Конспект урока на тему Симметрия в пространстве.Правильные многогранники

Конспект урока на тему: «Симметрия в пространстве. Правильные многогранники».

Урок – лекция. (10 класс) – 1 час.

Учебная задача: совместно с учащимися «открыть»:

понятия симметричных точек относительно точки, прямой и плоскости по аналогии с изученной ранее темой «Симметрия на плоскости»;
понятием правильного многогранника, его виды и элементы симметрии;
теорему о том, что «не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n6».

Диагностируемые цели:

В результате ученик:

Знает определения точек симметричных относительно точки (прямой, плоскости), центра (оси, плоскости) симметрии, определение правильного многогранника, виды правильных многогранников, теорему о том, что «не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n6».

Умеет выделять элементы симметрии правильных многогранников, решать простейшие задачи, связанные с элементами симметрии правильных многогранников.

Метод обучения: УДЕ, частично - поисковый.

Форма обучения: фронтальная, индивидуальная.

Средства обучения: канва – таблица, презентация, модели правильных многогранников.

- Здравствуйте, ребята!

Посмотрите на рисунок и скажите, что за объемные фигуры изображены на рисунке?

-Дайте определение многогранника.

-Какие из изображенных многогранников вам известны?

-На какие две группы можно разделить эти многогранники?

Какие многогранники называют выпуклыми? Определим, какие многогранники будут выпуклыми, а какие невыпуклыми. Почему 3,6,7 невыпуклые?

- Что мы знаем о сумме всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника?

- Какая фигура лежит в основании данного многогранника?

-Чему равна сумма углов в многоугольнике?

- Давайте подсчитаем, чему равна сумма всех углов в правильном шестиугольнике? Каждого угла шестиугольника?

Это нам сегодня понадобиться для изучения новой темы.

- Однажды Л.Н. Толстой сказал: «Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия приятна глазу? Что такое симметрия? Это врождённое чувство. На чём же оно основано?».

-С симметрией мы встречаемся в природе, архитектуре, технике, быту.

Мы часто видим симметричные творения природы (листья, цветы, птицы, животные) или творения человека (здания, техника) - все то, что окружает нас каждый день. В быту: молотки, рубанки, лопаты, трубы. Мы смотрим на себя в зеркало и видим, что части нашего лица симметричны друг другу. По улицам ездят автомобили, автобусы, правая и левая части которых симметричны. Таким образом, симметрия бывает не только на плоскости (кленовый лист), но и в пространстве (лицо).

Ребята, для начала вспомним такие понятия, как симметрия относительно точки, симметрия относительно прямой, которые мы изучили на плоскости.

-Какие же точки называются симметричными относительно точки?

При этом точку О называют центром симметрии.

- Сформулируйте определение точек симметричных относительно прямой.

При этом прямую а называют осью симметрии.

По аналогии с симметрией на плоскости определятся симметрия в пространстве. Симметрия тесно связана с многогранниками.

Цель нашего урока: расширить знания о симметрии и многогранниках.

Тему урока мы запишем в процессе заполнения таблиц.

На рисунке изображены многогранники.

Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, называют многогранником.

Правильная призма (1), наклонная призма(4), пирамида треугольная (2), пятиугольная (5).

На выпуклые и невыпуклые многогранники.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Выпуклые:1,2,4,5, невыпуклые:3,6,7.

Сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше .

В основании данного многогранника лежит правильный шестиугольник.

Сумма углов в многоугольнике равна .

Сумма всех углов в правильном шестиугольнике равна . Каждый угол равен .

Точки и называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка .

Точки называются симметричными относительно прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка и перпендикулярна к этому отрезку.

(слайд 1)

(слайд 2)

(слайд 3)

(слайд 4)

(слайд 5)

(слайд 6)

(слайд 7 -11)

(слайд 12)

(слайд 13)

Содержательный этап

- Как было сказано выше, по аналогии с симметрией на плоскости определятся симметрия в пространстве. Поэтому в процессе работы заполним следующую канву – таблицу.

Мы вспомнили определение точек симметричных относительно точки. Попробуйте сформулировать такое определение только для симметричных точек в пространстве.

Чем будет точка О?

- А как формулируется определение точек симметричных относительно прямой в пространстве?

Чем будет являться прямая а?

- В пространстве существует понятие точек симметричных относительно плоскости. Попытайтесь дать определение.

Значит, плоскость- плоскость симметрии.

Итак, точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Таким образом, в пространстве помимо центральной и осевой симметрии, которые есть на плоскости, добавляется зеркальная симметрия.

-Оказывается у некоторых многогранников тоже есть центр, ось и плоскость симметрии, которые называют элементами симметрии этого многогранника.

-Рассмотрим два многогранника: куб и параллелепипед. Куб называют правильным многогранником. Давайте выясним почему?

Давайте подсчитаем, сколько ребер сходиться в каждой вершине куба, параллелепипеда.

Чем являются грани этих многогранников?

Особо важно, что все грани куба равны между собой, а у параллелепипеда не все грани равны между собой.

Таким образом, куб будем относить к правильным многогранникам.

- Посмотри на следующий рисунок. Давайте попробуем определить является ли одна из этих пирамид правильным многогранником. Действуем по той же схеме (определяем число ребер сходящихся в каждой вершине, вид граней и их равенство).

Попробуйте дать определение правильного многогранника.

Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходиться одно и тоже число ребер.

- Возникает вопрос, сколько граней, являющихся правильными многоугольниками, может сходиться в одной вершине, чтобы в результате получился правильный многогранник.

Давайте подсчитаем, а полученные результаты будет сравнивать с , так как по теореме, которую мы вспоминали в начале урока сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше .

1. Рассмотрим правильный треугольник. Сколько градусов равен каждый угол? Подсчитаем сумму плоских углов при вершине треугольника, если:

а) в каждой вершине сходится три грани;