ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Лекция 2 . ПРОИЗВОДНАЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Производная функции, ее геометрический, физический
Определение. Производной функции в точке называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента , если , (если этот предел существует) и обозначают: , , , , т.е.
.
Геометрический смысл производной функции : производная есть угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона), проведенной к графику функции в точке с абсциссой .
- уравнение касательной в точке .
Механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент .
Определение. Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно часть приращения функции и обозначается , т.е.
. (2.1)
Так как для функции дифференциал функции равен , т.е. , то формула для вычисления дифференциала запишется
.
Таблица производных.
- Правила дифференцирования:
;
;
, ;
;
Табличные значения
1) , .
(
2),–независимая переменная.
;
;
; .
;
.
)
; .
;
;
;
.
;
;
(10.40)
;
.
Теорема 5. Если функция и , - дифференцируемые функции, то производная сложной функции существует и равна производной внешней функции по промежуточному аргументу умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной, т.е..
Пример 5. Найти производные следующих функций: ;
Решение:
Лекция 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВ0ДНЫХ
3.1. Возрастание и убывание функций
Напомним, что функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если для любых и связанных соотношением справедливо неравенство .
Теорема 1 (достаточные условия возрастания (убывания) функции) Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает (убывает) на этом промежутке.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности . Выберем два произвольных значения и связанных соотношением . Докажем, что .
Для функции на отрезке выполняются все условия теоремы Лагранжа, поэтому
, (2.1)
где , т. е. на котором . Из этого следует, что и правая часть равенства (2.1) положительна, а это значит, что и , что требовалось доказать.
Аналогично доказывается теорема в случае на Х.
Справедливо и обратное утверждение: если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке Х, то её производная неотрицательна (неположительна ) на этом промежутке.
Пример 1. Найти интервалы монотонности функции .
Решение. Вычислим производную . Решения неравенства т. е. дает интервал возрастания функции: , т. е. . Решения неравенства , т. е. дает интервал убывания функции: , т. е. . Точка – абсцисса вершины параболы.
3.2. Экстремум функции
Точки экстремума функции относятся к очень важным, «узловым» точкам графика функции, знание которых определяет структуру графика.
Определение. Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая проколотая окрестность точки , что для выполняется неравенство (рис. 3.1, 3.2)
Точки максимума и минимума функции объединяются одним общим названием экстремумы функции. Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремума связано лишь с .
Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Если функция имеет экстремум в точке , то , если она дифференцируема в этой точке или не существует.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если функция имеет экстремум в точке и дифференцируема в этой точке, то в некоторой окрестности этой точки выполнены условия теоремы Ферма и, следовательно, производная функции в этой точке равна нулю, т. е. (рис.3.3).
Но функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема. Например, (рис.3.4) функция имеем экстремум (минимум) в точке , но не дифференцируема в ней.
Точки, в которых выполняются необходимые условия экстремума (т. е. в которых или не существует), называется критическими (стационарными) точками. Обращаем внимание на то, что эти точки должны входить в область определения функции.
Таким образом, если в некоторой точке функция имеет экстремум, то эта точка критическая. Обратное утверждение неверно, т. е. если точка – критическая точка функции, то она может и не быть точкой локального экстремума. Например, если , то при , т. е. точка является критической. Но тем не менее в точке функция не имеет локального экстремума (см. рис.3.5.). Поэтому критические точки называют точками возможного экстремума, а условие является лишь необходимым. Установим достаточные условия существования экстремума.
Теорема 3 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция дифференцируема в и её критическая точка. Тогда если при переходе аргумента через точку производная меняет знак с плюса на минус, то точка есть точкой локального максимума функции , если с минуса на плюс – точкой локального минимума, если при переходе через точку знак производной не меняется, то в точке локального экстремума нет.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим для определенности, что при переходе через точку знак меняется с плюса на минус. Это значит, что существует такая, что для и для . Тогда в соответствии с достаточным условием монотонности функция возрастает на интервале и убывает на интервале (см. рис.3.6).
По определению возрастающей функции при всех , а по определению убывающей функции при всех , т. е. при всех , а это значит, что – точка максимума функции .
Аналогично рассматривается случай, когда производная при переходе через критическую точку меняет знак с минуса на плюс. Теорема доказана.
Пример 2. Найти экстремумы функции .
Решение. 1) находим Д(у) и вычисляем производную .
Областью определения функции является множество R, т. к. все операции, при помощи которых эта функция составлена, выполнимы в R.
2) Находим критические точки функции, те в которых производная или не существует.
не или
3) Наносим критические точки на числовую прямую (рис.14.7) с учетом области определения (наносим точки не существования, если они есть) и получаем интервалы знакопостоянства производной. Для определения знака производной в каждом из построенных интервалов его достаточно установить в любой удобной для вычислений промежуточной точке каждого интервала
,
4) Тогда согласно достаточному условию экстремума точки и являются точками локального минимума, а – локального максимума. Вычисляем значение функции в точках экстремума
.
