Научно-практическая работа по математике: Способы решения квадратных уравнений

МБОУ Берёзовская СОШ №10

Способы решения квадратных уравнений

Абдрахимов Руслан

МБОУ Берёзовская СОШ №10

9 класс

Мурзаева Екатерина Игоревна

МБОУ Берёзовская СОШ №10

учитель математики

с. Берёзовское, 2016

Часто первый избранный способ решения бывает далеко не самым удачным, поэтому задача каждого ученика - научиться находить не только верные, но и наиболее рациональные способы решения.

В школьном курсе математике мы изучаем все лишь несколько способов решения квадратных уравнений. А достаточно ли их? Вот я и решил изучить этот вопрос подробнее. В своей работе я рассмотрел десять способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах и выделил их особенности, что впоследствии способствовало их сравнению, а так же определению самых эффективных из них.

В результате проделанной работы можно сделать следующие выводы:

1. Существует десять основных способов решения квадратных уравнений;

2. квадратное уравнение не всегда можно решить всеми способами;

3. у каждого способа есть свои особенности, которые позволяют определить те случаи, в которых использование этих способов рационально;

4. способ решения с помощью циркуля и линейки, более удобный способ, чем графический способ решения квадратных уравнений;

5. геометрический способ решения – это геометрическая интерпретация способа выделения полного квадрата;

6. самые эффективные способы: разложение левой части уравнения на множители, выделение полного квадрата и решение по формуле;

7. способов решения рассматриваемых на уроках математики достаточно, что бы решить задания связанные с квадратными уравнениями на экзамене успешно;

8. на экзаменах по математике мои одноклассники будут использовать способ решения квадратных уравнений по формуле.

Список литературы:

1. Плужников И. Десять способов решения квадратных уравнений. Математика // Приложение к газете «Первое сентября» №40/2000. стр.24 -31.

2. Макарычев Ю.Н., Н.Г. Миндюк и др. Алгебра. 8 класс: учеб. Для общеобразоват. организаций/ под ред. А.С. Теляковского// М.: Просвещение, 2014.

3. Пресман А.А. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки // М.Квант. №4/1972. стр.34 – 35.

4. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы // М.: Дрофа, 2010.

Введение

Актуальность работы заключается в том, что совсем скоро мне и моим одноклассникам предстоит сдавать ОГЭ по математике, а решение квадратных уравнений – это одна из основных тем в алгебре. В экзаменационных вариантах не только присутствуют сами квадратные уравнения, но так, же есть текстовые задачи, дробно-рациональные уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, решение которых сводится к решению квадратных уравнений.

Часто первый избранный способ решения бывает далеко не самым удачным, поэтому задача каждого ученика - научиться находить не только верные, но и наиболее рациональные способы решения квадратного уравнения. И здесь возникает проблема: достаточно ли тех способов решения квадратных уравнений, которые нам предлагает школьная программа, что бы выбрать рациональный способ решения квадратного уравнения на экзамене.

Точкой отправления в моей работе стала статья Плужникова И. «Десять способов решения квадратных уравнений».

Способы решения квадратных уравнений

Цель исследования: определить самый эффективный способ решения квадратных уравнений.

Задачи исследования: применить все основные способы к решению нескольких квадратных уравнений; выявить особенности каждого способа; сравнить способы; рассказать одноклассникам про способы решения квадратных уравнений и провести опрос среди одноклассников для определения самого эффективного и интересного, по их мнению, способа.

Объект исследования: квадратное уравнение.

Предмет исследования: способы решения квадратного уравнения.

Изучив историю вопроса, а так же после рассмотрения способов решения квадратных

уравнений я выдвинул гипотезу: одно уравнение не всегда можно решить всеми способами.

Методы исследования: работа с учебной и научно-популярной литературой; решение примеров; выявление особенностей способов; сравнение; опрос одноклассников.

Изучая литературу по данному вопросу, я выяснил, что существует десять основных

способов решения квадратных уравнений: по формуле [2]; разложение левой части уравнения на множители [2]; теорема Виета [2]; применение свойств коэффициентов [1]; «переброски» старшего коэффициента [1]; выделения полного квадрата [2]; графический [2]; с помощью циркуля и линейки [3]; с помощью номограммы [4]; геометрический [1].

После того как способы были определены и литература была подобрана я выбрал три квадратных уравнения: ;.

Следующим этапом стало их решение и выделение их особенностей.

Решение квадратных уравнений по формуле

Квадратное уравнение

Решение

Особенности

D=25;

; .

С помощью этого способа очень легко определить количество корней и найти их. Данным способом можно решать любые квадратные уравнения, в том числе и неполные.

D=361;

; .

D=0; .

Разложение левой части уравнения на множители

; .

Теорема Виета

Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения

1-7+6=0 ; .

Подходит для квадратных уравнений с “удобными” коэффициентами. Иногда позволяет решить квадратное уравнение устно.

;

1+1/3-100;

1-1/3-100

1+6+90

1-6+90

Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента

Введём замену y=3x, получим:

; по теореме Виета подбираем корни

Вернёмся к замене: ; .

Старший коэффициент a=1, данный способ не имеет смысла.

Метод выделения полного квадрата

;

или ;

; .

Позволяет решить любое полное квадратное уравнение. Как видно из второго уравнения не всегда рациональный способ решения.

;

;

или ;.

;.

Графический способ решения квадратных уравнений

; .

Данный способ является неточным, его часто применяют для определения количества корней.

