Содержание
Глава 1 «Методы оценки ошибок вычислений»
Лабораторная работа №1
Тема: «Методы оценки погрешностей»
Задание 1. Число x, все цифры которого верны в строгом смысле, округлить до трех значащих цифр. Для полученного числа найдите предельную абсолютную и предельную относительную погрешности. В записи числа укажите количество верных цифр (в строгом и широком смысле).
Задание 2. Вычислите с помощью МК значение величины при заданных значениях параметров , используя «ручные» расчетные таблицы для пошаговой регистрации результатов вычислений, тремя способами:
по правилам подсчета цифр;
с систематическим учетом границ абсолютных погрешностей;
по способу границ.
Сравните полученные результаты между собой, прокомментируйте различие методов вычислений и смысл полученных числовых значений.
Задание 3. Вычислите значение величины при заданных значениях параметров , используя один из инструментальных пакетов, с пошаговой и итоговой регистрацией результатов вычислений двумя способами:
по методу строго учета границ абсолютных погрешностей;
по методу границ.
Задание 4. Составьте программы и вычислите на ЭВМ значения величины при заданных значениях с пошаговой и итоговой регистрацией результатов двумя способами:
по методу строго учета границ абсолютных погрешностей;
по методу границ.
Результаты, полученные в заданиях 3 и 4 разными способами, сопоставьте между собой и сравните с ответами, полученными при выполнении задания 2.
Пояснения к выполнению лабораторной работы №1
Исходные данные для выполнения всех заданий содержаться в табл. 1.7 (числа - приближенные, в их записи все цифры верны в строгом смысле, коэффициенты – точные числа).
Для выполнения заданий необходимо изучить материал гл. 1 «Методы оценки ошибок вычислений» учебника «Численные методы» под ред. М.П. Лапчика, подробно разобрав все приведенные в тексте примеры (лучше всего при этом иметь под руками МК, а также компьютер хотя бы с одним из инструментальных средств: Excel, MathCad, Maple и др.).
Для выполнения задания 1 требуется владение основными определениями и понятиями теории приближенных вычислений (см. подразд. 1.3 и 1.4).
При выполнении задания 2 составляются «ручные» расчетные таблицы, аналогичные табл. 1.4 – 1.6 (см. подразд. 1.9).
Для выполнения задания 3 требуется владение по крайней мере одним из инструментальных программных средств. При этом тщательно разобрать примеры, рассмотренные в подразд. 1.9 и 1.11.
При выполнении задания 4 составляются программы для ЭВМ с использованием процедур и функций, приведенных в примерах гл.1. Примеры аналогичных программ имеются в подразд. 1.9.
Поскольку при выполнении заданий 2,3 и 4 используется одна и та же расчетная формула, в результате выполнения лабораторной работы необходимо сделать обоснованный вывод о целесообразности и эффективности использования тех или иных методов и средств вычислений.
Таблица 1.7
x
z
a
b
c
1
2,3143
3,4
6,22
0,149
2
0,012147
4,05
6,723
0,03254
3
0,86138
0,7219
135,347
0,013
4
0,1385
3,672
4,63
0,0278
5
23,394
1,24734
0,346
0,051
6
0,003775
11,7
0,0937
5,081
7
718,54
1,75
1,21
0,041
8
9,73491
18,0354
3,7251
0,071
9
11,456
0,113
0,1056
89,4
10
3549
0,317
3,27
4,7561
11
7,32147
0,0399
4,83
0,072
12
35,085
1,574
1,40
1,1236
13
7,544
12,72
0,34
0,0290
14
198,745
3,49
0,845
0,0037
15
37,4781
0,0976
2,371
1,15874
16
0,183814
82,3574
34,1
7,00493
17
0,009145
0,11587
4,25
3,00971
18
11,3721
3,71452
3,03
0,765
19
0,2538
7,345
0,31
0,09872
20
10,2118
0,038
3,9353
5,75
Глава 2 «Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений»
Лабораторная работа №2
Тема: «Решение уравнение с одной переменной»
Задание 1. Отделите корни заданного уравнения, пользуясь графическим методом (схематически, на бумаге). Это же задание выполните с помощью программы для компьютера и с применением одного из инструментальных средств.
Задание 2. По методу половинного деления вычислите один корень заданного уравнения с точностью 10-3;
с помощью «ручной» расчетной таблиц и калькулятора;
с помощью программы для компьютера.
Задание 3. Вычислите один корень заданного уравнения с помощью программы для компьютера с точностью 10-6, используя метод простой итерации.
Задание 4. Вычислите один корень заданного уравнения с помощью программы для компьютера с точностью 10-6, используя один из методов Ньютона.
Задание 5. Вычислите один корень заданного уравнения с точностью 10-6, используя один из инструментальных пакетов.
Сопоставьте и прокомментируйте полученные результаты.
