XVII школьная научно – практическая конференция
Геометрия оригами
Исследовательская работа по направлению точные науки
Автор: Дмитриева Софья Михайловна, 6Б класс, МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 14» города Братска
Руководитель: Рослякова Ирина Анатольевна, учитель математики МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 14» города Братска
9 апреля 2016 г.
г. Братск
Оглавление:
Введение………………………………………………………………………………….3
Глава 1. Оригами и математика…………………………………………………………4
История оригами…………………………………………………………………….4
Аксиомы оригами…………………………………………………………………...4
Оригаметрия…………………………………………………………………………6
Глава 2. Применение оригами для решения геометрических задач………………….6
2.1. Условные обозначения……………………………………………………………...6
2.2. Последовательность решения оригамных задач…………………………………..7
2.3. Решение задач планиметрии методами оригами………………………………….8
Заключение……………………………………………………………………………….9
Список литературы……………………………………………………………………..10
Приложения……………………………………………………………………………..11
Введение
Первое знакомство ребенка с геометрическими фигурами происходит ещё в раннем детстве. Используя в игре различные сборные конструкции, ребенок учится различать фигуры по внешнему виду, происходит знакомство с первыми геометрическими терминами, начинают зарождаться воображение и наглядно-образное мышление, которые наиболее полно развиваются на стыке старшего дошкольного и младшего школьного возраста. На этом этапе учащиеся знакомятся с основными геометрическими фигурами (треугольник, прямоугольник, квадрат, ромб), понятиями (сторона, угол, вершина угла, диагональ,) и их свойствами.
Перейдя в пятый, а затем в шестой класс, учащиеся почти забывают все то, чему их так старательно учили в начальной школе. Программа по математике 5 – 6 классов содержит очень мало геометрического материала. Чтобы избежать такого «застоя», и возникла идея соединения оригами и геометрии.
Важнейшими направлениями этой идеи являются геометрическое конструирование, моделирование и дизайн. Всё выше сказанное указывает на актуальность моего исследования: «Геометрия оригами».
Цель исследования – расширить знания об истории оригами, выяснить, как решаются геометрические задачи с помощью оригами.
Задачи исследования– проанализировать связь геометрии и оригами на примере геометрических задач.
Объект исследования – оригами в геометрии.
Предмет исследования – геометрические задачи.
Гипотеза: оригами тесно связано с геометрией и может помочь при решении геометрических задач.
Методы исследования:
Глава 1. Оригами и математика
История оригами
В истории происхождения оригами многое до сих пор остаётся не ясным. Часть историков утверждает, что искусство оригами впервые появилось в Китае, непосредственно связывая его с появлением бумаги. Однако, доказательств в пользу того, что китайцы использовали бумагу, чтобы складывать из неё фигурки, не найдено. Другие учёные утверждают, что оригами происходит из Японии и, что ещё до появления бумаги, японцы складывали фигурки из ткани и других материалов. Так или иначе, именно в Японии, благодаря её культурным особенностям, стремлению увидеть красоту, скрытую в каждой вещи, оригами получило широкое распространение.
Новый поворот в истории оригами тесно связан со страшной трагедией, произошедшей 6 августа 1945 года, когда была сброшена атомная бомба на Хиросиму. Последствия чудовищного эксперимента были ужасны. Среди детей, страдающих от последствий облучения и обреченных на гибель, возникла легенда о свободной птице, символе жизни – журавлике. Дети искренне верили, что, смастерив из бумаги 1000 журавликов, они исцелятся и останутся живы. Волна удивительной детской солидарности прокатилась по всем странам мира. Япония стала получать миллионы посылок со всех континентов нашей планеты с бесценным грузом – бумажными журавликами.
Аксиомы оригами
Прежде чем рассмотреть применение оригами в математике, надо изучить аксиомы оригами.
Шесть аксиом оригами предложил живущий в Италии японский математик Хумиани Хузита в 1992 году на слушаниях Первой международной конференции Origami Science and Technology.
Аксиомы Хумиани Хузита стали первым шагом в математическом обосновании построений, выполнимых перегибанием листа бумаги.