[pic]

; .

[pic]

.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

[pic]

Центр окружности S(-3.5;3.5), точка A(0;1), R=SA. Окружность пересекает ось абсцисс в двух точках. ; .

Данный способ является неточным, его можно применять для определения количества корней. Думаю, что иногда рациональнее применять этот способ вместо графического способа.

[pic]

Центр окружности S(), точка A(0;1), R=SA. Окружность пересекает ось абсцисс в двух точках. ; .

[pic]

Центр окружности S(-3;5), точка A(0;1), R=SA. Окружность касается оси абсцисс в точке .

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

Введём замену , получим уравнение , строим прямую 2

и .

Вернёмся к замене, получим ; .

Позволяет найти корни квадратного уравнения по его коэффициентам. Достаточно простой способ, если оба корня положительны, если же есть отрицательные корни, то требуются несложные дополнительные вычисления и построения. Усложняет данный способ и ограниченность шкалы, т.е. если или так же нужны дополнительные несложные вычисления.

[pic]

Видим пересечение, значит , т.к. есть пересечение, значит, есть и второй корень, но он отрицательный, воспользуемся формулой , получим .

[pic]

Прямая 1 не даёт пересечений с номограммой, значит либо корней, либо они отрицательные.

Введём замену , получим уравнение , строим прямую 2, видим касание, значит, корень один .

Геометрический способ решения квадратных уравнений

1.75x

3.0625

1.75x

1.75x

3.0625

1.75x

3.0625

.

Построим квадрат со стороной x, его площадь . Второй коэффициент b=7, 74=1.75. Пристроим к сторонам квадрата прямоугольники со сторонами x и 1,75, их площадь 1,75x. Получившуюся фигуру достроим до квадрата, т.е. пристроим ещё 4 квадрата, площадь которых . Теперь найдём площадь получившегося большого квадрата с помощью сложения: S=3.0625+1,75x+3.0625+1.75x++1.75x+3.0625+1.75x+3.0625= =+7x+12.25.

Вспомним, что , подставим в S=+7x+12.25, получим

S=-6+12.25=6.25.

С другой стороны +7x+12.25=. Значит =6,25.

; .

Этот способ представляет геометрическую интерпретацию способа выделения полного квадрата, им можно решить любое полное квадратное уравнение.

;

4= S=; S=10+;

=10+;.

; 64=1.5; S=;

S=9-9=0;.

Сравнение способов решения квадратных уравнений

критерии

способ

время

определение количества корней

точность

дополнительные инструменты не нужны

для всех уравнений

Итоги

Разложение левой части на множители

+

+

+

+

+

5

Выделение полного квадрата

+

+

+

+

+

5

По формуле

+

+

+

+

+

5

Теорема Виета

+

-

+

+

-

3

Способ «переброски»

+

-

+

+

-

3

Свойства коэффициентов

+

-

+

+

-

3

Графический способ

-

+

-

-

+

2

С помощью циркуля и линейки

+

+

-

-

+

2

С помощью номограммы

+

+

+

-

+

4

Геометрический способ

-

+

+

+

+

4

Опрос среди одноклассников

способ

эффективный

интересный

%

Разложение левой части на множители

-

-

0/0

Метод выделения полного квадрата

-

-

0/0

По формуле

15

-

100/0

Теорема Виета

-

-

0/0

Способ «переброски»

-

-

0/0

Свойства коэффициентов

-

-

0/0

Графический способ

-

-

0/0

С помощью циркуля и линейки

-

6

0/40

С помощью номограммы

-

12

0/80

Геометрический способ

-

3

0/20

Заключение

В результате работы с литературой я выяснил, что существует десять основных способов решения квадратных уравнений, пять из которых мы рассматривали на уроках математики в 8 и 9 классе.

Проведённый эксперимент с решением трёх уравнений всеми способами подтвердил выдвинутую гипотезу в начале исследования: одно уравнение не всегда можно решить всеми способами. В ходе решения этих уравнений мне удалось выделить некоторые особенности способов решения, а так же определить те случаи, в которых использование этих способов рационально. Так же на основе анализа способов решения были сделаны следующие выводы:

-способ решения с помощью циркуля и линейки, более удобный способ, чем графический способ решения квадратных уравнений;

-геометрический способ решения – это геометрическая интерпретация способа выделения полного квадрата.

Сравнение способов решения квадратных уравнений показало, что самыми эффективными являются: разложение левой части уравнения на множители, выделение полного квадрата и решение по формуле, они соответствуют всем пяти критериям. Все эти способы входят в программу по математике, поэтому я считаю, что способов решения рассматриваемых на уроках математики достаточно, что бы решить задания связанные с квадратными уравнениями на экзамене успешно.

Опрос одноклассников показал, что самым эффективным способом они считают способ решения по формуле, поэтому я делаю вывод, что на экзамене по математике, который нам предстоит сдавать в конце учебного года, они будут пользоваться именно им.

Выводы

1. 1. квадратное уравнение не всегда можно решить всеми способами;

   2. у каждого способа есть свои особенности, которые позволяют определить те случаи, в которых использование этих способов рационально;

   3. самые эффективные способы: разложение левой части уравнения на множители, выделение полного квадрата и решение по формуле;

   4. на экзаменах по математике мои одноклассники будут использовать способ решения квадратных уравнений по формуле.

При проведении исследования, меня очень заинтересовал способ решения с помощью номограммы, думаю, что в следующем году продолжу исследование в данном направлении.