Варианты заданий приведены в табл.2.5.
Таблица 2.5
Уравнение
Пояснения
1
-
2
-
3
При x < 10
4
При x > -10
5
При x < 5
6
-
7
-
8
-
9
-
10
-
11
-
12
-
13
-
14
-
15
-
16
-
17
-
18
На отрезке [-1;1]
19
-
20
-
Пояснения к выполнению лабораторной работы №2
При выполнении задания 1 отделение корней заданного уравнения выполнятся с помощью схематического графика на бумаге. Во многих случая задачу графического отделения корня модно упростить, заменив исходное уравнение вида равносильным ему уравнением .
Для решения этой же задачи с помощью компьютера сначала составляется и запускается программа отделения корней уравнения (см. подразд. 2.1). Задание шага может варьироваться в зависимости от величины выбранного участка и характера поведения функции . Результатом выполнения задания должен быть перечень отрезков, содержащих по одному корню уравнения. Затем отделение корней выполняется с помощью одного из инструментальных пакетов (см. пример 2.2, а также примеры 2.8, 2.9, рис. 2.21 учебника).
При выполнении задания 2 сначала уточняется один корень заданного уравнения по методу половинного деления с заданной точностью с помощью «ручной» расчетной таблицы и калькулятора. Если корней несколько, в пояснении к заданию указано, на каком участке выбирается корень, подлежащий уточнению. Форма расчетной таблицы, которую можно использовать для организации «ручных» вычислений, показана ниже.
n a
b
F(a)
F(c)
F(b)
1
Затем эта же задача решается с помощью программы для компьютера (см. подразд. 2.2 учебника).
При выполнении задания 3 исходное уравнение приводится к виду таким образом, чтобы на выбранном для выполнения задания отрезке [a; b] функция удовлетворяла условию (2.13): существует такое число что для любыъ имеет место . Приемы преобразования уравнения к итерационному виду и установление условий сходимости подробно рассмотрены в п.2.3.2 учебника.
При выполнении задания 4 составляется и запускается программы вычисления одного корня заданного уравнения с точностью 10-6 с использованием одного из методов Ньютона. Суть алгоритмов методов Ньютона, а также способы оценки точности результата подробно рассмотрены на примерах «ручного» счета (см. примеры 2.5 и 2.6).
При выполнении задания 5 корень заданного уравнения вычисляется с использованием одно из инструментальных пакетов (см. подразд. 2.5).
После выполнения заданий требуется сравнить полученные результаты и сопоставить в них верные цифры.
Глава 3 «Численные методы решения систем уравнений»
Лабораторная работа №3
Тема: «Численные методы решения систем уравнений»
Задание 1. Дана систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
Задание 1.1. Решите систему (1) методом Гаусса:
используя «ручную» схему единственного деления, двумя способами: без перестановки строк; с перестановкой строк; расчеты выполняйте с тремя знаками после запятой (с применением калькулятора); подставьте найденные решения в исходную систему, вычислите невязки и сравните полученные решения; выбрав ведущие элементы схемы единственного деления, найдите значение определителя системы;
с помощью программы для ЭВМ с пооперационным учетом ошибок.
Задание 1.2. Решите систему (1) методом простой итерации с точностью с помощью программы для ЭВМ:
с оценкой погрешности метода по одной из метрик с применением оценочной формулы .
с использованием эмпирического критерия близости соседних приближений.
Задание 1.3. Решите систему (1), используя одно из инструментальных средств. Сопоставьте найденное решение с решениями, полученными при выполнении заданий 1.1 и 1.2.
Задание 2. Найдите решение заданной системы нелинейных уравнений с прикидкой точности результата с помощью эмпирического критерия:
методом простой итерации;
методом Ньютона;
с использованием одного из инструментальных средств.
Пояснения к выполнению лабораторной работы №3
Перед выполнением лабораторной работы необходимо изучить материал гл.3 учебника и тщательно разобрать все приведенные в тексте примеры.
Коэффициенты и свободные члены заданной системы уравнений (1) для 20 вариантов к заданию 1 приведены в табл. 3.7.
Для «ручного» решения системы уравнений методом Гаусса (задание 1.1, а) составляется расчетная схема (см. пример 3.1, табл. 3.1). Решение с перестановкой строк показано в п. 3.2.4 учебника (пример 3.6).
Задание 1.1, б выполняется с помощью программы для компьютера (см. пример 3.3 в п.3.2.3), предусматривающей систематический учет границ абсолютной погрешности вычислений. Границы абсолютных погрешностей исходных данных – коэффициентов системы и свободных членов – принимаются из предположения, что исходные числовые значения в табл. 3.7 заданы цифрами, верными в строгом смысле. Вычисления производятся для различных числовых типов данных; полученные результаты необходимо сопоставить и прокомментировать.