Аксиома 1.
Существует единственный сгиб, проходящий через две данные точки(рис.1). [pic] [pic]
Рис.1 Рис. 2 Рис. 3
Аксиома 2.
Существует единственный сгиб, совмещающий две данные точки (рис. 2).
Аксиома 3.
Существует сгиб, совмещающий две данные прямые(рис. 3).
Аксиома 4.
Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и перпендикулярный данной прямой (рис. 4).
Аксиома 5.
Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и помещающий другую данную точку на данную прямую(рис. 5).
[pic] [pic] [pic]
Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6
Аксиома 6.
Существует единственный сгиб, помещающий каждую из двух данных точек на одну из двух данных пересекающихся прямых (рис. 6).
В 2002 году японский оригамист Коширо Хатори обнаружил сгиб, который не описан в аксиомах Хумиани Хузита.
Аксиома 7.
Для двух данных прямых и точки существует линия сгиба, перпендикулярная первой прямой и помещающая данную точку на вторую прямую.
Оригаметрия
Чаще всего люди воспринимают оригами просто как способ изготовления бумажных игрушек и украшений интерьера, и мало кто задумывается о том, что это древнее искусство имеет тесную связь с математикой.
Различные построения и фигуры оригами складываются, как правило, из квадратного листа бумаги. Таким образом, когда мы производим простейшее действие с листом бумаги, например, складываем его по вертикали или диагонали, мы уже решаем задачи на построение – строим перпендикуляр к прямой или биссектрису угла.
Возможности перегибания листа бумаги велики, что обеспечивает решение большого разнообразия задач. В конце XX века возник новый термин «оригаметрия», обозначающий область геометрии, в которой задачи решаются только методом складывания.
Глава 2. Применение оригами для решения геометрических задач
2.1. Условные обозначения
Для того, чтобы я могла свободно владеть техникой оригами, самостоятельно конструировать поделки, решать оригамные задачи, мне необходимо было познакомиться с основными условными обозначениями (приложение I).
2.2. Последовательность решения оригамной задачи
Оригами обладает мощным потенциалом в решении планиметрических задач на
построение. Вот некоторые из них, решаемые методами оригами:
построение биссектрисы угла;
построение высоты треугольника;
построение медианы.
При решении задач с помощью методов оригами роль прямых играют края листа и
линии сгибов, образующиеся при его перегибании, а роль точек – вершины углов листа и
точки пересечения линий сгибов друг с другом или с краями листов.
Любая оригамная задача состоит: из постановки задачи; оригамного решения, проверки или способа построения; математического обоснования, то есть доказательства того, что в результате действительно получается фигура с требуемыми свойствами.
Для примера решим несложную задачу.
Постановка задачи. Методом оригами разделить один из углов квадрата на три равных угла.
Оригамное решение.
| Совместите вершину правого нижнего угла квадрата с некоторой точкой, намеченной линией сгиба. | [pic] |
| Перегните левую верхнюю часть фигурки и вернитесь в исходное положение квадрата. | [pic] |
| Проверьте результат. Вершина левого нижнего угла квадрата линиями сгиба разделена на три равных угла. | [pic] |
Математическое обоснование.
ВАС – равносторонний, значит АВС=60. ОВА=90-60=30, ABN=30,
ОВА=ABN=NBC=30.
[pic]
Итак, данным методом мы разделили угол квадрата на три равные части.
2.3. Решение задач планиметрии методами оригами
Сколько любопытных тайн кроется в обычном листочке бумаги, который всегда под рукой! Рассмотрим примеры задач, решаемых методами оригами. Как правило, они проще и нагляднее, а относительная простота помогает убедиться в правильности классических утверждений, теорем и побуждает к дальнейшим исследованиям (приложение II).
[link]
Приложение I
[pic]
[pic]
Приложение II
Задачи на построение.
Разделить квадрат на четыре части.
Для деления квадрата на четыре части достаточно его поделить пополам, а затем каждую из половинок снова пополам. [pic]
Разделить квадратный лист на три части.
