Задача №1- 3
Дано.ABCD- трапеция
A=8 , b=6 , R=5.
Найти. AB , СD,площадь ABCD,h1, h2.
[pic]
1случай. Решение.
ABCD- равнобедренная трапеция. Из Δ ОАН2 прямоугольного по теореме Пифагора ОН2=2 Аналогично из ΔОВН1 ОН1=4, тогда Н1 Н2 =1.
АК=1 Из ΔАВК прямоугольного по теореме Пифагора АВ= [pic] .
Sтр= [pic] h= [pic] 1=7
2случай.
ABCD- равнобедренная трапеция .Из ΔODH2 прямоугольного по теореме Пифагора ОН2=3 ,из ΔОСН1 прямоугольного по теореме Пифагора ОН2=4, тогда Н1 Н2=7
АК=1 Из ΔАВК прямоугольного по теореме Пифагора АВ= [pic] .
Sтр= [pic] h= [pic] ·7=49.
Ответ:
Задача № 4 Найдите угла А, В ,С и D трапеции.
[pic]
Дано:
ABCD – трапеция,
ВС=6, AD=8
Найти:
[pic]
Решение:
Из вершины [pic] опустим высоту [pic] .
Из задачи 1 следует, что [pic] .
По свойству равнобедренной трапеции [pic] .
Так же по свойству равнобедренной трапеции [pic] .
Рассмотрим [pic] - прямоугольный. По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника получим:
[pic]
[pic]
По условию задачи трапеция [pic] вписана в окружность. Следовательно, [pic] .
[pic]
Ответ: [pic] [pic]
Задача № 5
Найти диагонали [pic] трапеции.
Д [pic] ано: [pic] –трапеция, [pic] . Найти: [pic] .
Решение:
По свойству равнобедренной трапеции [pic] .
Рассмотрим [pic] – прямоугольный. По теореме Пифагора
[pic]
[pic]
Ответ: [pic]
Задача № 6
Найти угол между диагоналями [pic] трапеции.
Д [pic] ано: [pic] –трапеция,
[pic] .
Найти: [pic] .
Решение:
Пусть [pic]
Площадь трапеции можно найти по формуле:
[pic]
По свойству равнобедренной трапеции [pic] Следовательно, формула принимает вид:
[pic]
Из задачи 3 известно, что [pic] Составим и решим уравнение:
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: [pic]
З [pic] адача №7
[pic]
Найти длину отрезка МN, параллельного АD, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции.
Решение:
Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции, параллельно основаниям, есть среднее гармоническое оснований трапеции.
Значит, МN = [pic] , где [pic] и [pic] основания трапеции [pic] МN= [pic] = [pic] =6 [pic]
Ответ: 6 [pic]
Задача №8
Найти длину отрезка средней линии трапеции АВСD, заключенного между диагоналями (длину отрезка ЕF).
Решение:
В треугольнике АСD ЕN – средняя линия ЕN АD и ЕN=АD.
В треугольнике ВСD FN – средняя линия FN ВС и FN=ВС. Тогда ЕF= ЕN- FN=( АD- ВС)
Значит, длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности оснований.
Длина отрезка равна =1
Ответ: 1
Задача №9
В каком отношении отрезок МN делит площадь трапеции (вычислить [pic] ).
Решение:
[pic] = [pic] , где [pic] и [pic] высоты трапеций MNCB и ADNM соответственно. Так как [pic] , то [pic] = [pic] .
Значит, [pic] = [pic] = [pic]
Ответ: [pic] .
Задача №10.
Н [pic] айти высоту треугольника ADF, где F – точка пересечения продолжений боковых сторон.
Решение: 1 способ.
Рассмотрим прямоугольный [pic]
[pic] = [pic]
[pic]
[pic]
Ответ: 28
2 способ.
Треугольники [pic] и [pic] подобны по двум углам (угол [pic] -общий, угол [pic] равен углу [pic] как соответственные углы при параллельных прямых [pic] и [pic] ).
Значит, [pic] , где [pic] .
Пусть [pic] = [pic] , тогда [pic] = [pic] +7 ( [pic] = 7 из задачи № 1)
[pic] [pic] [pic] =21. Значит, [pic]
Ответ:28
Задача №11
Известны длины оснований a=8 см и b=6 см вписанной в окружность трапеции АВСD, ВС||АD и радиус окружности R=5 см. Найдите площади четырех треугольников, на которые делят диагонали трапецию.
Дано: АВСD - трапеция,
ВС||АD
основания 8 см и 6 см
R=5
Найти S треугольников, на которые диагонали делят трапецию
Решение:
1. Δ ВОС подобен Δ АОD по двум углам ( [pic] ВОС = [pic] СОD (вертикальные), [pic] ОВС = [pic] ОDА (накрест лежащие при параллельных прямых (ВС и АD) и секущей ВD).
k = 4/3
Отношение S подобных треугольников равно k2
Обозначим S Δ ВОС за х, тогда S Δ АОD = 16/9х
S Δ ВОА = S Δ СОD = 4/3х (см. БЗ 2.8)
2. S Δ АВСD = 1/2* (8+6)*7=49
S Δ АВСD = S Δ ВОА+ S Δ АОD + S Δ ВОС +S Δ СОD
х+ 16/9х+4/3х+4/3х = 49
х= 9 см2 - S Δ ВОС
S Δ АОD = 16/9*9=16 см2
S Δ ВОА = S Δ СОD = 4/3*9=12 см2
Ответ: 9 см2, 16 см2 , 12 см2
Задача №12
а) Найдите длину отрезка, .параллельного основаниям трапеции, который делит трапецию на две равновеликие трапеции.
Дано: АВСD - трапеция,
ВС|| АD
основания 8 см и 6 см
Найти: длину MN
Решение:
Согласно БЗ2.12 MN = [pic] = 4 [pic] см
б) Найдите длину отрезка, .параллельного основаниям трапеции, который делит трапецию на две подобные трапеции.
Дано: АВСD - трапеция,
ВС|| АD
основания 8 см и 6 см
Найти: длину MN
Решение:
Согласно БЗ2.11 MN = [pic] = 5 [pic] см
Задача №13
Можно ли в трапецию вписать окружность?
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны. (БЗ2.5)
Проверим АВ + СD = ВС + АD,
8 см + 6 см [pic] 5 [pic] см+5 [pic] см
В данную трапецию окружность вписать нельзя.