При выполнении задания 1.2 составляются две программы решения заданной системы линейных уравнений по методу итераций – с учетом достаточных условий сходимости и без учета этих условий. Для применения метода итераций с предварительным доказательством условий сходимости исходная система преобразуется к системе с преобладающими диагональными коэффициентами, а затем к нормальному виду (см. п. 3.4.2). Вслед за этим производится проверка достаточных условий сходимости (в смысле одной из метрик); в результате получается значение коэффициента сжатия , которое используется в программе для проверки окончания цикла (формула ). При использовании другого подхода (на основе эмпирического критерия совпадения значащих цифр в одной позиции трех соседних приближений, см. п. 3.4.2) исходную систему достаточно преобразовать в систему с преобладающими диагональными коэффициентами. Затем с помощью ЭВМ, вводя различные ограничения на число итераций, производится эксперимент по отысканию решения системы с учетом эмпирического критерия.
Таблица 3.7
i
a11
a12
a13
bi
1
1
2
3
0.21
0.30
0.60
-0.45
0.25
-0.35
-0.20
0.43
-0.25
1.91
0.32
1.83
2
1
2
3
-3
0.5
0.5
0.5
-6.0
0.5
0.5
0.5
-3
-56.5
-100
-210
3
1
2
3
0.45
-0.01
-0.35
-0.94
0.34
0.05
-0.15
0.06
0.63
-0.15
0.31
0.37
4
1
2
3
0.63
0.15
0.03
0.05
0.10
0.34
0.15
0.71
0.10
0.34
0.42
0.32
5
1
2
3
-0.20
-0.30
1.20
1.60
0.10
-0.20
-0.10
-1.50
0.30
0.30
0.40
-0.60
6
1
2
3
0.30
-0.10
0.05
1.20
-0.20
0.34
-0.20
1.60
0.10
-0.60
0.30
0.32
7
1
2
3
0.20
0.58
0.05
0.44
-0.29
0.34
0.81
0.05
0.10
0.74
0.02
0.32
8
1
2
3
6.36
7.42
5.77
11.75
19.03
7.48
10
11.75
6.36
-41.40
-49.49
-27.67
9
1
2
3
-9.11
7.61
-4.64
1.02
6.25
1.13
-0.73
-2.32
-8.88
-1.25
2.33
-3.75
10
1
2
3
-9.11
7.61
-4.64
-1.06
6.35
1.23
-0.67
-2.42
-8.88
-1.56
2.33
-3.57
11
1
2
3
1.02
6.25
1.13
-0.73
-2.32
-8.88
-9.11
7.62
4.64
-1.25
2.33
-3.75
12
1
2
3
0.06
0.99
1.01
0.92
0.01
0.02
0.03
0.07
0.99
-0.82
0.66
-0.98
13
1
2
3
0.10
0.04
0.91
-0.07
-0.99
1.04
-0.96
-0.85
0.19
-2.04
-3.73
-1.67
14
1
2
3
0.62
0.03
0.97
0.81
-1.11
0.02
0.77
-1.08
-1.08
-8.18
0.08
0.06
15
1
2
3
0.63
0.90
0.13
-0.37
0.99
-0.95
1.76
0.05
0.69
-9.29
0.12
0.69
16
1
2
3
0.98
0.16
9.74
0.88
-0.44
-10.00
-0.24
-0.88
1.71
1.36
-1.27
-5.31
17
1
2
3
0.21
0.98
0.87
-0.94
-0.19
0.87
-0.94
0.93
-0.14
-0.25
0.23
0.33
18
1
2
3
3.43
74.4
3.34
4.07
1.84
94.3
-106.00
-1.85
1.02
46.8
-26.5
92.3
19
1
2
3
0.66
1.54
1.42
0.44
0.74
1.42
0.22
1.54
0.86
-0.58
-0.32
0.83
20
1
2
3
0.78
0.02
0.12
-0.02
-0.86
0.44
-0.12
0.04
-0.72
0.56
0.77
1.01
Заданием 1.3 предусматривается решение той же системы линейных уравнений (1) с использование одного из инструментальных средств (см. подразд. 3.6).
В итоге требуется сопоставить в пределах достигнутой точности найденное решение с решениями, полученными при выполнении заданий 1.1 и 1.2.
Задание 2 предусматривает решение системы нелинейных уравнений тремя способами: а) методом простой итерации; б) методом Ньютона; в) с использованием одного из инструментальных средств.
Примеры программ, реализующих методы простой итерации и Ньютона, приведены в подразд. 3.5, применение инструментальных средств рассмотрено в подразд. 3.6. Инструментальные средства могут быть использованы, в частности, для графического отделения корней. Варианты систем нелинейных уравнений приведены в табл. 3.8.
