Второй признак равенства треугольников
(Г. 7-9; Глава II, § 3, п. 19),
урок решения ключевых задач
Анализ теоретического материала:
Второй признак равенства треугольников. Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема дана в условной форме. Доказательство основано на определении равных треугольников и используется прием наложения одного треугольника на другой (этот прием был использован при доказательстве первого признаке равенства треугольников). Теорема, обратная данной, верна.
Историческая справка: Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).
[pic]
Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно. Предполагают, что его способ состоял в следующем: пусть A – точка берега, B – корабль на море. Для определения расстояния AB восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC AB; в противоположном направлении восстанавливают CE AC так, чтобы точки D (середина AC), B и E находились на одной прямой. Тогда CE будет равна искомому расстоянию AB. Доказательство основывается на втором признаке равенства треугольников (DC = DA; С = A; EDС = BDA как вертикальные).
Данная тема является важной в разделе геометрии, ведь признаки равенства треугольников применяются на протяжении всего курса геометрии; способствует формированию умения доказывать равенство данных треугольников, опираясь на изученные признаки, т.е. выделять равенство трёх соответствующих элементов данных треугольников и делать ссылки на изученные признаки.
Анализ задачного материала:
Одношаговые задачи на доказательство равенства треугольников.
№121 (а).
Отрезки AB и CD пересекаются в середине O отрезка AB, . Докажите, что .
Решение: [pic]
Рассмотрим . AO=OB (по условию), (по условию), (как вертикальные), тогда по второму признаку .
№122 (а).
На рисунке , . Докажите, что .
Решение: [pic]
Рассмотрим . AC – общая сторона, (по условию), (по условию), тогда по второму признаку .
Двушаговые задачи на нахождение сторон.
№121 (б).
Отрезки AB и CD пересекаются в середине O отрезка AB, . Найдите BC и CO, если CD=26 см, AD=15см.
Решение:
Т.к. ( по второму признаку), тогда по определению равных треугольников: CO=OD, AD=CB, . CD=CO+OD, отсюда CO=26:2=13 см. AD=CB=15см.
№122 (б).
На рисунке , . Найдите AB и BC, если AD=19 см, CD=11 см.
Решение:
Т.к. (по второму признаку), тогда из определения равных треугольников следует, что AB=CD=11 см, AD=BC=19 см.
№126.
На рисунке , , AC=13 см. Найдите BD.
Решение: [pic]
Рассмотрим : ( поусловию), (по условию), AB – общая сторона. Тогда по второму признаку. Из определения равенства треугольников следует, что AC=DB, CB=AD. Следовательно, AC=13 см, DB=13 см.
Двушаговая задача на доказательство равенства отрезков и углов.
№123.
На биссектрисе угла A взята точка D, а на сторонах этого угла – точки B и C такие, что . Докажите, что BD=CD. [pic]
Решение:
Рассмотрим . (по условию), (по условию), AD – общая сторона. Тогда по второму признаку , а из определения равных треугольников BD=CD.
№124.
По данным рисункадокажите, что OP=OT, .
Решение: [pic]
Рассмотрим : BO=OC (по условию), (по условию), (как вертикальные). Тогда по второму признаку . Из определения равных треугольников, следует, что BP=CT, PO=OT, .
№125.
На рисунке , AO=BO. Докажите, что и AC=BD.
Решение: [pic]
Т.к. AO=BO, тогда - равнобедренный. Из свойства углов равнобедренного треугольника следует, что . Рассмотрим : , . Отсюда следует, что , . Значит, по второму признаку . А из определения равных треугольников следует, что AC=BD и .
№128.
Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведенные к соответсвенно равным сторонам, равны.
Решение: [pic]
Рассмотрим и . Т.к. ABC=, то AB=, , , . Тогда по второму признаку =. А из определения равных треугольников AM=.
Задача на доказательство равенства треугольников с помощью доказательства равенства вспомогательных треугольников.
№127.
В треугольниках ABC и AB=, BC=, . На сторонах AB и отмечены точки D и так, что . Докажте, что .
