РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С-2 МЕТОДОМ ОБЪЕМОВ
Данный метод применим для задач :
-нахождение расстояния между двумя скрещивающими прямыми.-
-нахождение расстояния от точки до плоскости.
Алгоритм метода объемов.
построить пирамиду, в которой высота, опущенная из вершины этой пирамиды на плоскость основания, является искомым расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми;
доказать, что эта высота и есть искомое расстояние;
найти объём этой пирамиды двумя;
способами и выразить эту высоту;
При решении задач данного типа используется следующие утверждение:
1)Если объем пирамиды АВСД равен V, то расстояние от точки М до плоскости α, содержащей треугольник АВС, вычисляется по формуле
d=
2).Расстояние м/у скрещивающими прямыми , содержащими отрезки [pic]
АВ и С D соответственно , можно вычислить по формуле
Задача № 1
Ребро куба ABCDA 1B 1C 1D1 равно 1 .Найти расстояние между скрещивающими диагоналями двух соседних граней куба
РЕШЕНИЕ:
Рассмотрим как соседние диагонали куба
Скрещивающие прямые А 1В и В 1С.
Найдем расстояние между ними по формуле
d= , где- объем тетраэдра , – угол м/у прямыми А 1В и В 1С. Для вычисления угла заменим прямую В 1С
прямой А 1D и найдем его из треугольника А 1DВ, т.к. треугольник равнобедренный угол 60 0. Тогда d =
найдем е=
Тогда d= Ответ : d=
способ 2( метод координат)
искомое расстояние –это расстояние от точки C до плоскости ( A1DB)
вычисляется d =
пусть уравнение плоскости ( A1DB) : Ax + By + Cz+ D =0
введем систему координат с центром в точке D(0,0,0) тогда
А1(1,0,1), В(1,1,0) т.к. точка D принадлежит плоскости ( A1DB), то D = 0
А1 принадлежит плоскости ( A1DB), то А+С =0, С= - А
В принадлежит плоскости ( A1DB), то А+В =0, В= -А
Значит Ах -Ау –Аz =0 , х-у –z =0
C(0,1,0) тогда d =
Ответ : d=
Задача № 2
Ребро куба ABCDA 1B 1C 1D1 равно a . Найти расстояние от точки С до (ВDС1).
Покажем искомое расстояние от точки C до
плоскости (ВDС1). Это перпендикуляр СН равный высоте
пирамиды В С 1СD. Объем пирамиды равен
V==
C другой стороны треугольник ВDС1 равносторонний DB=C 1D=C 1B =
V=
V=, ,
Ответ :
Задача № 3
Ребро куба ABCDA 1B 1C 1D1 равно 1 .Найти расстояние между скрещивающими прямыми ВA 1 и B 1D. (2 способа) [pic]
Для решения задач методом объемов используют опорные задачи:
1.Если вершины АВDA1 параллелепипеда ABCDA 1B 1C 1D1 являются вершинами тетраэдра , то имеет место равенство
VABCA1 =
2.Пусть p и g – площади двух граней тетраэдра, a – длина общего ребра,
α- величина двугранного угла между этими гранями. Тогда объем тетраэдра может быть вычислен по формуле
V= [pic]
Доказательство :
[pic]
[pic]
[pic]
Задача №4 (ЕГЭ-2012 г.)
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 2,боковые ребра 3,точка D- середина ребра СС1 .Найти расстояние от вершины С до плоскости (ADB1).
[pic]
(два способа решения) [pic]
Задача №5 (ЕГЭ-2012 г.)
В правильной четырехугольной призме ABCDA 1B 1C 1D1 стороны основания равны 1, а боковое ребро равно 2. Точка М- середина
ребра AA1 . Найти расстояние от точка А до плоскости (ВМ D1).
[pic]
Задача №5 (ЕГЭ-2012 г.)
В правильной четырехугольной призме ABCDA 1B 1C 1D1 стороны основания равны 1, а боковое ребро равно 2. Точка М- середина
ребра AA1 . Найти расстояние от точка А до плоскости (ВМ D1).
[pic]
Задача №2.В правильной четырехугольной призме АВСDА1B1C1D1 стороны основания равны 4, боковые ребра равны 2, точка Е – середина ребра ВВ1. Найдите расстояние от вершины В до плоскости АС1E (см. Рис.5).
[pic]
Решение (метод объёмов)
Пусть d – расстояние от точки В до плоскости АС1Е. Для нахождения d применим метод «вспомогательного объема», состоящий в том, что V пирамиды ВАЕС1 выражается двумя способами:
а) с одной стороны VВАЕС1 = SАЕС1 ∙ d, а с другой стороны
б) VВАЕС1 = SАBE ∙ h, где h – расстояние от вершины С1 до плоскости (ABE),
и h = C1B1 = 4.
Тогда
Оттуда
Рассмотрим ∆ АВЕ, он – прямоугольный,
АВ = 4;
Тогда
Рассмотрим ∆ АЕС1, он - равнобедренный, т.к. АЕ=ЕС1 (см. Рис.6).
[pic] Рис.6
Прямоугольные ∆ АВЕ и ∆В1С1Е равны по двум катетам:
ВЕ=В1Е; АВ=В1С1
По теореме Пифагора в ∆АВЕ
Проведем ЕК ⊥ АС1,
по теореме Пифагора
АС1 - диагональ прямой призмы:
Следовательно,
Итак,
Ответ:
Задача.
Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания АВС.
А) Постройте прямую пересечения плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и SA, и плоскости, проходящей через середину ребра ВС и перпендикулярной ему.
Б)Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если SA=, АВ=АС=5, ВС=2
[pic] Решение: метод объемов.
Решение: Пусть АА1=d - расстояние от т. А до плоскости KLM;
В пирамиде KALM, АК= ; АМ=АL= ; LM= .
KM= ; KH= ; АН=
VKALM =SALM * AK = SKLM * AA1 ; AA1== 1
Ответ:1