Таблица 3.8
Система уравнений
Номер варианта
Система уравнений
1
11
2
12
3
13
4
14
5
15
6
16
7
17
8
18
9
19
10
20
Глава 4 «Методы приближения функций»
Лабораторная работа №4
Тема: «Приближение функций»
Задание 1. По данной таблице значений функций
- x
x0
x1
x2
x3
y
y0
y1
y2
y3
составить формулу интерполяционного многочлена Лагранжа. Построить его график и отметить на нем узловые точки . Это же задание выполнить с помощью инструментальных программных средств.
Задание 2. Вычислить с помощью калькулятора одно значение заданной функции для промежуточного значения аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа и оценить погрешность интерполяции. Этот же результат получить с помощью программы для компьютера и с применением математических пакетов.
Задание 3. Для функций, заданной таблицей узловых значений, вычислить коэффициенты и составить формулы кубического сплайна в узловых узлах. Построить график кубического сплайна и отобразить на нем узловые точки с помощью одного из инструментальных программных средств.
Задание 4. С помощью программы для компьютера уплотнить часть таблицы заданной функции, пользуясь интерполяционными формулами Ньютона.
Задание 5. По заданной таблице значений x и y построить методом наименьших квадратов две различные эмпирические формулы и сравнить качество полученных приближений. Задание выполнить тремя способами: а) с помощью ручных расчетов на калькуляторе; б) путем использования программы для компьютера; в) с помощью табличного процессора Excel или иного инструментального средства.
Пояснения к выполнению лабораторной работы №4
Исходные данные ко всем заданиям лабораторной работы содержаться в табл. 4.14-4.23.
При выполнении задания 1 составляют многочлен Лагранжа по формуле , производят необходимые вычисления и приведение подобных членов (см. пример 4.1 учебника). По полученной формуле строится график интерполирующей функции, на котором отмечаются узловые точки. Это же задание выполняют и с помощью инструментальных пакетов Maple и MathCad (см. подразд. 4.15).
Исходные данные для выполнения задания 1 берутся из табл. 4.14.
Задание 2 сначала выполняют с помощью калькулятора по специальной расчетной схеме (см. табл. 4.2). Для достижения наилучшей точности берут максимально возможное четное или нечетное число узлов, симметричных относительно заданного значения . Использование расчетной таблицы показано в примере 4.2. Пример использования компьютерной программы для интерполирования по формуле Лагранжа рассмотрен в подразд. 4.5. Это же задание выполняется и с помощью инструментальных пакетов (см. подразд. 4.15, рис. 4.8, 4.25 учебника).
Поскольку аналитическое выражение интерполируемой функции в данном случае известно, то оценку погрешности интерполирования производят по формуле . Кроме того, имеется возможность сравнить результат интерполирования со значением функции, вычисленным по ее аналитическому выражению, заданному в таблице.
Для определения содержания задания 2 используется табл. 4.15, из которой по заданному варианту извлекается номер другой таблицы (4.16-4.19), задающей интерполируемую функцию, а также значение аргумента x, для которого требуется вычислить искомое значение интерполяционного многочлена. Так, например, для варианта 4 задание состоит в вычислении значения функции, заданной табл. 4.19 при x = 4,8.
Исходными данными для выполнения задания 3 служит таблично заданная функция из задания 1 (см. табл. 4.14). Перед выполнением задания следует внимательно изучить материал подразд. 4.11 и разобрать пример 4.7, а также примеры по использованию инструментальных программных средств для сплайновой аппроксимации в подразд. 4.15 (рис. 4.9, 4.21, 4.22, 4.26 учебника).
Для выполнения задания 4 по заданной таблице функции с равноотстоящими значениями аргумента составляют таблицу конечных разностей и определяют порядок интерполяционного полинома Ньютона. В зависимости от расположения участка субтабулирования относительно исходной таблицы и потребности в конечных разностях избирается первая:
или вторая:
интерполяционные формулы Ньютона. Исходные данные для выполнения задания 4 (номер таблицы функции, концы отреза и шаг субтабулирования) берут из табл. 4.15. В программе субтабулирования необходимо предусмотреть подсчет погрешности метода по одной из формул или . Перед выполнением задания полезно рассмотреть пример 4.4 из подразд. 4.9 учебника.
При выполнении задания 5 по заданной таблице значений x и y (см. варианты в табл. 4.24) строится точечный график, с помощью которого выбираются два наиболее предпочтительных вида приближающей функции. Здесь невозможно указать какой-либо общий метод угадывания наилучшего вида приближения, во многих случаях удачное решение этой задачи зависит от интуиции и опыта исследователя. При использовании компьютера появляется возможность испытания разных способов без сколько-нибудь значительных усилий.
Исследование точечного графика и выбор вида приближающей функции как в случае ручного, так и в случае компьютерного исполнения облегчаются при умелом расположении графика в системе координат и правильном сочетании масштабов на осях OX и OY, подчеркивающих характер данной зависимости. Следует заметить, что при построении эмпирической формулы всегда можно добиться, чтобы исходные значения аргумента и функции были положительны. Для этого достаточно сделать параллельный перенос в направлении осей, т.е. фактически перейти к новым переменным; в записи окончательного результата при этом необходимо вернуться к прежним обозначениям.