Решение: [pic]
Рассмотрим ABC и : AB= ( по условию), BC= (по условию), , (по условию), тогда по первому признаку ABC=. А из определения равных треугольников следует, что AC=, , . Рассмотрим : BC= (по условию), (т.к. , ), ( по условию). Тогда по второму признаку .
№129.
Отрезки AC и BD пересекаются в середине O отрезка AC, . Докажите, что .
Решение: [pic]
Рассмотрим и : (по условию), AO=OC (по условию), (как вертикальные). Тогда по второму признаку =. А из определения равных треугольников следует, что BO=OD. Рассмотрим и : AO=OC (по условию), BO=OD (из определения =), (как вертикальные). Тогда по первому признаку .
№130.
В и отрезки CO и - медианы, =, и . Докажите, что:
а) ;
б) .
Решение: [pic]
а) Рассмотрим и : (по условию), (по условию), (по условию). Тогда по первому признаку =. А из определения равных треугольников следует, что , , .
Рассмотрим : , , (т.к. , ). Тогда по второму признаку .
б) Рассмотрим : = (по условию), (по условию), (т.к. , ). Тогда по второму признаку .
Выводы: в учебнике представлены все виды задач, дополнять систему упражнений не нужно. Для данного урока были придуманы только задачи для актуализации на применение первого признака равенства треугольников к решению задач.
Тип урока: урок решения ключевых задач
Учебник: «Геометрия 7-9» Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., С.Б. Кадомцев, 7 класс, Глава II §3 п.19
Учебная задача: выявить виды задач на использование второго признака равенства треугольников и схемы их решения.
Диагностируемые цели: В результате урока ученик :
знает: формулировку второго признака равенства треугольников,
умеет: применять второй признак равенства треугольников для решения задач на доказательство равенства отрезков (углов), нахождение величины отрезков (углов), доказательство равенства треугольников.
понимает: аналогию между видами задач на 1 и 2 признаки равенства треугольников.
Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковые, аналогия
Формы работы: фронтальная
Средства обучения: традиционные, презентация
Структура урока:
Мотивационно-ориентировочный – 12 мин.
Содержательный этап – 28 мин.
Рефлексивно-оценочный – 5 мин.
Ход урока:
Мотивационно-ориентировочный этап.
Актуализация (работа идет устно, фронтально): (слайд 1)
Учитель: Здравствуйте, ребята! На слайде изображены треугольники, найдитесреди них равные. (слайд 2)
[pic]
Ученики: (по трем сторонам), (EB=EF, ED=EG, как вертикальные), (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Учитель: Молодцы! Ребята, сформулируйте второй признак равенства треугольников.
Ученик: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Учитель: как мы доказали этот признак?
Ученик: накладывали один треугольник на другой.
Учитель: А сейчас скажите, как звучит первый признак равенства треугольника?
Ученик: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Учитель: Теперь скажите, равны ли треугольники по стороне и двум углам?
[pic]
Ученики: Нет, потому что не выполняется условие второго признака-по двум прилежащим углам.
Учитель: А равны ли эти треугольники по двум сторонам и углу?
[pic]
Ученики: Нет, потому что не выполняется условие первого признака – углу между ними.
Учитель: Хорошо, молодцы! А теперь вспомните, какие задачи мы решали, используя первый признак?
Ученик: Задачи на доказательство равенства отрезков (углов), на нахождение величины отрезка (угла) и на доказательство треугольников через равенство других треугольников.
Учитель: Решим такие задачи:
Даны два треугольника ABC и АDE, ВС=СД и АС=СЕ, доказать, что AB=DE, .
Решение:
как вертикальные, Значит, по первому признаку . Следовательно, AB=DE. В равных треугольниках соответственные элементы равны. Против равных сторон лежат равные углы: BC=CD, значит . [pic]
На рисунке АВ=АС,, BC=5, . Найти CD, .
Решение: [pic]
AC – общая сторона, , АВ=АС. По первому признаку . В равных треугольниках соответственные элементы равны: BC=CD=5, .
. Докажите, что.
Решение:
Т.к. , то , AB=DE. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников . [pic]
Мотивация:
Учитель: Итак, мы заметили, что признаки очень похожи, поэтому задачи на второй признак будут аналогичны по видам.