Для ее решения сложим угол квадрата к середине противоположной стороны. В таком случае точка пересечения другой стороны, противоположной этому углу и стороны, прилегающей к нему, делит сторону в отношении один к двум. Таким образом, с помощью только складок мы нашли треть стороны квадрата. [pic]
Разделить квадрат на пять, семь частей. [pic]
[pic]
Методом оригами разделить угол квадрата на 30.
Откладывание угла в 30° не представляет проблем. Достаточно построить на стороне квадрата равносторонний треугольник. Для этого сначала разделим квадрат вертикальной складкой на два равных прямоугольника. Затем проведем складку, которая переносит угол квадрата на отмеченную линию. [pic]
Методом оригами разделить угол квадрата на 60.
Методом оригами разделить угол квадрата на 15.
Угол 15° можно получить, разделив полученный угол в 30° градусов пополам.
Поделить произвольный угол на три равные части.
Для решения этой задачи берем квадратный лист бумаги и обозначаем его как ABCD. На стороне AD отмечаем произвольную точку P и проводим отрезок BP. Нам надо разделить PBС на 3 равных угла. [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
На сторонах AB и DC отмечаем точки E и F так, чтобы линия EF была параллельна AD. Обозначаем EF с помощью сгиба. Совмещаем сторону BC с линией EF. Линию, полученную в результате сгиба, обозначаем как GH. Делаем такой сгиб, чтобы точка Е касалась линии ВР и точка В касалась линии GH.
Теперь сгибаем лист по перпендикуляру к линии ЕВ, проходящему через точку G. На стороне АD отмечаем точку J. Отгибаем угол обратно. Доводим линию, исходящую из точки J, до точки В. Сторону ВС совмещаем с линией ВJ. Линии BJ и BK делят PBC на 3 равные части.
1.8. Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. С помощью сгибов через точку А постройте прямую, параллельную прямой а.
Построение. Из точки А к прямой а проводим перпендикуляр b. Далее к b проводим перпендикуляр с, проходящий через точку А. Получили две параллельные прямые а и с, перпендикулярные к третьей прямой b.
Задачи на доказательство.
Доказать теорему: Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство. Возьмем лист бумаги, имеющей форму произвольного треугольника. Проведем сгиб через одну из вершин треугольника, перпендикулярную противоположной стороне – высоту треугольника. (по аксиоме 4). Совместим вершины треугольника с точкой у основания высоты треугольника (по аксиоме 2). Получаем, что 1, 2 и 3 треугольника совпали при наложении с развернутым углом (а величина развернутого угла равна 180°). Следовательно, 1+2+3=180°. Теорема доказана.
Доказать теорему: Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых и секущей, равны.
Доказательство. Возьмем лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ. Сравним накрест лежащие углы – 1 и 2.
А
1
2
В
Согнем лист по секущей АВ (по аксиоме 1). Совместим вершины накрест лежащих углов – точки А и В (по аксиоме 2)
А
1 А(В)
О 1 = 2
2 О
В
1 и 2 совпали при наложении, следовательно, 1=2 (два угла называются равными, если они при наложении совпадают). Значит, накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны. Теорема доказана.
Доказать, что в прямоугольном треугольнике против угла 30 лежит катет, равный половине гипотенузы.
Доказательство. Наметим середину стороны ВС квадрата АВСD. Согнем по линии так, чтобы точка D легла на линию сгиба.
Согнем по ней и по намеченной линии разогнем. Сторону АВ совместим с отрезком АК, то есть А разделится на три равные части: ВАМ = NАК = КАD = 30°. Сравним КD и АК, для этого совместим сторону DK с АК в результате чего точка D совместится с точкой М.
Согнем по линии РМ, точка К совместимо с точкой А. АМР = МРК (совпадают при наложении). Значит АМ = МК и КD = КМ, КD = АК. Теорема доказана.
Отрезки АВ и СD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АС и ВD параллельны.
Доказательство. Через точку пересечения АВ и СD согнуть лист так, чтобы точка А(D) наложилась на продолжение АС(DВ). При этом точка D(А) должна наложиться на DВ(АС). То есть мы построили прямую, к которой прямые АС и DВ перпендикулярны. Значит АС и DВ – параллельны.