После выбора вида приближающей функции следует приступить к вычислениям. Когда расчеты ведутся с помощью калькулятора (задание 5, а), удобно использовать вспомогательные таблицы вида 4.9-4.11 (см. пример 4.8 учебника). При использовании компьютера сначала (задание 5, б) составляется программа с выводом значений параметров приближающей функции заданного вида и соответствующих им сумм квадратов уклонений (см. программу в подразд. 4.13), а затем (задание 5, в) – проводится исследование заданной табличной зависимости средствами инструментальных пакетов (см. подразд. 4.15, рис. 4.5-4.7, 4.11-4.14, 4.17-4.20, 4.21, 4.23, 4.27 учебного пособия).
Таблица 4.14
x0
x1
x2
x3
y0
y1
y2
y3
1
-1
0
3
4
-3
5
2
-6
2
2
3
5
6
4
1
7
2
3
0
2
3
5
-1
-4
2
-8
4
7
9
13
15
2
-2
3
-4
5
-3
-1
3
5
7
-1
4
-6
6
1
2
4
7
-3
-7
2
8
7
-1
-1
2
4
4
9
1
6
8
2
4
5
7
9
-3
6
-2
9
-4
-2
0
3
2
8
5
10
10
-0
1.5
3
5
4
-7
1
-8
11
2
4
7
8
-1
-6
3
12
12
-9
-7
-4
-1
3
-3
4
-9
13
0
1
4
6
7
-1
8
2
14
-8
-5
0
2
9
-2
4
6
15
-7
-5
-4
-1
4
-4
5
10
16
1
4
9
11
-2
9
3
-7
17
7
8
10
13
6
-2
7
-10
18
-4
0
2
5
4
8
-2
-9
19
-3
-1
1
3
11
-1
6
-2
20
0
3
8
11
1
5
-4
-8
Таблица 4.15
Задание 2
Задание 4
Таблица
x
Таблица
a
B
H
1
4.16
3.8
4.20
0.65
0.75
0.01
2
4.17
3.5
4.21
0.30
0.45
0.025
3
4.18
0.5
4.22
1.45
1.55
0.01
4
4.19
4.8
4.23
1.20
1.40
0.02
5
4.16
4.1
4.21
0.10
0.20
0.01
6
4.17
3.9
4.22
1.10
1.30
0.02
7
4.18
3.3
4.23
1.05
1.25
0.025
8
4.19
4.0
4.20
0.70
0.90
0.02
9
4.16
2.9
4.22
1.25
1.50
0.025
10
4.17
5.3
4.23
1.00
1.10
0.01
11
4.18
4.1
4.20
0.60
0.70
0.01
12
4.19
7.6
4.21
0.15
0.35
0.025
13
4.16
4.4
4.22
1.15
1.25
0.01
14
4.17
2.5
4.20
0.65
0.85
0.025
15
4.18
5.2
4.21
0.20
0.40
0.02
16
4.19
6.8
4.22
1.15
1.25
0.01
17
4.16
0.4
4.21
0.35
0.55
0.01
18
4.17
3.7
4.23
1.05
1.25
0.025
19
4.18
7.5
4.22
1.35
1.60
0.02
20
4.19
8.6
4.23
1.25
1.45
0.01
x
1.3
2.1
3.7
4.5
6.1
7.7
8.5
1.7777
4.5634
13.8436
20.3952
37.3387
59.4051
72.3593
Таблица 4.17
x
1.2
1.9
3.3
4.7
5.4
6.8
7.5
0.3486
1.0537
1.7844
2.2103
2.3712
2.6322
2.7411
Таблица 4.18
x
-3.2
-0.8
0.4
2.8
4.0
6.4
7.6
-1.9449
-0.6126
0.3097
1.8068
2.0913
1.4673
0.6797
Таблица 4.19
x
2.6
3.3
4.7
6.1
7.5
8.2
9.6
2.1874
2.8637
3.8161
3.8524
3.1905
2.8409
2.6137
Таблица 4.20
x
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
1.05
1.10
0.56464
0.60519
0.64422
0.68164
0.71736
0.75128
0.78333
0.81342
0.84147
0.86742
0.89121
Таблица 4.21
x
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.99375
0.99500
0.99877
0.98007
0.96891
0.95534
0.93937
0.92106
0.90045
0.87758
0.85252
Таблица 4.22
x
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1.35
1.40
1.45
1.50
1.55
1.60
0.89121
0.91276
0.93204
0.94898
0.96356
0.97572
0.98545
0.99271
0.99749
0.99973
0.99957
Таблица 4.23
x
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1.35
1.40
1.45
1.50
0.54090
0.49757
0.45360
0.40849
0.36236
0.31532
0.26750
0.21901
