составляем общую запись:

[pic]

Динамическая пауза

IV. Формирование умений и навыков.

Работа в группах

1-я группа. Нахождение точки на числовой окружности с координатой, удовлетворяющей заданному уравнению.

№ 5.6 (а; б) – № 5.9 (а; б).

В процессе работы над этими упражнениями отрабатываем пошаговость выполнения: запись ядра точки, аналитической записи.

2-я группа. Нахождение точек на числовой окружности с координатой, удовлетворяющей заданному неравенству.

№ 5.11 (а; б) – 5.14 (а;б).

Главное умение, которое должны приобрести школьники при выполнении данных упражнений, – это составление ядра аналитической записи дуги.

V. Самостоятельная работа.

Вариант 1

1. Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу, и найдите её декартовы координаты:

[pic]

2. Найдите на числовой окружности точки с данной абсциссой [pic] и запишите, каким числам t они соответствуют.

3. Обозначьте на числовой окружности точки с ординатой, удовлетворяющей неравенству [pic] и запишите при помощи двойного неравенства, каким числам t они соответствуют.

Вариант 2

1. Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует данному числу, и найдите её декартовы координаты:

[pic]

2. Найдите на числовой окружности точки с данной ординатой у = 0,5 и запишите, каким числам t они соответствуют.

3. Обозначьте на числовой окружности точки с абсциссой, удовлетворяющей неравенству [pic] и запишите при помощи двойного неравенства, каким числам t они соответствуют.

VI. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Как найти на окружности точку, абсцисса которой удовлетворяет заданному уравнению?

– Как найти на окружности точку, ордината которой удовлетворяет заданному уравнению?

– Назовите алгоритм решения неравенств с помощью числовой окружности.

Домашнее задание: , стр. 36. № 5.6 (в; г) – № 5.9 (в; г),

№ 5.11 (в; г) – № 5.14 (в; г).

Урок №3

Цели: ввести понятие модели числовой окружности в декартовой и криволинейной системе координат.

Задачи: проверить степень усвоения ранее изученного материала,

актуализировать знания учащихся, необходимые при изучении новой темы.

Развивать вычислительные навыки, правильную математическую речь, логическое мышление учащихся.

Прививать самостоятельность, внимание и аккуратность. Воспитывать ответственное отношение к обучению.

Планируемые результаты:

Знать, понимать: - числовая окружность.

Уметь применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы.

Техническое обеспечение урока Компьютер, экран, проектор, учебник, задачник.

Ход урока

Организационный момент.

Приветствие учеников, поверка отсутствующих Психологический настрой учащихся.
Проверка домашнего задания № 5.6 (в; г) – № 5.9 (в; г), № 5.11 (в; г) – № 5.14 (в; г).

Разобрать решение заданий вызвавших затруднение.

II. Фронтальный опрос по теме:

1. 1. Дайте определение числовой окружности
  2. Сколько четвертей имеем в единичной окружности?
    Как они называются?
  3. Определите знаки в каждой из четверти.

Проверочная работа

После выполнения заданий, учащиеся сдают листочки, а затем вместе с учителем проверяют правильные ответы.

Постройте геометрическую модель дуги числовой окружности, все точки которой удовлетворяют неравенству .

Найдите множество чисел, которым соответствуют отмеченные на числовой окружности точки

Вариант №2

Найдите на числовой окружности точки, которые соответствуют данным числам: .

Постройте геометрическую модель дуги числовой окружности, все точки которой удовлетворяют неравенству .

Найдите множество чисел, которым соответствуют отмеченные на числовой окружности точки

Вариант №3

Найдите на числовой окружности точки, которые соответствуют данным числам: .

Постройте геометрическую модель дуги числовой окружности, все точки которой удовлетворяют неравенству .

Найдите множество чисел, которым соответствуют отмеченные на числовой окружности точки

Вариант №4

Найдите на числовой окружности точки, которые соответствуют данным числам: .

Постройте геометрическую модель дуги числовой окружности, все точки которой удовлетворяют неравенству .

Найдите множество чисел, которым соответствуют отмеченные на числовой окружности точки

Динамическая пауза

IV. Обобщение материала

1. Рассмотреть числовую окружность в декартовой системе координат.

2. Составить таблицу координат чисел числовой окружности для первого макета.

3. Составить таблицу координат чисел числовой окружности для второго макета.

У каждого из вас в тетради есть три макета числовой окружности. Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты. Найдём сначала координаты тех точек координатной плоскости, которые получены на макетах числовой окружности.

[pic]

На первом макете возьмем точку M(π/4) середина I четверти. Опустим перпендикуляр MP на прямую OA и рассмотрим треугольник OMP. Так как дуга AM составляет половину дуги AB, то ∡MOP=45°. Значит, треугольник OMP - равнобедренный прямоугольный треугольник и OP=MP, т.е. у точки M абсцисса и ордината равны: x=y. Так как координаты точки M(x;y) удовлетворяют уравнению числовой окружности x²+y²=1, то для их нахождения нужно решить систему уравнений:

Подставив x вместо y в первое уравнение системы, получим следующее решение:

При решении учитываем, что абсцисса точки M положительна.

Получили, что координаты точки M, соответствующей числу π/4 будут M(π/4)=M(2√2;2√2)

Аналогично можно получить координаты и других точек первого макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.

Полученные результаты запишем в таблицу:

[pic]

Перейдем на второй макет. Рассуждаем аналогично для точки M, если теперь она соответствует числу π/6

Треугольник MOP прямоугольный. Так как дуга AM составляет третью часть дуги AB, то ∡MOP=30°.

Катет MP лежит против угла 30 градусов в прямоугольном треугольнике, значит, равен половине гипотенузы, т.е. ордината точки M равна

MP=1/2 y=1/2

Абсциссу x точки M найдём, решив уравнение:

При решении учитываем, что абсцисса точки M положительна.

Получили, что координаты точки M, соответствующей числу π/6 будут M(π/6)=M(3√2;1/2)

Аналогично можно получить координаты и других точек второго макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.

На третьем макете возьмем угол в 60⁰или π/3. Треугольник OKF прямоугольный. Так как дуга AK составляет третью часть дуги AB, то ∡KOF=60°, а ∡OKF=30°,

Катет OF лежит против угла 30 градусов в прямоугольном треугольнике, значит, равен половине гипотенузы, т.е. абсцисса точки F равна

OF=1/2 x=1/2

Ординату y точки K найдём, решив уравнение:

При решении учитываем, что ордината точки K положительна.

Получили, что координаты точки K, соответствующей числу π/3 будут K(π/3)=F(1/2, 3√2) . Полученные данные занесем в таблицу:

[pic]

V. Подведение итогов урока, постановка домашнего задания, рефлексия.

Понятие числовой окружности вы изучали для того чтобы перейти к изучению таких важных с точки зрения математики и геометрии понятий как синус, косинус, тангенс и котангенс.

Вопросы учащимся:

Итак, что мы сегодня узнали на уроке нового?

Домашнее задание: , стр. 36. № 5.8, № 5.13 (в,г)