Сабақтың тақырыбы/ Тема урока: Первообразная и неопределенный интеграл
Мақсатары/Цели:
1.ввести понятие первообразной; доказать теорему о множестве первообразных для
заданной функции(применяя определение первообразной); ввести определение
неопределенного интеграла; доказать свойства неопределенного интеграла;
отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла.
2. активизировать мыслительную деятельность; способствовать усвоению способов
исследования; обеспечить более прочное усвоение знаний.
3. Воспитание познавательной самостоятельности: развитие умения самостоятельно
анализировать, самооценивать, взаимооценивать результаты, делать выводы.
Сабақтың барысы / Ход урока:
1. Ұйымдастыру-мақсатты кезеңі / Организационно- целевой этап
Сабақтың мақсатын қою / Постановка целей урока.
Сабақтың мотивациясы / Мотивация урока. Предлагается решить задачи. Условия задач записаны на доске. Учащиеся дают ответы по решению задач 1, 2.
1. Закон движения тела S(t) , найти его мгновенную скорость в любой момент времени. V(t) = S [pic] (t).
2. Зная, что количество электричества, протекающего через проводник выражается формулой
q (t) = 3t [pic] - 2 t, выведите формулу для вычисления силы тока в любой момент времени t.
I (t) = 6t - 2. (Актуализация опыта решения задач на использование дифференцирования ).
II. Қайталанатын материалдар / Повторяемый материал:
Повторить вычисление производных, формулы для вычисления производных
III. Жаңа материалды мазмұндау / Изложение нового материала.
3.Зная скорость движущегося тела в каждый момент времени, найти закон его движения. 4.Зная, что сила тока проходящего через проводник в любой момент времени I (t) = 6t – 2 , выведите формулу для определения количества электричества, проходящего через проводник.
Учитель : Возможно ли решить задачи № 3 и 4 используя имеющиеся у нас средства ?
( Создание проблемной ситуации ).
Предположения учащихся :
- Для решения этой задачи необходимо ввести операцию,
обратную дифференцированию.
- Операция дифференцирования сопоставляет заданной
функции F (x ) ее производную. F [pic] (x) = f (x).
Учитель : В чем заключается задача , дифференцированию?
Вывод учащихся :
- Исходя из данной функции f (x) , найти такую функцию
F (x) производной которой является f (x) , т.е. f (x) = F [pic] (x) .
Учитель : Такая операция называется интегрированием, точнее неопределенным интегрированием.
Раздел математики, в котором изучаются свойства операции интегрирования функций и ее приложения к решению задач физики и геометрии, называют интегральным исчислением.
Интегральное исчисление _ это раздел математического анализа, вместе с дифференциальным исчислением, оно составляет основу аппарата математического анализа.
Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них - физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но быть может переменной скорости движения, и значительно более древняя задача – вычисления площадей и объемов геометрических фигур.
В чем состоит неопределенность этой обратной операции предстоит выяснить.
Введем определение. ( кратко символически записывается на доске ).
Определение 1. Функцию F (x) , заданную на некотором промежутке X, называют первообразной для функции задан ной на том же промежутке, если для всех x [pic] X выполняется равенство
F [pic] (x) = f (x) или d F(x) = f (x) dx .
Например. ( x [pic] ) [pic] = 2x, из этого равенства следует, что функция x [pic] является первообразной на всей числовой оси для функции 2x. Используя определение первообразной , выполните упражнение
Проверьте, что функция F является первообраз- ной для функции f, если
1) F (x) = [pic] 2 cos 2x , f (x) = x [pic] - 4 sin 2x .
2) F (x) = tg [pic] х - cos 5x , f (x) = [pic] + 5 sin 5x.
3) F (x) = x [pic] sin x + [pic] , f (x) = 4x [pic] sinx + x [pic] cosx + [pic] .
Решения примеров записывают на доске учащиеся, комментируя свои действия.
Учитель : Является ли функция х [pic] единственной первообразной для функции 2х ?
Учащиеся приводят примеры х [pic] + 3 ; х [pic] - 92, и т.д. ,
Вывод делают сами учащиеся: любая функция имеет бесконечно много первообразных. Всякая функция вида х [pic] + С, где С – некоторое число, является первообразной функции х [pic] .
Теорема о первообразной записывается в тетради под диктовку учителя.
Теорема. Если функция f имеет на промежутке первообразную F, то для любого числа С функция
F + C также является первообразной для f . Иных первообразных функция f на Х не имеет.
Доказательство проводят учащиеся под руководством учителя.
а) Т.к. F - первообразная для f на промежутке Х, то F [pic] (x) = f (x) для всех х [pic] Х Тогда для х [pic] Х для любого С имеем : ( F (x) + C ) [pic] = f (x) . Это значит, что F (x) + C - тоже первообразная f на Х .
б) Докажем , что иных первообразных на Х функция f не имеет. Предположим , что Ф тоже первообразная для f на Х.
Тогда Ф [pic] (x) = f (x) и потому для всех х [pic] Х имеем: Ф [pic] (x) - F [pic] (x) = f (x) - f (x) = 0, следовательно Ф - F постоянна на Х. Пусть Ф (x) – F (x) = C , тогда Ф (x) = F (x) + C, значит любая первообразная функции f на Х имеет вид F + C.
Учитель : в чем заключается задача отыскания всех первообразных для данной функции ?
Вывод формулируют учащиеся Задача отыскания всех первообразных, решается отысканием какой-нибудь одной: если такая первообразная найдена, то любая другая получается из нее прибавлением постоянной.
Учитель формулирует определение неопределенного интеграла.
Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f
называют неопределенным интегралом этой
функции. Обозначение. [pic] ; [pic] - читается интеграл.
[pic] = F (x) + C, где F – одна из первообразных для f , С пробегает множество действительных чисел.
f - подынтегральная функция; f (x)dx - подынтегральное выражение; х - переменная интегрирования; С - постоянная интегрирования.
Свойства неопределенного интеграла учащиеся изучают по учебнику самостоятельно и выписывают их в тетрадь.
( [pic] ) = f (x) dx.
1. [pic] = F (x) + C.
Интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых.
2. [pic] = [pic] + [pic] .
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.
3. [pic] = A [pic] .
T.k. ( x [pic] ) [pic] = ( [pic] ) x [pic] , то при [pic] - 1,
4. [pic] = [pic] [pic] = [pic] + С.
Применение сделанных выводов на практике, в процессе решения примеров.
Используя свойства неопределенного интеграла, решите примеры № 1 (2,3 )
Вычислите интегралы.
1. [pic] , Какие свойства неопределенного интеграла следует применить, решая следующий пример ?
2. [pic] Решения учащиеся записывают в тетрадях, работающий у доски комментирует выполняемые действия.
Учитель :Теперь вы можете решить физическую задачу определения пройденного пути по известной скорости ? по известному ускорению ? Решите задачи № 3 и 4 и запишите решение в тетрадь.Учитель выборочно проверяет запись решения.
Решите задачу. Тело свободно падает в пустоте. Пусть s (t) – координата тела в момент t .
Т.о. g = s [pic] (t) и g - постоянная. Требуется найти функцию s (t) – закон движения.
Задание A:
Укажите первообразную функции [pic] .
1) [pic] ; 2) [pic] ;
3) [pic] ; 4) [pic] .
Ответ: 1.
6. Итоги урока.
7. Домашнее задание.
Прочитать и разобрать §1. Решить следующие задачи №1,2,3,4 (четные)