0.16997
0.12050
0.07074
Таблица 4.24
x
1.73
2.56
3.39
4.22
5.05
5.87
6.70
7.53
y
0.63
1.11
1.42
1.94
2.30
2.89
3.29
3.87
2
x
-1.33
-3.84
-3.23
-2.76
-2.22
-1.67
-1.13
-0.60
y
2.25
2.83
3.44
4.31
5.29
6.55
8.01
10.04
3
x
1.00
1.64
2.28
2.91
3.56
4.19
4.84
5.48
y
0.28
0.19
0.15
0.11
0.09
0.08
0.07
0.06
4
x
1.20
1.57
1.94
3.31
2.68
3.05
3.42
3.79
y
2.59
2.06
1.58
1.25
0.91
0.66
0.38
0.21
5
x
1.10
1.74
2.38
3.02
3.66
4.30
4.94
5.18
y
1.73
2.98
3.53
3.89
4.01
4.25
4.32
4.38
6
x
1.74
2.32
2.90
3.48
4.06
4.64
5.22
5.80
y
0.66
0.45
0.36
0.33
0.30
0.29
0.28
0.27
7
x
1.92
2.84
3.76
4.68
5.60
6.52
7.44
8.36
y
1.48
2.69
4.07
5.67
7.42
9.35
11.36
13.54
8
x
1.28
1.76
2.24
2.72
3.20
3.68
4.16
4.64
y
2.10
2.62
3.21
3.98
4.98
6.06
7.47
9.25
9
x
-4.84
-4.30
-3.76
-3.22
-2.68
-2.14
-1.60
-1.06
y
-0.09
-0.11
-0.13
-0.16
-0.19
-0.26
-0.39
-0.81
10
x
0.68
1.13
1.58
2.03
2.48
2.93
3.33
3.83
y
-2.16
-1.69
-1.36
-1.12
-0.95
-0.75
-0.65
-0.52
11
x
2.4
2.91
3.42
3.93
4.44
4.95
5.46
5.97
y
4.03
3.10
2.44
1.96
1.58
1.29
1.04
0.85
12
x
1.16
1.88
2.60
3.32
4.04
4.76
5.48
6.20
y
0.18
0.26
0.32
0.36
0.40
0.43
0.46
0.48
13
x
1.00
1.71
2.42
3.13
3.84
4.55
5.26
5.97
y
12.49
4.76
2.55
1.60
1.11
0.82
0.63
0.50
14
x
-0.64
-0.36
-0.08
0.20
0.48
0.76
1.04
1.32
y
29.51
18.86
12.05
7.70
4.92
3.14
2.01
1.28
15
x
-2.45
-1.84
-1.43
-0.92
-0.41
0.10
0.61
1.12
y
0.87
1.19
1.68
2.23
3.04
4.15
5.66
7.72
16
x
1.54
1.91
2.28
2.65
3.02
3.39
3.76
4.13
y
-2.52
-3.08
-3.54
-3.93
-4.27
-4.57
-4.84
-5.09
17
x
1.2
2.0
2.8
3.6
4.4
5.2
6.0
6.8
y
-10.85
-6.15
-4.14
-3.02
-2.30
-1.81
-1.45
-1.17
18
x
-1.04
-0.67
-0.30
0.07
0.44
0.81
1.18
1.55
y
10.80
8.08
5.97
4.44
3.31
2.46
1.83
1.36
19
x
0.41
0.97
1.53
2.09
2.65
3.21
3.77
4.33
y
0.45
1.17
1.56
1.82
2.02
2.18
2.31
2.44
20
x
0.80
1.51
2.22
2.93
3.64
4.35
5.06
5.77
y
9.22
6.35
5.31
4.77
4.45
4.23
4.07
3.44
Глава 5 «Численное дифференцирование и интегрирование»
Лабораторная работа №5
Тема: «Численное дифференцирование и интегрирование»
Задание 1. Вычислить с помощью программы для компьютера значение производной аналитически заданной функции в точке .
Задание 2. Вычислить значение производной функции, заданной таблично, используя интерполяционные формулы Лагранжа или Ньютона, и оценить погрешности метода.
Задание 3. Вычислить интеграл от заданной функции на отрезке при делении отрезка на 10 равных частей тремя способами: 1) по формуле трапеций; 2) по формуле Симпсона; 3) по формулам Гаусса. Произвести оценку погрешности методов интегрирования и сравнить точность полученных результатов.
Задание 4. С помощью программ для компьютера вычислить значение интеграла заданной функции на отрезке двумя способами: 1) по формуле Симпсона методом повторного счета с точностью 10-6; 2) методом Монте-Карло. Сопоставить полученные результаты с результатом, полученным с использованием одного из инструментальных пакетов.