Постановка учебной задачи:
Итак, цель сегодняшнего урока – выявить виды задач на использование второго признака равенства треугольников и схемы их решения.
Содержательный этап:
№124.
По данным рисунка докажите, что OP=OT, .
Решение: [pic]
Рассмотрим : BO=OC (по условию), (по условию), (как вертикальные). Тогда по второму признаку . Из определения равных треугольников, следует, что BP=CT, PO=OT, .
Учитель: Что мы сделали, что доказать равенство сторон и углов?
Ученики: Доказали равенство треугольников, содержащих эти элементы.
Учитель: Как мы доказали равенство треугольников?
Ученики: Нашли равные элементы и воспользовались вторым признаком равенства треугольников.
Учитель: К какому типу задач относится эта?
Ученики: Это задача на доказательство равенства отрезков и углов.
Учитель: Молодцы! Следующая задача №123.
№123.
На биссектрисе угла A взята точка D, а на сторонах этого угла – точки B и C такие, что , CD= 8. Найти BD. [pic]
Решение:
Рассмотрим . (по условию), (по условию), AD – общая сторона. Тогда по второму признаку , а из определения равных треугольников BD=CD. Следовательно, BD=8.
Учитель: Что мы сделали, чтобы найти BD?
Ученики: Доказали, что треугольники равны.
Учитель: А как мы это доказали?
Ученики: Находили равные элементы в треугольниках и смотрели, под какой признак равенства треугольников подходит данный случай.
Учитель:Какой вид задач мы рассмотрели?
Ученики: На нахождение неизвестной стороны.
Учитель: Следующая задача, которую мы решим в классе №127.
№127.
В треугольниках ABC и AB=, BC=, . На сторонах AB и отмечены точки D и так, что . Докажте, что .
Решение: [pic]
Рассмотрим ABC и : AB= ( по условию), BC= (по условию), , (по условию), тогда по первому признаку ABC=. А из определения равных треугольников следует, что AC=, , . Рассмотрим : BC= (по условию), (т.к. , ), ( по условию). Тогда по второму признаку .
Учитель: Что мы сделали, чтобы доказать равенство треугольников ?
Ученики: Доказали равенство треугльников, содержащих данные.
Учитель: Как мы доказывали равенство больших треугольников?
Ученики: Нашли равные элементы и применили первый признак равенства треугольников.
Учитель: К какому виду относится эта задача?
Ученики: Доказательство данных треугольников через доказательство равенства вспомогательных треуголььников.
Рефлексивно-оценочный этап:
Учитель: какова была цель урока?
Ученик: выявить виды задач на использование второго признака равенства треугольников и схемы их решения
Учитель: мы достигли цели?
Ученик: да
Учитель: Как мы ее достигли?
Ученик: Выявили следующие виды задач на второй признак: задачи на доказательство равенства отрезков и углов, задачи на нахождение сторон треугольника и углов и задачи на доказательство треугольников, с помощью доказательства вспомогательных треугольников..
Учитель: Домашнее задание: выучить формулировку второго признака равенства треугольников, задачи из учебника: 122,126,129.
Домашняя работа:
№122.
На рисунке , . Докажите, что .
Решение: [pic]
а) Рассмотрим . AC – общая сторона, (по условию), (по условию), тогда по второму признаку .
б) Т.к. ( по второму признаку), тогда по определению равных треугольников: CO=OD, AD=CB, . CD=CO+OD, отсюда CO=26:2=13 см. AD=CB=15см.
№126.
На рисунке , , AC=13 см. Найдите BD.
Решение: [pic]
Рассмотрим : ( поусловию), (по условию), AB – общая сторона. Тогда по второму признаку. Из определения равенства треугольников следует, что AC=DB, CB=AD. Следовательно, AC=13 см, DB=13 см.
№129.
Отрезки AC и BD пересекаются в середине O отрезка AC, . Докажите, что .
Решение: [pic]
Рассмотрим и : (по условию), AO=OC (по условию), (как вертикальные). Тогда по второму признаку =. А из определения равных треугольников следует, что BO=OD. Рассмотрим и : AO=OC (по условию), BO=OD (из определения =), (как вертикальные). Тогда по первому признаку .