Пример 3. Найти экстремумы функции .
Решение. 1) Область определения - вся числовая прямая.
2) Точек не существования производных нет.
3)
4) Так как положительна и слева и справа от точки , т. е. при переходе через эту точку знак не изменяется на противоположный, то исследуемая функция не имеет точек экстремума (рис.3.8).
Замечание. Выполнение первых трех пунктов алгоритма, рассмотренного в примере 1, дает интервалы монотонности функции. Те интервалы, в которых будут интервалами возрастания функции , в которых – интервалами убывания. В примере 1 – интервалы возрастания, – интервалы убывания.
Теорема 4 (второе достаточное условие экстремума). Если первая производная дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке , а вторая производная в этой точке положительна, то есть точка минимума функции ; если отрицательна, то – точка максимума.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , а . Это значит, что и в некоторой окрестности точки , т. е. возрастает на некотором интервале (a, b), содержащем точку .
Но , следовательно, на интервале , а на интервале , т. е. при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс, т. е. – точка минимума.
Аналогично рассматривается случай и .
Пример 4. Найти экстремумы функции , используя второе достаточное условие экстремума.
Решение. 1)
2) Находим критические точки функции:
или ;
точек не существования производной нет.
3) Вычисляем вторую производную и определяем знак второй производной в каждой критической точке
;
, следовательно, в точке – локальный максимум;
, следовательно, в точке – локальный минимум.
4) Вычисляем значение функции в точках экстремума
.
Второе достаточное условие экстремума утверждает, что если в критической точке , то в этой точке имеется экстремум. Обратное утверждение к этому неверно. Экстремум в критической точке может быть и при равенстве в ней нулю второй производной.
Рассмотрим, например, функцию. Имеем. В критической точке вторая производная также равна нулю. Но – точка локального минимума функции. Из этого следует, что в отличии от первого второе достаточное условие является только достаточным, но необходимым. Поэтому, если в критической точке , то необходимо использовать первое достаточное условие.
3.3. Наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке [a, b]
Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений (абсолютного максимума и абсолютного минимума) непрерывной на отрезке [a, b] функции основан на следующих рассуждениях. Известно, что непрерывная на отрезке [a, b] функция достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться либо на концах отрезка [a, b], либо в одной из критических точек, попадающих в интервал (a, b) (см. рис.3.9-3.11). Действительно, по определению точки локального экстремума являются внутренними точками отрезка [a, b] и находятся среди критических точек функции , попавших в интервал (a, b). Вместе с тем, если точка абсолютного экстремума является внутренней точкой отрезка [a, b], то она также является и точкой локального экстремума. Поэтому точку абсолютного экстремума следует искать среди критических точек интервала (a, b) и граничных точек a и b.
Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a, b] можно пользоваться схемой:
Вычисляем производную .
Находим критические точки функции (в которых или не существует) и выбираем те из них, которые попадают в интервал (a, b).
Вычисляем значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка и выбираем из них наибольшее и наименьшее .
Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 2].
Решение. 1) . 2) . Точка не принадлежит интервалу (0; 2), а входит в интервал. Точек несуществования производной нет. 3) . Из этих трех значений функции выбираем наибольше и наименьшее: .
УПРАЖНЕНИЯ
Найти интервалы монотонности функций:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
Найти экстремумы функций:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
Найти наибольшее и наименьшее значения данных функций на заданных отрезках:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
Лекция 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
9.1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения первого порядка
В приложениях математики к техническим, экономическим и естественным наукам особое место занимают дифференциальные уравнения. Многие процессы с их помощью описываются полнее и проще. С помощью дифференциальных уравнений можно строить математические модели многих финансово-экономических процессов.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее неизвестную функцию, независимые переменные и производные (или дифференциалы) от неизвестной функции по этим переменным. Так, например, , , – дифференциальные уравнения.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящих в это уравнение. Так в приведенных примерах первое дифференциальное уравнение первого порядка, второе – второго порядка, а уравнение – четвертого порядка.
В общем случае дифференциальное уравнение -го порядка записывают в виде
, (9.1)
где F – некоторая заданная функция от переменных или в виде разрешенном относительно старшей производной,
(9.2)
здесь – заданная функция от переменной.
Решением дифференциального уравнения -го порядка на интервале называется функция , определенная на вместе со своими производными до -го порядка включительно и такая, что ее подстановка в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по на . Проинтегрировать дифференциальное уравнение – значит найти все решения, удовлетворяющие этому уравнению.
Общим решением дифференциального уравнения (9.1) называется решение
(9.3)
содержащее столько произвольных постоянных , каков порядок уравнения. Эта же функция, записанная в неявном виде
(9.4)
называется общим интегралом дифференциального уравнения (9.1).
Частным называется решение, получаемое из общего решения (9.3) при определенном выборе значений произвольных постоянных .
9.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности
В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано в виде
, (9.5)
или в виде разрешенном относительно производной
, (9.6)
или в симметричной форме
, (9.7)
где – заданные функции своих аргументов.
Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение вида
, (9.10)
в котором и – коэффициенты при и – являются непрерывными функциями зависящими, соответственно, только от и только от , называются уравнениями с разделенными переменными. Общий интеграл уравнения находим почленным интегрированием
. (9.11)
Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее заданным начальным условиям .
Решение. Интегрируя уравнение почленно, получаем общий интеграл уравнения
.
Полагая в последнем равенстве находим :
Частный интеграл принимает вид
или .
Задачей Коши для дифференциального уравнения (9.6) называется задача нахождения частного решения этого уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям
, (9.8)
где – заданные числа.
Пример 3. Найти решения дифференциального уравнения
.
Решение. Так как , то, подставляя в уравнение и умножая на , получаем
.
Это уравнение с разделяющимися переменными вида (9.12), поэтому делим каждый член уравнения на произведение функций, «мешающих» интегрированию по и по соответственно, т.е. на . При этом мы полагаем, что и . Получаем
.
Интегрируя, получаем: – общее решение.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
(11.10)
в котором – заданная непрерывная в рассматриваемой области функция. Если то уравнение
(11.11)
называют линейным однородным дифференциальным уравнением, а в случае уравнение (11.10) называют линейным неоднородным уравнением 2-го порядка.
Пусть и – два ненулевые решения уравнения (11.11).
Два решения и уравнения (11.11) называются линейно зависимыми на , если существуют постоянные и , не обращающиеся одновременно в нуль и такие, что при любом справедливо тождество
. (11.12)
Если же тождество (11.12) справедливо только при , то решения и называются линейно независимыми.
О линейной зависимости решений можно судить по определителю
(11.13)
составленному из функций и их производных, который называют определителем Вронского (вронскианом). Справедливо следующее утверждение (без доказательства).
Теорема 1. Если решения и уравнения (11.11) линейно независимы на , то не обращается в нуль ни в одной точке из .
Пример 4. Установить линейную зависимость или независимость следующих решений и уравнения (11.11)
а) , где ;
Составим вронскиан и вычислим его:
,
так как . Следовательно, решения и линейно независимые. Очевидно, если , то функции будут линейно зависимые, т.к. в этом случае .
б) ;
Составляем вронскиан
W ,
т.е. решения линейно независимы.
в) ;
Вычисляем
W
для всех . Следовательно, и линейно независимы.
г) ;
Находим
W
для всех . Значит решения и линейно независимы.
Рассмотрим без доказательства теорему о виде общего решения линейного однородного уравнения (11.11).
Теорема 2. Если и – два линейно независимых решения уравнения (11.11), то функция
, (11.14)
где и – произвольные постоянные, является общим решением уравнения (11.11), т.е. дает все решения этого уравнения.
Используя эту теорему, построим общее решение уравнения (11.11). Для этого достаточно найти его два линейно независимых частных решения. Будем искать решения в виде Эйлера , где – некоторое пока неизвестное число. Подставляем это решение в уравнение (11.11), предварительно вычислив
,
получаем
.
Так как , то для нахождения получаем характеристическое уравнение
. (11.15)
Уравнение (11.15) является квадратным уравнением, находим его корни по формуле
. (11.16)
В зависимости от характера корней уравнения (11.16) получаются различные общие решения уравнения (11.11). Рассмотрим различные случаи.
1. Корни действительные и различные (). В этом случае частными решениями уравнения (11.11) будут . Как было показано в примере 4а) эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (11.11) имеет вид
. (11.17)
2. Корни действительные и равные . В этом случае одно частное решение имеет вид . В качестве другого решения можно взять . Непосредственной подстановкой в (11.11) можно убедиться, что эта функция является решением исходного уравнения. Как было показано в примере 4б), решения и линейно независимые и согласно теореме 2 общее решение уравнения (11.11) имеет вид
. (11.18)
3. Корни комплексные , где – мнимая часть комплексного числа, . Легко проверить, что в этом случае линейно независимыми решениями уравнения (11.11) являются частные решения (см. пр. 4г)). Следовательно, общее решение уравнения (11.11) имеет вид
. (11.19)
Таким образом, решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (11.11) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (11.15), которое легко составить непосредственно по уравнению (11.11), заменив в последнем производные соответствующими степенями показателя .
Пример 5. Решить уравнения
а) .
Решение. Это – линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Записываем соответствующее характеристическое уравнение и находим его корни – действительные и различные. В силу формулы (11.17) его общее решение записывается в виде
.
б) .
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни – действительные и равные. По формуле (11.18) находим общее решение исходного уравнения
.
в) .
Решение. Составим характеристическое уравнение . По формуле (11.16) находим его корни , т.е.. Используя формулу (11.19), получим общее решение исходного уравнения
.
Линейные однородные дифференциальные уравнения более высоких порядков решаются аналогично.
УПРАЖНЕНИЯ
Решить линейные однородные уравнения
1. , Отв. .
2. , Отв..
3. , Отв. .
4. , Отв. .
5. , Отв. .
11