Пояснения к выполнению лабораторной работы№5
Для выполнения задания 1 используются аналитические выражения функции , содержащиеся в табл. 5.7. Значение задается преподавателем. Программа для приближенного вычисления производной функции в точке рассмотрена в примере 5.1. Используя программу, произвести численные эксперименты для различных типов числовых данных. Для сопоставления точности полученных числовых результатов рекомендуется также вычислить значение производной заданной функции в точке с помощью одного из инструментальных пакетов, а также путем непосредственного дифференцирования формулы и последующего вычисления .
Исходные данные к выполнению задания 2 берутся из таблицы 4.20-2.23, которые выбираются в соответствии с номером варианта по табл. 4.15 в разделе «задание 4» (см. л/р №4). Участок таблицы для дифференцирования, значение аргумента x, а также используемый метод задаются преподавателем. Для оценки погрешности метода используются формулы:
;
,
где – промежуточное значение между ;
,
где .
Или
;
Когда :
;
.
5.18-5.20.
Учитывая, что аналитическое выражение таблично заданной функции в табл. 4.20-4.23 также известно, предоставляется возможность – как и при выполнении предыдущего задания – для сопоставления точности полученных числовых результатов вычислить значение производной заданной функции в точке путем непосредственного дифференцирования формулы и последующего вычисления значения ; эти вычисления могут быть выполнены с помощью одного из инструментальных пакетов. Перед выполнением задания следует прочитать подразд. 5.2, 5.3, 5.12 учебника, разобрать все приведенные в тексте примеры.
Исходные данные для выполнения задания 3 берутся из табл. 5.7. Отрезок интегрирования разбивается на 10 равных частей и производится ручное вычисление интеграла по формулам трапеций, Симпсона и Гаусса. Для расчетов по формулам трапеций и Симпсона удобно составить единую таблицу значений подынтегральной функции по схеме:
;
.
Их применение предполагает исследование модулей соответственно второй и четвертой производной подынтегральной функции на отрезке [a;b]. В случае, когда исследование общими методами оказывается слишком затруднительным, можно воспользоваться табулированием указанных производных на заданном отрезке с подходящим шагом на ЭВМ (по необходимости такая таблица может локально уплотнятся на экстремальных участках отрезка [a;b]).
Перед выполнением задания 4 необходимо изучить подразд. 5.9 и 5.11, тщательно разобраться в сущности и алгоритме метода повторного счета по формуле Симпсона, а также метода Монте-Карло. Исходные данные для выполнения задания берутся из табл. 5.7. Примеры использования для вычисления интегралов инструментальных средств показаны в подразд. 5.12 учебника.
Таблица 5.7
f(x)
a
b
1
0
1
2
1
2
3
1
2
4
2
3
5
0
1
6
1
2
7
1.2
2.2
8
0.5
1.5
9
2
3
10
3
4
11
1
2
12
-1
0
13
-0.5
0.5
14
0
1
15
0.2
1.2
16
1.5
2.5
17
0.1
1.1
18
1.4
2.4
19
2.3
3.3
20
0
1
Глава 6 «Численные методы решения дифференциальных уравнений»
Лабораторная работа №6
Тема: «Численное решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка»
Задание. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения на отрезке [a;b] при заданном начальном условии и шаге интегрирования h.
Задание 1.1. Методом Эйлера с применением «ручных» вычислений с шагом 2h, а также с помощью программы для компьютера с шагом h. Свести результаты вычисления в одну таблицу и сопоставить точность полученных значений функции. Пользуясь таблицей, сделать ручную прикидку графика интегральной кривой на бумаге.
Задание 1.2. Методом Рунге-Кутта с помощью программы для компьютера с шагом h и шагом h/2. На основе результатов двойного расчета сделать вывод о точности полученного решения.
Задание 1.3. С помощью одного из инструментальных пакетов методами Эйлера, Рунге-Кутта 4-го порядка и Адамса, предусмотрев вывод полученных решений в виде таблиц и графиков.
Исходные данные для задания содержаться в табл. 6.5.
Таблица 6.5
y = f(x,y)
a
b
c
h
1
24
5
0.7
0.1
2
2.6
4.6
1.8
0.2
3
-1
1
0.2
0.2
4
2
3
1.2
0.1
5
0
0.5
0.3
0.05
6
1
2
0.9
0.1
7
0.6
2.6
3.4
0.2
8
1.5
2
2.1
0.05
9
2.1
3.1
2.5
0.1
10
3
5
1.7
0.2
11
1
3
1.5
0.2
12
1
2
0.9
0.1
13
2
3
2.3
0.1
14
0.1
0.5
1.25
0.2
15
-2
-1
3
0.1
16
0
2
2.9
0.2
17
1.5
2.5
0.5
0.1
18
1.5
2
1.4
0.05
19
0
0.5
2.6
0.1
20
1
3
1.8
0.2
Пояснения к выполнению лабораторной работы №6
Первая часть задания (метод Эйлера) выполняется двумя способами: с помощью ручных вычислений (например, с помощью калькулятора) и с помощью программы для ЭВМ (см. пример 6.2 учебника). Результаты ручных и машинных вычислений вносятся в одну таблицу (см. табл. 6.2 учебника). Значения искомой функции в соответствующих узлах сравниваются между собой и составляется представление о точности полученного результата. По вычисленной таблице функции строится точечный график и проводится плавная кривая.
По второй части задания составляется программа для компьютера, которая пускается дважды – для шага h и шага h/2 (на одном и том же отрезке интегрирования [a;b]). Путем сравнения полученных значений делается вывод о точности результата, которая сопоставляется с точностью интегрирования по методу Эйлера.
Для оценки погрешности используется полуэмпирическая формула:
, где
;
;
;
.
При выполнении третьей части задания используется один из инструментальных математических пакетов. Их применение для решения задачи Коши методами Эйлера, Рунге-Кутта 4-го порядка и Адамса показано в подразд. 6.8 учебного пособия.
Вопросы к экзамену по дисциплине «Численные методы»
Приближенные числа и действия над ними.
Приближенное значение величины. Абсолютная погрешность, относительная погрешность.
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами.
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами. Метод хорд.
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами. Метод касательных.
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами. Метод половинного деления.
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами. Метод итераций.
Теорема для разрешения задачи линейной интерполяции. Полиноминальная интерполяция функций.
Теорема для разрешения задачи линейной интерполяции. Интерполирование с использованием показательной функции.
Теорема для разрешения задачи линейной интерполяции. Интерполирование с использованием тригонометрической функции.
Определение кубического сплайна. Теорема о существовании кубического сплайна (док-во).
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами. Сравнение методов решения.
Решение СЛАУ. Метод Гаусса.
Решение СЛАУ. Метод Зейделя.
Метод итераций решения СЛАУ.
Сравнение методов решений СЛАУ.
Определение кубического сплайна. Теорема о существовании кубического сплайна (док-во).
Задачи интерполяции и приближения функций. Постановка задачи интерполяции.
Теорема для разрешения задачи линейной интерполяции. Полиноминальная интерполяция функций.
Определение кубического сплайна. Теорема о существовании кубического сплайна (док-во).
Теорема для разрешения задачи линейной интерполяции. Интерполирование с использованием показательной функции.
Теорема для разрешения задачи линейной интерполяции. Интерполирование с использованием тригонометрической функции.
Интерполяционный полином Лагранжа.
Интерполяционный полином Ньютона.
Определение кубического сплайна. Теорема о существовании кубического сплайна (док-во).
Сходимость интерполяционных сплайнов.
Интерполяция и экстраполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Интерполяция и экстраполяция. Интерполяционные формулы Ньютона.
Интерполяция и экстраполяция. Интерполирование сплайнами.
Интерполяция и экстраполяция. Сравнение методов интерполяции.
Численное интегрирование функций одной переменной. Метод прямоугольников.
Определение кубического сплайна. Теорема о существовании кубического сплайна (док-во).
Численное интегрирование функций одной переменной. Метод трапеций.
Численное интегрирование функций одной переменной. Метод парабол.
Численное интегрирование функций одной переменной. Метод Симпсона.
Численное интегрирование функций одной переменной. Сравнение методов.
Определение кубического сплайна. Теорема о существовании кубического сплайна (док-во).
Численное интегрирование. Понятие о приближенных вычислениях интеграла.
Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Метод Эйлера
Решение алгебраических уравнений. Метод дихотомии.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Метод Рунге-Кутты.
Решение СЛАУ. Метод Зейделя.
Решение СЛАУ методом Гаусса.
Интерполирование и экстраполирование функций.
Вывод формулы Симпсона для приближенных вычислений определенных интегралов.
Приближенные решения алгебраических уравнений. Комбинированный метод хорд и касательных.
Постановка задачи оптимизации. Необходимое и достаточное условие экстремума функции.
Минимум функции одной переменной. Постановка задачи одномерной минимизации.
Постановка задачи оптимизации. Необходимое и достаточное условие экстремума функции.
Минимум функции одной переменной. Постановка задачи одномерной минимизации.
Интерполяция и экстраполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Интерполяция и экстраполяция. Интерполяционные формулы Ньютона.
Интерполяция и экстраполяция. Интерполирование сплайнами.
Интерполяционный полином Лагранжа.
Интерполяционный полином Ньютона.
Теорема для разрешения задачи линейной интерполяции. Полиноминальная интерполяция функций.
Теорема для разрешения задачи линейной интерполяции. Интерполирование с использованием показательной функции.
Теорема для разрешения задачи линейной интерполяции. Интерполирование с использованием тригонометрической функции.
